Ein Punkt im Raum hat drei Koordinaten, zum Beispiel A(2 | 1 | 4). Ein Vektor beschreibt einen Weg: Den Vektor von A nach B rechnest du als Ziel minus Start, also B − A. Seine Länge bekommst du mit dem Satz des Pythagoras in drei Richtungen. Ist ein Vektor ein Vielfaches eines anderen, heißen die beiden kollinear: Dann sind die Strecken parallel, oder die Punkte liegen auf einer Geraden. Damit prüfst du im Abitur Dreiecke, Parallelogramme, Mittelpunkte und Längen.
Aus der Mittelstufe kennst du das Koordinatensystem in der Ebene: Ein Punkt hat zwei Zahlen, P(3 | 2) heißt 3 nach rechts und 2 nach oben. Im Raum kommt eine dritte Richtung dazu, die Höhe. Ein Punkt hat dann drei Koordinatendie Zahlen, die angeben, wo ein Punkt liegt, eine für jede Achse.
\nEin Vektoreine Verschiebung im Raum: so viel in die erste, so viel in die zweite, so viel in die dritte Richtung; als Pfeil gezeichnet ist kein Ort, sondern eine Wegbeschreibung. Du schreibst ihn als Spalte mit drei Einträgen und zeichnest ihn als Pfeil. Jeder Pfeil mit derselben Richtung und Länge stellt denselben Vektor dar.
\nDer Vektor vom Ursprung O(0 | 0 | 0) zu einem Punkt heißt Ortsvektorder Vektor vom Ursprung zum Punkt; er hat dieselben Einträge wie die Koordinaten des Punkts. Er hat dieselben Zahlen wie der Punkt: Zu A(2 | 1 | 4) gehört OA = 214. In Abituraufgaben heißen die Achsen meist x₁, x₂ und x₃ statt x, y und z.
\nIn der üblichen Schrägbild-Zeichnung zeigt die erste Achse schräg nach vorn auf dich zu, die zweite nach rechts und die dritte nach oben. A(2 | 1 | 4) liegt also 2 nach vorn, 1 nach rechts und 4 nach oben. Die Abbildung weiter unten zeigt ein solches Schrägbild.
\n\nDen Vektor von A nach B schreibst du AB. Du rechnest immer Ziel minus Start: AB = B − A, Eintrag für Eintrag. BA ist derselbe Weg zurück: dieselben Zahlen mit umgekehrtem Vorzeichen, der Gegenvektorder Vektor mit derselben Länge, aber entgegengesetzter Richtung; alle Einträge mit umgekehrtem Vorzeichen.
\nMit Vektoren rechnest du auch Eintrag für Eintrag: Beim Addieren hängst du zwei Wege hintereinander, beim Vervielfachen mit einer Zahl r streckst du den Pfeil (r = 2 doppelt so lang, r = −1 umgedreht).
\n\nMini-Rechnung: A(1 | 2 | 3) und B(4 | 2 | −1)
\nDie Länge, auch Betragdie Länge eines Vektors, geschrieben mit senkrechten Strichen |v|, eines Vektors mit den Einträgen a₁, a₂, a₃ ist √(a₁² + a₂² + a₃²). Das ist der Satz des Pythagoras, nur in drei Richtungen.
\nTeilst du einen Vektor durch seine Länge, bekommst du einen Vektor derselben Richtung mit Länge 1, den EinheitsvektorVektor der Länge 1; entsteht, wenn du einen Vektor durch seinen Betrag teilst. Beispiel: v = −212 hat die Länge √(4 + 1 + 4) = 3, der Einheitsvektor ist −2/31/32/3. Brauchst du einen Pfeil der Länge 6 in dieser Richtung, nimmst du 2 · v.
\nDen Mittelpunkt einer Strecke AB bekommst du als Durchschnitt: M = ½ · (A + B). Für A(1 | 2 | 3) und B(4 | 2 | −1) ist das M(2,5 | 2 | 1).
\n\nZwei Vektoren heißen kollineareiner ist ein Vielfaches des anderen; die Pfeile sind parallel, wenn es eine Zahl r gibt mit u = r · v. Daran erkennst du zwei Dinge: Sind AB und AC kollinear, liegen A, B und C auf einer Geraden. Sind sie es nicht, bilden die drei Punkte ein Dreieck.
\nMini-Rechnung aus einer Abituraufgabe: A(−2 | 1 | −2), B(1 | 2 | −1), C(1 | 1 | 4). Bilden sie ein Dreieck?
\nZahlen aus dem IQB-Aufgabenpool 2017, Analytische Geometrie, Teil ohne Hilfsmittel (Teilaufgabe a, erster Teil).
\nEin Vektor, der sich als Summe von Vielfachen anderer Vektoren schreiben lässt, heißt LinearkombinationSumme von Vielfachen anderer Vektoren, zum Beispiel 2 · a + 1 · b dieser Vektoren. Beispiel: 314 = 2 · 102 + 1 · 110. Probe Eintrag für Eintrag: 2 + 1 = 3, 0 + 1 = 1, 4 + 0 = 4. Bei 315 klappt es nicht: Der zweite Eintrag erzwingt 1 · b, der erste dann 2 · a, und im dritten käme 4 statt 5 heraus.
\nLässt sich einer von drei Vektoren aus den anderen kombinieren, heißen sie linear abhängigeiner der Vektoren ist eine Linearkombination der anderen; drei solche Pfeile liegen in einer Ebene. Die drei Vektoren 102, 110 und 314 sind also linear abhängig, ihre Pfeile liegen in einer Ebene.
\n\nEin Viereck ABCD ist ein Parallelogramm, wenn gegenüberliegende Seiten gleich lang sind und in dieselbe Richtung zeigen. In Vektoren: AB = DC (oder AD = BC). Sind zusätzlich zwei benachbarte Seiten gleich lang, ist es eine Raute. Für ein Rechteck brauchst du einen rechten Winkel, dazu Skalarprodukt: senkrecht und Winkel.
\nIn der Klausur steckt diese Idee oft in einer Sachsituation, etwa in einem Dach oder einem Gerüst: Du vergleichst Seiten als Vektoren und prüfst Längen.
\n\nDie Abbildung zeigt modellhaft das Dach eines Kirchturms. Die Eckpunkte der Dachflächen werden unter anderem durch C(8 | 8 | 0), F(8 | 4 | 6), G(4 | 8 | 6) und S(4 | 4 | 12) dargestellt. Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.
\nb) Weisen Sie nach, dass das Viereck CGSF eine Raute ist. (2 BE)
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2022, Analytische Geometrie. Aus diesem gemeinsamen Pool nehmen die Länder Aufgaben für ihr Abitur. Mit Taschenrechner. Aufgabentext gekürzt.
\nEin späterer Teil derselben Aufgabe (die kürzeste Stütze zum Balken SF) kommt auf dem Lernzettel Geraden und ihre Lage im Raum.
\nTeil b): Raute nachweisen
\nTeil b dieser Aufgabe gehört zum Anforderungsbereich III, der höchsten Stufe: Kein Rechenweg ist vorgegeben, du musst die Idee selbst haben.
\nIn einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(0 | 4 | 2), B(0 | 0 | 0) und C(0 | 4 | 0) gegeben (vgl. Abbildung). Eine Gerade g verläuft durch A und hat den Richtungsvektor −212.
\na) Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punkts, der auf g liegt und von A den Abstand 6 hat. (2 BE)
\nb) Ermitteln Sie die Koordinaten zweier Punkte, die von A, B und C den gleichen Abstand haben. (3 BE)
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2019, Analytische Geometrie, Teil ohne Hilfsmittel, Aufgabengruppe 2.
\nTeil a) Der Richtungsvektorder Vektor, der angibt, in welche Richtung eine Gerade läuft; jeder Punkt der Geraden ist Aufpunkt plus ein Vielfaches davon gibt an, in welche Richtung g von A aus läuft.
\nTeil b) Die Idee kommt aus dem Bild.
\nWas die Korrektur erwartet: Im Erwartungshorizont stehen für b) drei Gedanken: rechter Winkel bei C, Mittelpunkt M(0 | 2 | 1) über den Thaleskreis, weitere Punkte auf der Lotgerade durch M, zum Beispiel (1 | 2 | 1). Die Kontrollrechnung mit den Längen zählt genauso.
\nGegeben sind die Punkte A(0 | 0 | 0), B(8 | 6 | 0) und C(4 | 3 | z), wobei z eine positive reelle Zahl ist.
\na) Zeigen Sie, dass es sich beim Dreieck ABC um ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis AB handelt. (2 BE)
\nb) Das Dreieck ABC hat den Flächeninhalt 35. Bestimmen Sie den Wert von z. (3 BE)
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2022, Analytische Geometrie, Teil ohne Hilfsmittel.
\nDie gemeinsamen Abituraufgaben setzen das Vektorprodukt nicht voraus. Einige Länder verlangen es trotzdem, das steht dann im Kasten deines Landes unten.
\nIn der Prüfung zeigst du mit dem Skalarprodukt, ob ein Winkel rechtwinklig ist; Punkte gibt es für den nachvollziehbaren Rechenweg und den Satz, was das Ergebnis geometrisch heißt. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl: a₁ · b₁ + a₂ · b₂ + a₃ · b₃. Ist sie 0, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander, ist sie positiv, ist der Winkel spitz, ist sie negativ, stumpf. Den Winkel selbst liefert cos α = (a · b) / (|a| · |b|). Damit prüfst du rechte Winkel in Dreiecken und Vierecken und berechnest Winkel zwischen Geraden und Ebenen. Für einen rechten Winkel an einer Ecke müssen beide Vektoren an dieser Ecke starten.
Aus Punkte und Vektoren im Raum kennst du Vektoren als Pfeile mit Länge und Richtung. Oft willst du wissen, wie zwei Pfeile zueinander stehen: rechtwinklig, spitz oder stumpf. Ein Winkel ist spitzkleiner als 90°, wenn er kleiner als 90° ist, und stumpfgrößer als 90° (und kleiner als 180°), wenn er größer ist.
\nDas Skalarprodukta · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃; eine Zahl, die angibt, wie zwei Vektoren zueinander stehen beantwortet das mit einer einzigen Zahl. Zwei Vektoren, die senkrecht aufeinander stehen, heißen orthogonalsenkrecht zueinander; das Skalarprodukt ist 0.
\nBei zwei Vektoren mit den Einträgen (a₁ | a₂ | a₃) und (b₁ | b₂ | b₃) multiplizierst du, was zusammengehört, und addierst: a₁·b₁ + a₂·b₂ + a₃·b₃. Heraus kommt eine Zahl, kein neuer Pfeil.
\nLänge eines Vektors: Wurzel aus dem Skalarprodukt mit sich selbst. Das kennst du schon als √(a₁² + a₂² + a₃²).
\n\nStehen die Pfeile nicht senkrecht, fragt die Aufgabe oft nach dem Winkel dazwischen. Dafür gibt es eine Formel:
\ncos α = (a · b) / (|a| · |b|)
\nIn Worten: Skalarprodukt geteilt durch das Produkt der beiden Längen. Den Winkel selbst bekommst du dann mit dem Taschenrechner (Taste cos⁻¹). Deshalb kommen Winkelaufgaben vor allem im zweiten Prüfungsteil vor.
\nMini-Rechnung Winkel: Welchen Winkel schließen a = 110 und b = 100 ein?
\nMini-Rechnung senkrecht: Für welche Zahl t stehen a = 2t1 und b = 3−24 senkrecht aufeinander?
\nRechtwinklig in einem Dreieck heißt: Die beiden Seiten, die in dieser Ecke zusammenkommen, stehen senkrecht. Beide Vektoren müssen in dieser Ecke starten. Genau das braucht die folgende Klausuraufgabe in Teil b.
\n\nDer Schnittwinkel zweier Geraden ist der Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren u und v. Weil man den kleineren der beiden Winkel nimmt (höchstens 90°), steht im Zähler der Betrag: cos α = |u · v| / (|u| · |v|).
\nBeispiel: Die Gerade mit u = 101 und die Ebene x₃ = 0 mit n = 001: sin α = 1 / (√2 · 1) ≈ 0,707, also α = 45°. Die Gerade steigt unter 45° aus der Grundebene auf. Was ein Normalenvektor ist, steht auf Ebenen im Raum.
\n\nGegeben sind die Punkte A(5 | 0 | a) und B(2 | 4 | 5). Der Koordinatenursprung wird mit O bezeichnet.
\na) Bestimmen Sie denjenigen Wert von a, für den A und B den Abstand 5 haben.
\nb) Ermitteln Sie denjenigen Wert von a, für den das Dreieck OAB im Punkt B rechtwinklig ist.
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2021, Analytische Geometrie. Aus diesem gemeinsamen Pool nehmen die Länder Aufgaben für ihr Abitur.
\nTeil a): Abstand A und B gleich 5
\nTeil b): rechtwinklig in B
\nDasselbe Rezept bei Ebenen: Zwei Ebenen stehen senkrecht, wenn ihre Normalenvektoren Skalarprodukt 0 haben. Siehe Ebenen im Raum.
\nTeil b gehört zum Anforderungsbereich III: Du musst erkennen, welche beiden Winkel gleich sein können.
\nFür jeden Wert von t ∈ ℝ \\ {0} bilden die Punkte A(7 | 3 | 0), B(5 | 3 | 4) und Ct(5 + 2t | 3 | 4 + t) ein Dreieck.
\na) Zeigen Sie, dass jedes dieser Dreiecke bei B einen rechten Winkel hat. (2 BE)
\nb) Bestimmen Sie alle Werte von t, für die im jeweiligen Dreieck ABCt zwei Innenwinkel gleich groß sind. (3 BE)
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2018, Analytische Geometrie, grundlegendes Niveau, Teil ohne Hilfsmittel, Aufgabengruppe 2.
\nWas die Korrektur erwartet: das Skalarprodukt 4t − 4t = 0 in a), in b) die Idee „gleichschenklig, also gleich lange Katheten“ und beide Lösungen t = ±2. Wer nur t = 2 angibt, verliert einen Punkt.
\nBetrachtet werden die Punkte A, B und C mit A(2 | −3 | −1) und B(10 | −5 | 3). Für den Punkt C gelten die folgenden Aussagen: Die z-Koordinate von C ist 6. Die Gerade AB und die Gerade AC verlaufen senkrecht zueinander. Der Punkt C liegt in der Ebene mit der Gleichung x + 2y = 0. Ermitteln Sie die Koordinaten von C. (5 BE)
\nQuelle: IQB-Aufgabenpool 2026, Analytische Geometrie, grundlegendes Niveau, Teil ohne Hilfsmittel, Aufgabengruppe 2.
\nEine Gerade im Raum beschreibst du mit einem Stützpunkt und einem Richtungsvektor: x = OA + t · u. Zwei Geraden können identisch, parallel, schneidend oder windschief sein; windschief heißt, sie sind nicht parallel und treffen sich trotzdem nicht. Die Lage findest du, indem du beide Gleichungen gleichsetzt und das Gleichungssystem löst. Ein Punkt liegt nur dann auf einer Geraden, wenn ein und derselbe Parameter alle drei Zeilen erfüllt. Den kürzesten Weg von einem Punkt zur Geraden findest du mit dem Skalarprodukt: Er steht senkrecht auf dem Richtungsvektor.
In der Ebene beschreibst du eine Gerade mit y = m · x + c. Im Raum geht das nicht, weil es drei Koordinaten gibt. Stattdessen sagst du: Starte an einem Punkt und geh in eine feste Richtung, beliebig weit vor oder zurück. Der Startpunkt heißt Stützpunktein Punkt, der auf der Geraden liegt; sein Ortsvektor steht vorn in der Gleichung, die Richtung Richtungsvektorder Vektor, der angibt, in welche Richtung die Gerade läuft; jedes Vielfache (außer 0) ist auch einer, und die Zahl, die sagt, wie weit du gehst, Parameterdie Variable t in der Geradengleichung; jeder Wert von t gibt einen Punkt der Geraden.
\nDiese Schreibweise heißt Parameterformx = Stützvektor + t · Richtungsvektor. Was ein Vektor ist und wie du mit ihm rechnest, steht auf Punkte und Vektoren im Raum.
\nEine Gerade ist ein unendlich langer Faden im Raum. Du brauchst einen Punkt, der darauf liegt (Stützpunkt), und eine Richtung, in die der Faden weitergeht (Richtungsvektor). Beides kommt aus Punkte und Vektoren im Raum.
\nParameterform: x = OA + t · u. Starte beim Punkt A, gehe beliebig weit (Parameter t) in die Richtung u. Jeder Wert von t liefert einen Punkt, die Gerade hört nicht auf.
\nSind zwei Punkte A und B gegeben, nimmst du A als Stützpunkt und den Verbindungsvektor AB als Richtung: x = OA + t · AB. Bei t = 0 bist du in A, bei t = 1 in B.
\nWindschief gibt es in der Zeichenebene nicht. Wer nur in 2D denkt, vergisst diese Möglichkeit.
\nSo findest du den Schnittpunkt, und siehst dabei, welche der vier Lagen vorliegt:
\nMini-Rechnung: g: (1 | 0 | 0) + t · (1 | 1 | 0) und h: (2 | 1 | 0) + s · (0 | 0 | 1)
\nGenauso prüfst du, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt: Er liegt nur dann darauf, wenn ein und dasselbe t alle drei Zeilen erfüllt.
\nMini-Rechnung windschief: g: (0 | 0 | 0) + t · (1 | 0 | 0) und h: (0 | 1 | 1) + s · (0 | 1 | 0)
\nEin Spurpunktder Punkt, in dem eine Gerade eine Koordinatenebene durchstößt ist der Punkt, in dem die Gerade eine Koordinatenebene durchstößt. Für die x₁x₂-Ebene setzt du die dritte Koordinate null. Beispiel g: (1 | 2 | 3) + t · (1 | 1 | −1): 3 − t = 0 ergibt t = 3, Spurpunkt (4 | 5 | 0).
\nEine Strecke von A nach B beschreibst du wie die Gerade durch A und B, nur mit 0 ≤ t ≤ 1. Bei t = ½ bist du im Mittelpunkt.
\n\nDie kürzeste Verbindung von einem Punkt zu einer Geraden trifft die Gerade im rechten Winkel. Deshalb setzt du das Skalarprodukt aus Skalarprodukt: senkrecht und Winkel gleich 0. Der Treffpunkt heißt Lotfußpunktder Punkt F auf der Geraden, an dem die kürzeste Verbindung vom Punkt P ankommt; PF steht senkrecht auf der Geraden F.
\nMini-Rechnung: Abstand von P(2 | 0 | 1) zur Geraden g: (0 | 0 | 0) + t · (1 | 1 | 0)
\nGenau diese Idee braucht die folgende Klausuraufgabe.
\n\nGegeben sind unter anderem S(4 | 4 | 12) und F(8 | 4 | 6).
\nf) Zur Stabilisierung wird zwischen den durch E(4 | 0 | 6) und G(4 | 8 | 6) dargestellten Giebelspitzen ein gerader Stahlträger montiert. Vom Mittelpunkt dieses Stahlträgers aus soll eine möglichst kurze Stütze zum durch SF dargestellten Balken verlaufen. Der Punkt, in dem die Stütze auf den Balken trifft, wird im Modell mit R bezeichnet; R stimmt weder mit F noch mit S überein.
\nBeschreiben Sie, wie man die Koordinaten von R ermitteln könnte.
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2022, Analytische Geometrie. Aus diesem gemeinsamen Pool nehmen die Länder Aufgaben für ihr Abitur. Mit Taschenrechner. Aufgabentext gekürzt.
\nTeil b derselben Kirchturm-Aufgabe (die Raute) hast du auf dem Lernzettel Punkte und Vektoren im Raum schon gerechnet.
\nBeschreiben, wie man R findet (du musst nichts ausrechnen, aber jeden Schritt mit Fachbegriffen benennen):
\nHier musst du selbst erkennen, welcher Punkt auf der Geraden gesucht ist (Anforderungsbereich III).
\nBetrachtet wird das Quadrat, das die folgenden Eigenschaften besitzt:
\nBestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Diagonalen und berechnen Sie den Flächeninhalt des Quadrats. (5 BE)
\nQuelle: IQB-Aufgabenpool 2024, Analytische Geometrie, grundlegendes Niveau, Teil ohne Hilfsmittel, Aufgabengruppe 2.
\nWas die Korrektur erwartet: λ = 2, M(3 | 4 | 0), |OM| = 5 und den Flächeninhalt 50. Ebenso richtig: Die Diagonale ist 10 lang, und ein Quadrat mit Diagonale d hat den Inhalt d²/2 = 50.
\nGegeben sind die Gerade g: x = 23−7 + s · 105 mit s ∈ ℝ sowie die Gerade h durch die Punkte A(4 | 0 | 0) und B(5 | 1 | b) mit einer reellen Zahl b.
\na) Begründen Sie, dass A nicht auf g liegt. (1 BE)
\nb) Die Geraden g und h haben einen gemeinsamen Punkt. Ermitteln Sie den Wert von b. (4 BE)
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2023, Analytische Geometrie, grundlegendes Niveau, Teil ohne Hilfsmittel.
\nEine Ebene ist eine unendlich große, ebene Fläche im Raum. Du beschreibst sie in Parameterform mit einem Punkt und zwei Richtungen oder in Koordinatenform mit einer Gleichung wie 2x₁ + x₂ − x₃ = 5. Die Zahlen vor x₁, x₂ und x₃ bilden den Normalenvektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Mit der Koordinatenform prüfst du durch Einsetzen, ob ein Punkt in der Ebene liegt, und findest Schnittpunkte mit Geraden. Zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren Vielfache sind, sonst schneiden sie sich in einer Geraden.
Eine Gerade ist wie ein unendlich langer Faden, eine Ebeneeine unendlich ausgedehnte, flache Fläche im Raum ohne Dicke wie ein unendlich großes Blatt Papier ohne Dicke. Durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, geht genau eine Ebene. Wie du prüfst, ob drei Punkte auf einer Geraden liegen, steht auf Punkte und Vektoren im Raum.
\nDer wichtigste Begriff ist der Normalenvektorein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht, also senkrecht auf jeder Richtung in der Ebene: ein Pfeil, der senkrecht aus dem Blatt herausragt. Er legt fest, wie die Ebene im Raum geneigt ist. Senkrecht prüfst du mit dem Skalarprodukt aus Skalarprodukt: senkrecht und Winkel.
\nEine Gerade ist wie ein unendlich langer Faden. Eine Ebene ist wie ein unendlich großes Blatt Papier: es hat Länge und Breite, aber keine Dicke. Es teilt den Raum in „davor“ und „dahinter“.
\nUm so ein Blatt festzulegen, reicht oft: ein Punkt, der darauf liegt, und zwei Richtungen, in die das Blatt weitergeht. Die beiden Richtungen dürfen nicht parallel sein, sonst klappt das Blatt zu einer Linie zusammen. Punkte und Richtungen kommen aus Punkte und Vektoren im Raum und Geraden und ihre Lage im Raum.
\nDer Normalenvektor steht senkrecht auf beiden Richtungen in der Ebene. Deshalb kannst du mit Skalarprodukt: senkrecht und Winkel prüfen, ob zwei Ebenen senkrecht zueinander stehen: ihre Normalenvektoren müssen Skalarprodukt 0 haben.
\nMini-Rechnung Koordinatenform: Ebene durch A(1 | 2 | 3) mit den Richtungen u = 101 und v = 011.
\nFindest du n nicht durch Hinschauen, stellst du mit n · u = 0 und n · v = 0 ein Gleichungssystem auf und wählst eine Zahl frei.
\nMini-Rechnung Schnittpunkt: Gerade g: (0 | 0 | 0) + t · (1 | 1 | 1) und Ebene E: x + y + z = 3
\nDie Spurpunktedie Punkte, in denen eine Ebene die Koordinatenachsen schneidet einer Ebene sind ihre Schnittpunkte mit den Achsen. Für die x₁-Achse setzt du x₂ = x₃ = 0. Bei E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 sind das (3 | 0 | 0), (0 | 6 | 0) und (0 | 0 | 3). Mit ihnen zeichnest du die Ebene als Dreieck ins Schrägbild. Die Gerade, in der E eine Koordinatenebene schneidet, heißt Spurgerade, in der x₁x₂-Ebene hier 2x₁ + x₂ = 6.
\nFehlt eine Koordinate in der Gleichung, ist die Ebene parallel zu dieser Achse: 3x₁ − 2x₂ = 0 enthält keine x₃, die Ebene ist parallel zur x₃-Achse und geht hier sogar durch den Ursprung, enthält also die x₃-Achse.
\n\nSind die Normalenvektoren Vielfache, sind die Ebenen parallel oder identisch. Sonst schneiden sie sich in einer Schnittgeradendie Gerade, die zwei sich schneidende Ebenen gemeinsam haben. Du findest sie, indem du eine Variable als Parameter wählst und das Gleichungssystem löst.
\nMini-Rechnung: E₁: x₁ + x₂ + x₃ = 3 und E₂: x₁ − x₂ = 1
\nMit der Koordinatenform beantwortest du auch die typischen Kurzfragen der Klausur: Liegt ein Punkt in der Ebene? Wie liegt die Ebene im Koordinatensystem? Stehen zwei Ebenen senkrecht? Alle drei kommen in der folgenden Aufgabe vor.
\n\nGegeben ist die Ebene E: 3 · x − 2 · y = 0.
\na) Prüfen Sie, ob der Punkt (1 | 1,5 | 7) in E liegt.
\nb) Beschreiben Sie die besondere Lage von E im Koordinatensystem.
\nc) Bestimmen Sie diejenige reelle Zahl r, für die die Ebene F: 2 · x + r · y + z = 4 senkrecht zu E steht.
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2022, Analytische Geometrie. Aus diesem gemeinsamen Pool nehmen die Länder Aufgaben für ihr Abitur.
\nTeil a): Liegt der Punkt in E?
\nTeil b): besondere Lage beschreiben
\nTeil c): r so bestimmen, dass F senkrecht zu E steht
\nMehr zum Skalarprodukt-Test: Skalarprodukt: senkrecht und Winkel.
\nDiese Aufgabe kommt vom erhöhten Niveau. Teil b gehört zum Anforderungsbereich III: Du musst einen Vektor finden, der zwei Rollen zugleich spielt.
\nGegeben ist die Ebene E: 2x₁ + x₂ − 2x₃ = −18.
\na) Der Schnittpunkt von E mit der x₁-Achse, der Schnittpunkt von E mit der x₂-Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. (2 BE)
\nb) Ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von E als auch der Ortsvektor eines Punkts der Ebene E ist. (3 BE)
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2017, Analytische Geometrie, erhöhtes Niveau, Teil ohne Hilfsmittel, Aufgabengruppe 2.
\nWas die Korrektur erwartet: die beiden Spurpunkte, 81, den Ansatz „Vielfaches des Normalenvektors“ und r = −2. Die Idee in b ist, beide Bedingungen in einer Gleichung zu verbinden.
\na) Die Ebene E: 3x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 6 enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimmen Sie diese Koordinaten. (2 BE)
\nb) Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist: Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. (3 BE)
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2019, Analytische Geometrie, erhöhtes Niveau, Teil ohne Hilfsmittel, Aufgabengruppe 2.
\nEin Abstand ist immer der kürzeste Weg, und der kürzeste Weg trifft im rechten Winkel auf. Den Abstand zweier Punkte rechnest du als Länge des Verbindungsvektors. Für den Abstand eines Punkts von einer Ebene setzt du ihn in die Abstandsformel mit der Koordinatenform ein oder gehst über die Lotgerade zum Lotfußpunkt. Für den Abstand Punkt–Gerade suchst du den Geradenpunkt, dessen Verbindung zum Punkt senkrecht auf dem Richtungsvektor steht. Abstände von parallelen Ebenen, Geraden und von windschiefen Geraden führst du auf diese Fälle zurück.
Wie hoch fliegt eine Drohne über einem schrägen Dach? Von der Drohne führen viele Wege zum Dach, aber nur einer ist am kürzesten: der, der senkrecht auftrifft. Seine Länge heißt Abstanddie Länge des kürzesten Wegs zwischen zwei Objekten; er steht senkrecht auf der Ebene oder Geraden.
\nSenkrecht prüfst du mit dem Skalarprodukt (Skalarprodukt: senkrecht und Winkel), und die Richtung senkrecht zu einer Ebene liefert ihr Normalenvektor (Ebenen im Raum). Mehr brauchst du für alle Abstandsaufgaben nicht.
\nEin Punkt P schwebt über einer Ebene E. Von P aus gibt es viele Wege zur Ebene, aber nur einer ist am kürzesten: der Weg senkrecht zur Ebene. Er heißt Lotdie Strecke, die senkrecht von einem Punkt auf eine Ebene oder Gerade trifft, sein Endpunkt F auf der Ebene heißt Lotfußpunkt. Die Länge der Strecke PF ist der Abstand.
\nSenkrecht zur Ebene zeigt ihr Normalenvektor n. Den liest du aus der Koordinatenform ab, mehr dazu in Ebenen im Raum.
\nDer Abstand ist die Länge des Verbindungsvektors: d(A; B) = |AB| = √((b₁ − a₁)² + (b₂ − a₂)² + (b₃ − a₃)²).
\nMini-Rechnung: A(1 | 2 | 3), B(3 | 5 | 9). AB = (2; 3; 6), |AB| = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7.
\nDie Ebene steht in Koordinatenform: E: a·x + b·y + c·z = d. Dann gilt für einen Punkt P(p₁ | p₂ | p₃):
\nd(P; E) = |a·p₁ + b·p₂ + c·p₃ − d| / √(a² + b² + c²)
\nDiese Formel ist die Hesse’sche Normalenformdie Ebenengleichung, durch die Länge des Normalenvektors geteilt; setzt man einen Punkt ein, erhält man (bis aufs Vorzeichen) seinen Abstand, umgestellt nach dem Abstand. Oben steht, wie stark P die Ebenengleichung „verfehlt“, unten die Länge des Normalenvektors. Die Betragsstriche sorgen dafür, dass der Abstand nie negativ ist.
\nMini-Rechnung: E: 2x + y + 2z = 6 und P(3 | 1 | 4).
\nZähler: |2 · 3 + 1 + 2 · 4 − 6| = |6 + 1 + 8 − 6| = 9. Nenner: √(4 + 1 + 4) = 3.
\nd(P; E) = 9 / 3 = 3.
\nManche Aufgaben wollen den Punkt F selbst wissen. Dann gehst du in vier Schritten vor:
\nMini-Rechnung: Gleiches Beispiel, l: x = (3; 1; 4) + t · (2; 1; 2).
\nEinsetzen: 2(3 + 2t) + (1 + t) + 2(4 + 2t) = 6, also 15 + 9t = 6 und t = −1.
\nF = (3 − 2 | 1 − 1 | 4 − 2) = (1 | 0 | 2). Probe: 2 · 1 + 0 + 2 · 2 = 6, F liegt in E.
\n|PF| = |(−2; −1; −2)| = √9 = 3. Gleiches Ergebnis wie mit der Formel.
\nHier hilft das Skalarprodukt aus Skalarprodukt: senkrecht und Winkel. Der Lotfußpunkt F liegt auf der Geraden g: x = A + s · u, und der Vektor FP steht senkrecht auf u: (P − F) · u = 0. Daraus bekommst du s, dann F, dann |PF|.
\nMini-Rechnung: g: x = s · (2; 1; 2) und P(5 | −1 | 0).
\nF = (2s | s | 2s). Bedingung: (5 − 2s) · 2 + (−1 − s) · 1 + (0 − 2s) · 2 = 0, also 9 − 9s = 0 und s = 1.
\nF = (2 | 1 | 2), FP = (3; −2; −2), Abstand √(9 + 4 + 4) = √17 ≈ 4,12.
\nMini-Rechnung windschief: g: (1 | 0 | 0) + t · (1 | 1 | 0) und h: (0 | 0 | 2) + s · (1 | −1 | 0)
\nDie Ebene E wird durch die Gleichung x = 1−30 + r · −341 + s · 3−40 mit r, s ∈ ℝ beschrieben.
\na) Zeigen Sie, dass der Vektor 430 senkrecht zur Ebene E steht.
\nb) Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punkts P mit folgender Eigenschaft: Wird der Punkt P an der Ebene E gespiegelt, so hat der entstehende Punkt vom Punkt P den Abstand 20.
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2025, Analytische Geometrie, hilfsmittelfreier Teil.
\nTeil a)
\nTeil b)
\nEs gibt weitere richtige Lösungen, gefragt ist nur „ein Punkt“: Auch (1 | −3 | 0) − 2 · (4; 3; 0) = (−7 | −9 | 0) passt, ebenso jeder andere Punkt mit Abstand 10 von E. Kontrolle mit der Abstandsformel (eigene Rechnung): E: 4x + 3y = −5, d(P; E) = |4 · 9 + 3 · 3 + 5| / 5 = 50 / 5 = 10.
\nDie Ebenen E₁: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 und E₂: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 15 sind parallel. Begründe das und berechne ihren Abstand.
\nGegeben sind für a ∈ ℝ die Geraden ga: x = 1−1−3 + t · 1a−2a mit t ∈ ℝ sowie für eine reelle Zahl c die Ebene E: 2x₂ + x₃ = c. Jede Gerade ga liegt in E.
\na) Bestimmen Sie c. (1 BE)
\nb) Beurteilen Sie die folgende Aussage, ohne Abstände zu berechnen: Der Punkt P(1 | 3 | −1) hat zu jeder Gerade ga den gleichen Abstand. (4 BE)
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2026, Analytische Geometrie, erhöhtes Niveau, Teil ohne Hilfsmittel, Aufgabengruppe 2.
\nEin Kreis besteht aus allen Punkten, die vom Mittelpunkt M denselben Abstand r haben: (x − xM)² + (y − yM)² = r². Mittelpunkt und Radius liest du nach quadratischem Ergänzen ab. Ob ein Punkt auf, in oder außerhalb liegt, zeigt der Vergleich mit r². Eine Gerade ist Sekante, Tangente oder Passante, je nachdem, ob die eingesetzte Gleichung zwei, eine oder keine Lösung hat. Die Tangente steht senkrecht auf dem Radius, und im Raum wird aus dem Kreis die Kugel.
Ein Zirkel hält einen festen Abstand zum Einstichpunkt. Genau das ist ein Kreis: alle Punkte mit Abstand r vom Mittelpunktder Punkt M, von dem alle Kreispunkte denselben Abstand haben M. Den Abstand zweier Punkte rechnest du mit dem Satz des Pythagoras, und daraus wird die Kreisgleichung.
\nEine Gerade kann einen Kreis zweimal schneiden (SekanteGerade, die den Kreis in zwei Punkten schneidet), genau einmal berühren (TangenteGerade, die den Kreis in genau einem Punkt berührt; sie steht dort senkrecht auf dem Radius) oder ganz vorbeigehen (PassanteGerade ohne gemeinsamen Punkt mit dem Kreis).
\nEin Kreis besteht aus allen Punkten, die vom Mittelpunkt M genau den Abstand r haben. Die Tangente in einem Kreispunkt P berührt den Kreis nur in P und steht senkrecht auf dem Radius MP.
\nMit dem Abstand zweier Punkte (siehe Abstände im Raum) wird aus „Abstand r von M(xM | yM)“ die übliche Koordinatenform:
\n(x − xM)² + (y − yM)² = r²
\nIn Vektorschreibweise heißt dieselbe Bedingung (x − m)² = r², dabei ist m der Ortsvektor des Mittelpunkts.
\nMini-Rechnung: Gegeben ist x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0. Gesucht sind Mittelpunkt und Radius.
\nQuadratisch ergänzen: (x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 − 12 = 0, also (x − 2)² + (y + 3)² = 25.
\nMittelpunkt M(2 | −3), Radius r = 5.
\nSetz den Punkt in die linke Seite ein und vergleiche mit r²: gleich heißt auf dem Kreis, kleiner heißt innen, größer heißt außen.
\nP(5 | 1): (5 − 2)² + (1 + 3)² = 9 + 16 = 25 = r². P liegt auf dem Kreis.
\nSetz die Geradengleichung in die Kreisgleichung ein. Die entstehende quadratische Gleichung hat zwei Lösungen (Sekante), eine (Tangente) oder keine (Passante). Alternativ vergleichst du den Abstand des Mittelpunkts von der Geraden mit r.
\nGerade y = 2: (x − 2)² + 25 = 25, also (x − 2)² = 0. Genau eine Lösung x = 2: Tangente im Punkt (2 | 2).
\nGerade y = 3: (x − 2)² + 36 = 25, also (x − 2)² = −11. Keine Lösung: Passante.
\nDie Tangente steht senkrecht auf dem Radius. Für Steigungen heißt das mTangente · mRadius = −1.
\nTangente in P(5 | 1): Steigung des Radius MP ist (1 − (−3)) / (5 − 2) = 4/3, also hat die Tangente die Steigung −3/4.
\nPunkt einsetzen: 1 = −3/4 · 5 + n, also n = 19/4. Tangente: y = −3/4 · x + 19/4.
\nMit einer dritten Koordinate wird aus dem Kreis eine Kugel: (x − xM)² + (y − yM)² + (z − zM)² = r². Ob eine Ebene die Kugel schneidet, berührt oder verfehlt, entscheidest du über den Abstand des Mittelpunkts von der Ebene, genau wie bei Abstände im Raum: kleiner als r schneidet, gleich r berührt, größer als r verfehlt.
\n\nKugel und Gerade: Setz die Geradengleichung in die Kugelgleichung ein. Beispiel: Kugel x² + y² + z² = 9 und Gerade (1 | 1 | 0) + t · (0 | 0 | 1). Einsetzen: 1 + 1 + t² = 9, also t = ±√7. Zwei Lösungen: Die Gerade durchstößt die Kugel in (1 | 1 | √7) und (1 | 1 | −√7).
\n\nGegeben ist die Schar der in ℝ definierten Funktionen fa: x ↦ 1/4 · x³ + ax² + ax + 1/4 mit a ∈ ℝ. […]
\ne) Es gibt Kreise, deren Mittelpunkte auf der y-Achse liegen und die den Graphen der ersten Ableitungsfunktion von f0 in genau zwei Punkten berühren. Der Punkt A(1 | 3/4) ist ein Berührpunkt eines solchen Kreises. Bestimmen Sie rechnerisch die y-Koordinate des Mittelpunktes dieses Kreises.
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2026, Analysis, Aufgabe aus dem Teil mit Hilfsmitteln (Teilaufgabe e, gekürzt).
\nProbe (eigene Rechnung): r² = 1² + (3/4 − 17/12)² = 1 + 4/9 = 13/9. Der Kreis x² + (y − 17/12)² = 13/9 berührt die Parabel y = 3/4 · x² genau in (1 | 3/4) und (−1 | 3/4).
\nGegeben ist der Kreis k: (x − 2)² + (y + 3)² = 25. Liegt Q(−1 | 0) auf, in oder außerhalb von k? Ist die Gerade x = 7 eine Tangente?
\n