In der Prüfung kommt ein mehrstufiges Zufallsexperiment als Aufgabe mit Baumdiagramm oder Vierfeldertafel vor; Punkte gibt es für die richtigen Pfade und den nachvollziehbaren Rechenweg mit Begründung. Ein Baumdiagramm zeigt ein Zufallsexperiment mit mehreren Stufen, zum Beispiel erst krank oder gesund, dann Test positiv oder negativ. Entlang eines Pfades multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten, führen mehrere Pfade zum selben Ergebnis, addierst du sie. Eine Vierfeldertafel ordnet dieselben Zahlen nach zwei Merkmalen. Die bedingte Wahrscheinlichkeit PB(A) fragt, wie wahrscheinlich A ist, wenn B schon feststeht, und du rechnest sie als P(A ∩ B) geteilt durch P(B). Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn P(A ∩ B) = P(A) · P(B) gilt.
Ein Zufallsexperimentein Vorgang mit mehreren möglichen Ausgängen, bei dem du vorher nicht weißt, welcher eintritt, zum Beispiel Würfeln hat mehrere mögliche Ausgänge. Ein Ereigniseine Menge von Ausgängen, zum Beispiel „gerade Zahl gewürfelt“ fasst Ausgänge zusammen, etwa „eine gerade Zahl“ beim Würfeln. Seine Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher).
\nIn Abituraufgaben stehen Ereignisse als Zeichen. Lern sie einmal, dann liest du jede Aufgabe:
\nSind alle Ausgänge gleich wahrscheinlich (fairer Würfel, gut gemischte Urne), ist die Wahrscheinlichkeit „günstige Ausgänge geteilt durch alle Ausgänge“.
\nDer Baum hilft, wenn ein Experiment in Stufen abläuft: erst die eine Frage, dann die nächste. Oder beim Ziehen ohne Zurücklegen: Dann ändert sich die Wahrscheinlichkeit von Zug zu Zug. Wiederholst du dagegen dasselbe Experiment mit immer gleicher Trefferwahrscheinlichkeit, ist Binomialverteilung schneller.
\n\nMini-Rechnung: 40 % kommen mit dem Bus, davon 25 % zu spät. Von den anderen kommen 10 % zu spät. Wie groß ist P(zu spät)?
\nManchmal brauchst du zuerst die Zahl der Möglichkeiten. Hat die erste Stufe 3 Möglichkeiten und die zweite 4, gibt es 3 · 4 = 12 Pfade. Zweimal Würfeln hat 6 · 6 = 36 gleich wahrscheinliche Ergebnisse, die Augensumme 4 kommt in (1; 3), (2; 2) und (3; 1) vor, also mit 3/36 = 1/12. Wichtig: (1; 3) und (3; 1) sind verschiedene Ergebnisse, weil die Reihenfolge zählt.
\n\nDie VierfeldertafelTabelle mit zwei Merkmalen; innen stehen die Wahrscheinlichkeiten für „beides zusammen“, am Rand die Summen passt, wenn es um zwei Merkmale geht, hier „Bus ja/nein“ und „spät ja/nein“. In den vier inneren Feldern stehen die „und“-Wahrscheinlichkeiten, also genau die Pfade aus dem Baum. Am Rand stehen die Summen.
\n| spät | pünktlich | Summe | |
|---|---|---|---|
| Bus | 0,10 | 0,30 | 0,40 |
| nicht Bus | 0,06 | 0,54 | 0,60 |
| Summe | 0,16 | 0,84 | 1 |
So füllst du sie: Was du kennst, trägst du ein (0,40 und 0,60 am Rand, die Pfade 0,10 und 0,06 innen). Der Rest ergibt sich, weil jede Zeile und jede Spalte ihre Summe ergeben muss. Hat ein Merkmal mehr als zwei Ausprägungen, wird daraus eine Mehrfeldertafel, die Regeln bleiben gleich.
\n\nDie bedingte Wahrscheinlichkeitdie Wahrscheinlichkeit von A, wenn du schon weißt, dass B eingetreten ist von A unter der Bedingung B schreibst du PB(A) oder P(A | B). Unten steht, was du schon weißt, vorn, was gefragt ist. PTest positiv(krank) ist etwas anderes als Pkrank(Test positiv).
\nAusrechnen geht immer gleich: die Wahrscheinlichkeit für „beides zusammen“ geteilt durch die Wahrscheinlichkeit der Bedingung.
\nPB(A) = P(A ∩ B) / P(B)
\nMini-Rechnung bedingt: Jemand kommt zu spät. Wie wahrscheinlich ist er mit dem Bus gekommen?
\nZum Vergleich: PBus(spät) = 25 %. Dieselben Menschen, aber eine ganz andere Frage.
\nDiese Umkehrung heißt Satz von BayesFormel für die umgedrehte bedingte Wahrscheinlichkeit: PB(A) = P(A) · PA(B) / P(B): PB(A) = P(A) · PA(B) / P(B). Du brauchst die Formel nicht auswendig, wenn du so rechnest wie oben. Zeichnest du den Baum mit vertauschten Stufen (erst spät oder pünktlich, dann Bus oder nicht), heißt er umgekehrtes oder inverses Baumdiagramm. Seine Pfade sind dieselben Zahlen wie in der Vierfeldertafel.
\n\nZwei Ereignisse heißen stochastisch unabhängigdas Eintreten des einen ändert die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht; dann gilt P(A ∩ B) = P(A) · P(B), wenn das Wissen über das eine die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht ändert: PB(A) = P(A). Gleichwertig und meist schneller zu prüfen ist P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Im Bus-Beispiel: P(Bus) · P(spät) = 0,4 · 0,16 = 0,064, aber P(Bus ∩ spät) = 0,10. Also hängt Zuspätkommen davon ab, ob jemand Bus fährt.
\nMini-Rechnung aus einer Abituraufgabe: Ein Glücksrad hat drei gleich große Sektoren mit den Zahlen 1, 2 und 3 und wird zweimal gedreht. A: „Es wird (1; 3), (2; 2) oder (3; 1) erzielt.“ B: „Beim ersten Drehen wird eine 2 erzielt.“ Sind A und B stochastisch unabhängig?
\nNach IQB-Aufgabenpool 2018, Stochastik, erhöhtes Niveau, Teil ohne Hilfsmittel (Teilaufgabe b). Im Original zeigt eine Abbildung die Beschriftung, hier steht sie im Text.
\nIn einer Region beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person Heuschnupfen hat, 15 %. Ein Allergietest ist bei einer Person, die Heuschnupfen hat, mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % positiv. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test bei einer Person positiv ist, obwohl diese Person keinen Heuschnupfen hat, beträgt 2 %.
\na) Bei einer zufällig ausgewählten Person wird der Allergietest durchgeführt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person keinen Heuschnupfen hat, der Test aber positiv ist. (2 BE)
\nb) Deuten Sie den Term (0,15 · 0,9) / (0,15 · 0,9 + 0,85 · 0,02) im Sachzusammenhang. (3 BE)
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2021, Stochastik. Aus diesem gemeinsamen Pool nehmen die Länder Aufgaben für ihr Abitur.
\nTeil a): „kein Heuschnupfen und positiv“ berechnen
\nTeil b): den Term deuten
\nTeil b gehört zum Anforderungsbereich III, der höchsten Stufe: Hier musst du selbst erkennen, dass nach einer bedingten Wahrscheinlichkeit gefragt ist und welche Pfade dazugehören.
\nIn einer Urne U1 befinden sich vier rote und zwei gelbe Kugeln, in einer Urne U2 zwei rote, eine gelbe und eine blaue Kugel.
\na) Eine der beiden Urnen wird zufällig ausgewählt. Anschließend wird daraus zweimal hintereinander jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt. Geben Sie einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmt werden kann, dass beide entnommenen Kugeln rot sind. (2 BE)
\nb) Eine der beiden Urnen wurde zufällig ausgewählt; aus dieser wurde eine Kugel zufällig entnommen. Die entnommene Kugel ist gelb oder blau. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die entnommene Kugel aus der Urne U1 stammt. (3 BE)
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2017, Stochastik, Teil ohne Hilfsmittel, Aufgabengruppe 2.
\nTeil a) Erste Stufe: welche Urne (je 1/2). Zweite und dritte Stufe: zweimal rot mit Zurücklegen. In U1 ist P(rot) = 4/6 = 2/3, in U2 ist P(rot) = 2/4 = 1/2.
\nTerm: 1/2 · 2/3 · 2/3 + 1/2 · 1/2 · 1/2. Gefragt ist nur der Term, ausrechnen musst du ihn nicht.
\nTeil b)
\nWas die Korrektur erwartet: Im Erwartungshorizont steht genau dieser Bruch, (1/2 · 1/3) / (1/2 · 1/3 + 1/2 · 1/2) = 12/30. 12/30 und 2/5 sind derselbe Wert. Die Antwort „1/2, weil jede Urne gleich wahrscheinlich ist“ wäre falsch: Sie übersieht die Bedingung.
\nVon weißen Mäusen eines Zuchtbetriebs ist bekannt, dass 20 % der Mäuse an der Krankheit A und 8 % an der Krankheit B leiden. 3 % der Mäuse leiden an beiden Krankheiten.
\na) Begründen Sie, dass der Anteil der Mäuse, die mindestens an einer der beiden Krankheiten leiden, 25 % beträgt. (2 BE)
\nb) Von uns ergänzt: Untersuchen Sie, ob die Ereignisse „Maus leidet an A“ und „Maus leidet an B“ stochastisch unabhängig sind.
Quelle für a): IQB, Beispielaufgaben für den Abituraufgabenpool, Stochastik, grundlegendes Niveau, Teil ohne Hilfsmittel. Teil b) ist eine Zusatzfrage von uns.
\nAuf erhöhtem Niveau ist die Unabhängigkeit oft gegeben, und du rechnest damit eine Unbekannte aus. Dazu brauchst du: Sind A und B unabhängig, dann auch A und B̄ (und ebenso Ā und B sowie Ā und B̄).
\nZu einem Zufallsexperiment werden zwei stochastisch unabhängige Ereignisse A und B betrachtet. Es gilt P(B) = P(A) + 0,6 sowie P(A ∩ B̄) = 0,04. Bestimmen Sie P(A). (5 BE)
\nQuelle: IQB-Aufgabenpool 2025, Stochastik, erhöhtes Niveau, Teil ohne Hilfsmittel, Aufgabengruppe 2.
\nIn der Prüfung sollst du bei einer Zufallsgröße den Erwartungswert berechnen und deuten; Punkte gibt es für die Rechnung mit Begründung und den Satz, was der Wert im Sachzusammenhang heißt. Eine Zufallsgröße ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zu, zum Beispiel den Gewinn bei einem Spiel. Ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung schreibst du als Tabelle, und die Wahrscheinlichkeiten ergeben zusammen 1. Der Erwartungswert ist die Summe „Wert mal Wahrscheinlichkeit“ und gibt an, was sich auf lange Sicht im Mittel ergibt. Ein Spiel ist fair, wenn der erwartete Gewinn null ist. Varianz und Standardabweichung messen, wie stark die Werte um den Erwartungswert streuen.
Bei vielen Zufallsexperimenten interessiert dich nicht das Ergebnis selbst, sondern eine Zahl dazu: Beim Glücksrad der Gewinn, beim Würfeln mit zwei Würfeln die Augensumme. Diese Zuordnung heißt Zufallsgrößeeine Zuordnung, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zuordnet; meist mit X bezeichnet, meist X genannt. P(X = 5) heißt: Wie wahrscheinlich ist es, dass X den Wert 5 annimmt?
\nDie Tabelle aller Werte mit ihren Wahrscheinlichkeiten heißt Wahrscheinlichkeitsverteilungdie Liste aller Werte, die X annehmen kann, mit ihren Wahrscheinlichkeiten; zusammen ergeben sie 1. Wie du die Wahrscheinlichkeiten findest, steht auf Baumdiagramm und bedingte Wahrscheinlichkeit.
\nEin Glücksrad hat drei Felder. Die Zufallsgröße X ist der Gewinn in Euro. Sie ordnet jedem Feld eine Zahl zu. Die Wahrscheinlichkeiten kommen oft aus einem Baumdiagramm wie in Baumdiagramm und bedingte Wahrscheinlichkeit.
\n\nMini-Rechnung: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Gewinns X:
\nx: 0 €, 1 €, 5 € mit P(X = x): 0,5; 0,3; 0,2.
\nProbe: 0,5 + 0,3 + 0,2 = 1. Die Wahrscheinlichkeiten müssen zusammen 1 ergeben.
\nDer ErwartungswertE(X) = Summe aus Wert mal Wahrscheinlichkeit; der Mittelwert auf lange Sicht: Jeder Wert mal seine Wahrscheinlichkeit, dann alles addieren: E(X) = x₁ · P(X = x₁) + x₂ · P(X = x₂) + … Der Erwartungswert ist der Durchschnitt, der sich auf lange Sicht bei sehr vielen Durchgängen einstellt. Er muss selbst kein möglicher Wert sein.
\nE(X) = 0 · 0,5 + 1 · 0,3 + 5 · 0,2 = 0 + 0,3 + 1 = 1,3. Im Mittel gewinnst du 1,30 € pro Dreh.
\nFair ist das Spiel, wenn der Einsatz genau 1,30 € beträgt. Kostet ein Dreh 2 €, verlierst du im Mittel 0,70 € pro Spiel.
\nDie VarianzV(X): mittlere quadrierte Abweichung vom Erwartungswert und die Standardabweichungσ = √V(X); typische Abweichung vom Erwartungswert, in derselben Einheit wie X messen, wie stark die Werte um den Erwartungswert streuen. Varianz: Für jeden Wert die quadrierte Abweichung (x − E(X))² mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizieren und addieren. Die Standardabweichung σ ist die Wurzel daraus.
\nV(X) = (0 − 1,3)² · 0,5 + (1 − 1,3)² · 0,3 + (5 − 1,3)² · 0,2 = 0,845 + 0,027 + 2,738 = 3,61.
\nσ = √3,61 = 1,9.
\nFür die Binomialverteilung gibt es eine Abkürzung: E(X) = n · p. Mehr dazu in Binomialverteilung.
\n\na) Der Tabelle kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X mit dem Erwartungswert 3 entnommen werden.
\nxᵢ: 1, 3, 4, x₄ mit P(X = xᵢ): 1/2, 5/18, 1/6, 1/18
\nBerechnen Sie den Wert von x₄. (3 BE)
\nb) Die Tabelle zeigt einen Teil der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße Y mit dem Erwartungswert 5.
\nyᵢ: 2, …, 5, … mit P(Y = yᵢ): 1/4, …, 3/8, …
\nZeigen Sie, dass die Standardabweichung von Y größer als 1 ist. (2 BE)
\nQuelle: IQB-Aufgabenpool 2023, Stochastik, hilfsmittelfreier Teil.
\nTeil a): x₄ berechnen
\nTeil b): Standardabweichung größer als 1
\nHier ist kein Einsatz gegeben, sondern ein Verhältnis gesucht (Anforderungsbereich III).
\nBei einem Spiel werfen ein Spieler A und ein Spieler B jeweils einmal ein regelmäßiges Tetraeder, dessen Seiten mit den Zahlen von 1 bis 4 durchnummeriert sind. Ist die vom Spieler B erzielte Zahl um mindestens 2 größer als die vom Spieler A erzielte, so zahlt der Spieler A den Betrag x an den Spieler B aus. Erzielen beide Spieler die gleiche Zahl, erfolgt keine Zahlung. In allen anderen Fällen zahlt der Spieler B den Betrag y an den Spieler A aus. Bei sehr häufiger Durchführung des Spiels ist zu erwarten, dass sich die Auszahlungen zwischen den Spielern ausgleichen. Berechnen Sie das Verhältnis von x und y. (5 BE)
\nQuelle: IQB-Aufgabenpool 2023, Stochastik, grundlegendes Niveau, Teil ohne Hilfsmittel, Aufgabengruppe 2.
\nWas die Korrektur erwartet: die beiden Wahrscheinlichkeiten 3/16 und 9/16 (im Erwartungshorizont als 1/4 · 1/2 + 1/4 · 1/4 und 1 minus der Rest) und x/y = 3. Ein Zahlenbeispiel wie x = 3 €, y = 1 € ist nur dann eine Lösung, wenn du begründest, warum genau dieses Verhältnis passt.
\nIn einem Behälter befinden sich eine schwarze Kugel und w weiße Kugeln, wobei w ≥ 2. Für ein Spiel wird aus dem Behälter zweimal nacheinander eine Kugel ohne Zurücklegen zufällig entnommen.
\na) Geben Sie unter der Annahme, dass w = 3 ist, die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die schwarze Kugel bereits im ersten Zug entnommen wird. (1 BE)
\nb) Der Einsatz bei diesem Spiel beträgt 2 €. Wird die schwarze Kugel beim ersten Zug entnommen, werden 8 € ausgezahlt, wird sie beim zweiten Zug entnommen, so beträgt die Auszahlung 4 €. Wird bei keinem der beiden Züge die schwarze Kugel entnommen, erfolgt keine Auszahlung. Bei wiederholter Durchführung des Spiels ist zu erwarten, dass sich auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgleichen. Ermitteln Sie den zugehörigen Wert von w. (4 BE)
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2025, Stochastik, grundlegendes Niveau, Teil ohne Hilfsmittel, Aufgabengruppe 2.
\nIn der Prüfung kommt die Binomialverteilung als Aufgabe mit und ohne Hilfsmittel vor; Punkte gibt es für die genannten Werte von n, p und k und den nachvollziehbaren Rechenweg, nicht nur fürs Ergebnis. Die Binomialverteilung beschreibt, wie oft ein Treffer vorkommt, wenn du denselben Versuch n-mal unabhängig wiederholst und die Trefferwahrscheinlichkeit p gleich bleibt. Für genau k Treffer gilt P(X = k) = (n über k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. „Mindestens“ rechnest du oft über das Gegenereignis, zum Beispiel P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0). Der Erwartungswert ist n · p, die Standardabweichung σ = √(n · p · (1 − p)). Mit den σ-Regeln schätzt du ab, in welchem Bereich die Trefferzahl mit etwa 95 % Wahrscheinlichkeit liegt.
Ein Versuch mit nur zwei Ausgängen, Treffer oder Niete, heißt Bernoulli-Experimentein Zufallsversuch mit genau zwei Ausgängen, Treffer und Niete. Wiederholst du ihn n-mal unabhängig, entsteht eine Bernoulli-Ketten unabhängige Wiederholungen eines Bernoulli-Experiments mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit p der Länge n. Die Zufallsgröße X zählt die Treffer. Ihre Verteilung heißt Binomialverteilung.
\n„Höchstens 3“ heißt 0, 1, 2 oder 3 Treffer, also P(X ≤ 3). Diese aufaddierten Werte heißen kumuliertaufsummiert: P(X ≤ k) ist die Summe P(X = 0) + … + P(X = k), der Taschenrechner liefert sie direkt. Was Erwartungswert und Standardabweichung allgemein sind, steht auf Zufallsgröße und Erwartungswert.
\nDu wirfst zehnmal eine faire Münze und zählst, wie oft „Kopf“ kommt. Jeder Wurf ist gleich, es gibt nur Kopf oder Zahl, und ein Wurf beeinflusst den nächsten nicht.
\nGenau solche Situationen meint die Binomialverteilung. Bevor du rechnest, prüfst du vier Bedingungen. Passt eine nicht, ist die Binomialverteilung die falsche Schublade. Dann hilft eher Baumdiagramm und bedingte Wahrscheinlichkeit.
\n\nDie Formel für genau k Treffer:
\nP(X = k) = nk · pk · (1−p)n−k
\nDer Binomialkoeffizient nk zählt, auf wie vielen Wegen genau k Treffer in n Versuchen entstehen. Man liest ihn „n über k“. Im zweiten Prüfungsteil liefert ihn der Taschenrechner. Ohne Taschenrechner kommen nur kleine Fälle vor, zum Beispiel „3 über 2“ = 3 (drei Würfe, zwei davon Kopf: KKZ, KZK, ZKK).
\n„Mindestens einer“ rechnest du über das Gegenereignis: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0). Das gleiche Prinzip gilt für „mindestens 3“: 1 − P(X ≤ 2).
\nZwei Zahlen kommen in der Klausur oft dazu:
\nMini-Rechnung: Faire Münze, n = 3, X = Anzahl „Kopf“. P(X = 2)?
\nIn der Klausur sollst du oft gar nicht mit der Formel rechnen. Stattdessen begründest du, warum eine Zahl oder ein Diagramm passt oder nicht. So wie in dieser Aufgabe:
\n\nIst σ > 3, liegt die Trefferzahl mit etwa 68 % Wahrscheinlichkeit höchstens σ von μ entfernt, mit etwa 95 % höchstens 1,96 · σ und mit etwa 95,5 % höchstens 2σ. Diese Faustregeln heißen σ-RegelnFaustregeln, wie wahrscheinlich die Trefferzahl in einem Bereich um den Erwartungswert liegt; gelten gut, wenn σ größer als 3 ist. Der Bereich, in dem die Trefferzahl mit 95 % liegt, heißt PrognoseintervallBereich um den Erwartungswert, in dem die Trefferzahl mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit (oft 95 %) liegt, wenn p bekannt ist.
\nMini-Rechnung: 100-mal eine faire Münze. μ = 50, σ = √(100 · 0,5 · 0,5) = 5 > 3.
\n95-%-Prognoseintervall: 50 ± 1,96 · 5 = 50 ± 9,8, also die Trefferzahlen 41 bis 59. Genau gerechnet ist P(41 ≤ X ≤ 59) ≈ 0,943, die Faustregel liefert also einen guten Näherungswert.
\nKommt 65-mal Kopf, liegt das weit außerhalb. Das spricht dagegen, dass die Münze fair ist. Genau so denkt ein Hypothesentest.
\nRückwärts: das Konfidenzintervall. Kennst du p nicht, sondern nur die relative Häufigkeit h aus einer Stichprobe, fragst du umgekehrt: Für welche p wäre das Ergebnis nicht ungewöhnlich? Alle diese p bilden das 95-%-Konfidenzintervallauch Vertrauensintervall: alle Werte für p, mit denen das Stichprobenergebnis verträglich ist (auch Vertrauensintervall). Eine häufig benutzte Näherung ist h ± 1,96 · √(h · (1 − h) / n). Beispiel: Von 400 Befragten sagen 100 Ja, h = 0,25. √(0,25 · 0,75 / 400) ≈ 0,0217, das Intervall ist etwa [0,208; 0,292]. Wie genau dein Kurs das Intervall bestimmt (mit dieser Näherung oder über eine Ungleichung für p), sagt dir deine Lehrkraft.
\n\nZiehst du ohne Zurücklegen, ändert sich p, und die Binomialverteilung passt nicht. Dann zählst du mit Binomialkoeffizienten: günstige Auswahlen geteilt durch alle Auswahlen. Beispiel: In einer Urne sind 4 rote und 6 blaue Kugeln, du ziehst 3 ohne Zurücklegen. P(genau 2 rot) = (4 über 2) · (6 über 1) / (10 über 3) = 6 · 6 / 120 = 3/10. Den Binomialkoeffizienten rechnest du von Hand als (n über k) = n! / (k! · (n − k)!), zum Beispiel (10 über 3) = 10 · 9 · 8 / (3 · 2 · 1) = 120.
\n\nIm Folgenden werden zwei Würfel stets gemeinsam geworfen. Bei jedem der beiden Würfel sind die Seiten mit den Zahlen von 1 bis 6 durchnummeriert.
\na) Die beiden Würfel werden einmal geworfen. Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei keine „6“ auftritt, 25/36 beträgt.
\nb) Die beiden Würfel werden 36-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe an, bei denen keine „6“ auftritt. Begründen Sie für jede der folgenden Abbildungen, dass sie nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X zeigt.
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2021, Stochastik. Aus diesem gemeinsamen Pool nehmen die Länder Aufgaben für ihr Abitur.
\nTeil a): Wahrscheinlichkeit „keine 6“ begründen
\nTeil b): Warum die drei Abbildungen nicht passen
\nDie drei Histogramme oben sind nachgezeichnet. Wie im Original hat jede Abbildung genau einen Fehler. X ist binomialverteilt mit n = 36 und p = 25/36.
\nGegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit dem Erwartungswert μ = 20 und der Standardabweichung σ = 2. Bestimmen Sie einen parameterfreien Term, mit dem die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses X = 21 berechnet werden kann. (5 BE)
\nQuelle: IQB-Aufgabenpool 2026, Stochastik, grundlegendes Niveau, Teil ohne Hilfsmittel, Aufgabengruppe 2.
\n„Parameterfrei“ heißt: keine Buchstaben n und p mehr im Term, nur Zahlen.
\na) Die binomialverteilte Zufallsgröße X1 hat die Parameter n1 = 4 und p1 sowie den Erwartungswert 2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P(X1 = 4).
\nb) Die binomialverteilte Zufallsgröße X2 hat die Parameter n2 und p2 = 0,2. Formulieren Sie dazu eine Aufgabenstellung, die sich mithilfe des Ansatzes 1 − 0,8n₂ < 0,3 lösen lässt.
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2020, Stochastik. Aus diesem gemeinsamen Pool nehmen die Länder Aufgaben für ihr Abitur.
\nZur Kontrolle, a): Aus n · p = 2 und n = 4 folgt p = 1/2. Vier Treffer bei vier Versuchen: P(X1 = 4) = (1/2)4 = 1/16.
\nZur Kontrolle, b): Eine passende Aufgabe wäre zum Beispiel: Ein Versuch mit der Trefferwahrscheinlichkeit 0,2 wird n₂-mal durchgeführt. Wie oft darf man ihn höchstens durchführen, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer kleiner als 30 % bleibt? Denn 1 − 0,8n₂ ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer.
\nIm Abitur gibt es einen Teil ohne und einen Teil mit Hilfsmitteln. Welche Hilfsmittel dein Land im zweiten Teil erlaubt, steht auf dem Lernzettel „Dein Prüfungstag“.
\n[Eine Studie hat die Arbeits- und Lebensbedingungen von Studierenden einer Universität untersucht.] In derselben Studie wurde auch festgestellt, dass 68 % der Besitzer von Laptops und Desktop-PCs bei einem Software-Problem versuchen, dieses selbstständig zu lösen. Unter den Besitzern dieser Endgeräte werden 900 Personen zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl derjenigen unter diesen 900 Personen, die versuchen, ein Software-Problem selbstständig zu lösen. Dabei wird X als binomialverteilt angenommen.
\na) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens 70 % dieser 900 Personen bei einem Software-Problem versuchen, dieses selbstständig zu lösen. (2 BE)
\nb) Berechnen Sie den Erwartungswert μ von X und ermitteln Sie die kleinste mögliche natürliche Zahl k, sodass P(μ − k ≤ X ≤ μ) ≥ 30 % gilt. (4 BE)
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2024, Stochastik, Teil mit Hilfsmitteln (Taschenrechner), Aufgabe 2 a und b. Den Satz in eckigen Klammern haben wir zum Verständnis ergänzt.
\nMit n = 900 kannst du nichts von Hand ausrechnen. Du brauchst die Funktion für die kumulierte Binomialverteilung deines Rechners: Sie liefert P(X ≤ k) für n, p und k.
\nTeil a)
\nTeil b)
\nViele Messgrößen wie Füllmengen oder Körpergrößen sind normalverteilt: Die meisten Werte liegen nah am Erwartungswert μ, wenige weit weg. Die Dichtefunktion ist eine Glockenkurve mit Hochpunkt bei μ und Wendestellen bei μ − σ und μ + σ. Wahrscheinlichkeiten sind Flächen unter der Glocke, ein einzelner Wert hat die Wahrscheinlichkeit 0. Nach den σ-Regeln liegen etwa 68,3 % der Werte im Bereich μ ± σ und etwa 95,4 % im Bereich μ ± 2σ. Die Binomialverteilung lässt sich für großes σ durch die Normalverteilung annähern.
Bei der Binomialverteilung kann X nur ganze Zahlen annehmen. Eine Füllmenge kann dagegen jeden Wert haben, 499,7 ml genauso wie 500,02 ml. So eine Zufallsgröße heißt stetigeine Zufallsgröße, die jeden Wert in einem Intervall annehmen kann, nicht nur einzelne Zahlen. Für sie gibt es keine Tabelle, sondern eine Dichtefunktiondie Funktion, deren Fläche über einem Intervall die Wahrscheinlichkeit angibt; die Gesamtfläche ist 1: Die Fläche unter ihrem Graphen über einem Bereich ist die Wahrscheinlichkeit dafür.
\nμ (gesprochen „mü“) ist der Erwartungswert, σ (gesprochen „sigma“) die Standardabweichung. Was beide bedeuten, steht auf Zufallsgröße und Erwartungswert.
\nEine Maschine füllt Flaschen mit Saft. Sie zielt auf 500 ml, trifft aber nie ganz genau. Die Füllmenge X in ml ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 500 und der Standardabweichung σ = 4.
\nDer Graph der Dichtefunktion ist eine Glocke. Am höchsten ist sie bei μ, links und rechts davon fällt sie symmetrisch ab. Bei μ − σ und μ + σ liegen ihre Wendestellen. Die ganze Fläche unter der Glocke ist 1.
\nBei einer stetigen Zufallsgröße fragst du nicht nach einem einzelnen Wert, sondern nach einem Bereich. P(496 ≤ X ≤ 504) ist die Fläche unter der Glocke zwischen 496 und 504. Ein einzelner Wert hat die Wahrscheinlichkeit 0, also ist P(X = 500) = 0. Deshalb ist es hier egal, ob du < oder ≤ schreibst. Bei der Binomialverteilung ist das nicht egal.
\nDie Dichtefunktion lautet φ(x) = 1/(σ · √(2π)) · e−(x − μ)² / (2σ²). Aus ihr liest du μ und σ ab: Im Exponenten steht (x − μ)², der Faktor vor e enthält σ. Bei φ(x) = 1/(2 · √(2π)) · e−(x − 7)²/8 ist μ = 7 und σ = 2 (denn 2σ² = 8). Die Flächen liefert der Taschenrechner (Normalverteilung, kumuliert: untere Grenze, obere Grenze, μ, σ).
\n\nMini-Rechnung: Füllmenge X mit μ = 500 und σ = 4.
\nP(496 ≤ X ≤ 504) ≈ 0,683. Etwa 68 % der Flaschen liegen also zwischen 496 und 504 ml.
\nP(X < 492) ≈ 0,023. Etwa 2,3 % der Flaschen enthalten weniger als 492 ml.
\nP(X > 510) ≈ 0,006.
\nUnabhängig von μ und σ gilt für jede Normalverteilung:
\nDamit schätzt du ohne Rechner ab: 492 ml ist μ − 2σ. Außerhalb von [492; 508] liegen etwa 1 − 0,954 = 0,046, wegen der Symmetrie die Hälfte davon links. Also P(X < 492) ≈ 0,023.
\n\nEin größeres μ verschiebt die Glocke nach rechts, ihre Form bleibt gleich. Ein größeres σ macht sie breiter und flacher, denn die Fläche bleibt 1. Ein kleineres σ macht sie schmaler und höher: Die Maschine füllt genauer.
\n\n\nDie Abbildung zeigt den Graphen der Dichtefunktion der normalverteilten Zufallsgröße A.
\na) Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass A einen Wert aus dem Intervall [6; 10] annimmt, beträgt etwa 68 %. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass A einen Wert annimmt, der größer als 10 ist.
\nb) Die Zufallsgröße B ist ebenfalls normalverteilt; der Erwartungswert von B ist ebenso groß wie der Erwartungswert von A, die Standardabweichung von B ist größer als die Standardabweichung von A. Skizzieren Sie in der Abbildung einen möglichen Graphen der Dichtefunktion von B.
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2022, Stochastik, hilfsmittelfreier Teil.
\nTeil a)
\nTeil b)
\nDie Füllmenge ist normalverteilt mit μ = 500 ml. Höchstens 2 % der Flaschen dürfen weniger als 490 ml enthalten. Wie groß darf σ höchstens sein?
\nIn der Prüfung sollst du einen Hypothesentest durchführen und das Ergebnis im Sachzusammenhang formulieren; Punkte gibt es für H₀, den Ablehnungsbereich und einen Antwortsatz. Ein Hypothesentest entscheidet mit einer Stichprobe, ob eine Behauptung über eine Wahrscheinlichkeit p verworfen wird. Die Nullhypothese H₀ wird nur verworfen, wenn das Ergebnis unter H₀ sehr unwahrscheinlich wäre, höchstens mit der Wahrscheinlichkeit α, dem Signifikanzniveau. Den Ablehnungsbereich legst du auf die Seite, deren Ergebnisse gegen H₀ sprechen, und bestimmst seine Grenze mit der Binomialverteilung. Wird H₀ zu Unrecht verworfen, ist das ein Fehler 1. Art, wird sie zu Unrecht beibehalten, ein Fehler 2. Art. Beibehalten heißt nie bewiesen.
Eine Hypotheseeine Behauptung über eine unbekannte Größe, hier über die Trefferwahrscheinlichkeit p ist eine Behauptung, zum Beispiel „höchstens 10 % der Teile sind defekt“. Ob sie stimmt, weißt du nicht. Du siehst nur eine Stichprobeeine zufällige Auswahl, an der du nachzählst, zum Beispiel 50 geprüfte Teile, etwa 50 geprüfte Teile, und die Zahl der Treffer darin ist zufällig.
\nDeshalb legst du vorher fest, ab welcher Trefferzahl du die Behauptung nicht mehr glaubst. Diese Grenze rechnest du mit der Binomialverteilung aus, und zwar so, als ob die Behauptung stimmt.
\nVor Gericht gilt jemand als unschuldig, bis die Beweise klar dagegen sprechen. Beim Test ist es genauso. Die NullhypotheseH₀: die Behauptung, die nur verworfen wird, wenn das Ergebnis unter ihr sehr unwahrscheinlich wäre H0 ist die Behauptung, die du erst verwirfst, wenn das Ergebnis sehr unwahrscheinlich wäre, falls sie stimmt. Wie unwahrscheinlich „sehr unwahrscheinlich“ ist, legt das Signifikanzniveauα: die höchste erlaubte Wahrscheinlichkeit, H₀ zu verwerfen, obwohl sie stimmt; oft 5 % α fest, oft 5 %.
\nBehält man H0 bei, ist sie damit nicht bewiesen. Es gab nur nicht genug Beweise dagegen.
\n\nMini-Rechnung: X ~ B(50; 0,1), α = 5 %.
\nP(X ≥ 9) = 1 − P(X ≤ 8) ≈ 0,058. Das ist größer als 0,05, 9 reicht also noch nicht.
\nP(X ≥ 10) = 1 − P(X ≤ 9) ≈ 0,025. Das ist kleiner als 0,05.
\nAblehnungsbereich: {10; …; 50}. Entscheidungsregel: Sind unter den 50 Teilen mindestens 10 defekt, wird H0 verworfen, sonst beibehalten.
\nMit 9 defekten Teilen wird H0 also nicht verworfen. Die Behauptung des Herstellers ist damit nicht bewiesen, aber auch nicht widerlegt.
\nLiegt der Verdacht auf der anderen Seite (zum Beispiel „mindestens 60 % sind zufrieden“), testest du linksseitig: Der Ablehnungsbereich ist {0; …; k}, und du suchst das größte k mit P(X ≤ k) ≤ α.
\n\nEin Unternehmen organisiert Fahrten mit einem Ausflugsschiff. Möchte man an einer Fahrt teilnehmen, so muss man dafür im Voraus eine Reservierung vornehmen. Erfahrungsgemäß erscheinen von den Personen mit Reservierung einige nicht zur Fahrt. Für die 60 Plätze lässt das Unternehmen deshalb bis zu 64 Reservierungen zu. […]
\nDas Unternehmen richtet ein Online-Portal zur Reservierung ein und vermutet, dass dadurch der Anteil der Personen mit Reservierung, die zur jeweiligen Fahrt nicht erscheinen, zunehmen könnte. Als Grundlage für die Entscheidung darüber, ob pro Fahrt künftig mehr als 64 Reservierungen zugelassen werden, soll die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, beträgt höchstens 10 %.“ mithilfe einer Stichprobe von 200 Personen mit Reservierung auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden. Vor der Durchführung des Tests wird festgelegt, die Anzahl der möglichen Reservierungen pro Fahrt nur dann zu erhöhen, wenn die Nullhypothese aufgrund des Testergebnisses abgelehnt werden müsste.
\nd) Ermitteln Sie für den beschriebenen Test die zugehörige Entscheidungsregel.
\ne) Entscheiden Sie, ob bei der Wahl der Nullhypothese eher das Interesse, dass weniger Plätze frei bleiben sollen, oder das Interesse, dass nicht mehr Personen mit Reservierung abgewiesen werden müssen, im Vordergrund stand. Begründen Sie Ihre Entscheidung.
\nf) Beschreiben Sie den Fehler zweiter Art im Sachzusammenhang.
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2019, Stochastik, Aufgabe aus dem Teil mit Hilfsmitteln (Teilaufgaben d bis f, gekürzt).
\nTeil d): Entscheidungsregel
\nTeil e): Wahl der Nullhypothese
\nDas Risiko, die Zahl der Reservierungen irrtümlich zu erhöhen, ist der Fehler erster Art und beträgt höchstens 5 %. Irrtümlich bei der bisherigen Zahl zu bleiben, kann viel wahrscheinlicher sein. Im Vordergrund stand also das Interesse, dass nicht mehr Personen mit Reservierung abgewiesen werden müssen.
\nTeil f): Fehler zweiter Art
\nEr tritt ein, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit Reservierung nicht erscheint, in Wirklichkeit größer als 10 % ist, das Unternehmen aufgrund des Testergebnisses aber bei der bisherigen Zahl von Reservierungen bleibt.
\nEin Anbieter behauptet: Mindestens 60 % der Kunden sind zufrieden. Du befragst 50 zufällig ausgewählte Kunden und testest die Behauptung auf dem Signifikanzniveau 5 %. Bestimme die Entscheidungsregel.
\nNicht jeder Lehrplan verlangt diese Formen, der Kasten deines Landes unten sagt, was gilt.
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