Die Ableitung f′(x₀) sagt dir, wie steil der Graph von f an der Stelle x₀ ist: Sie ist die Steigung der Tangente in diesem Punkt. Im Teil ohne Hilfsmittel musst du Potenzen, eˣ, sin x, cos x, √x und 1/x von Hand ableiten und dabei Summen-, Faktor- und Produktregel sicher anwenden. Steckt in einer Funktion ein linearer Term wie 2x + 1, kommt dessen Steigung als Faktor dazu. Die Tangente in P(x₀ | f(x₀)) hat die Steigung f′(x₀), den Achsenabschnitt bekommst du durch Einsetzen von P. Die Normale steht senkrecht auf der Tangente und hat die Steigung −1/f′(x₀).
Eine Gerade hat überall dieselbe Steigungwie viel es nach oben (oder unten) geht, wenn du eine Einheit nach rechts gehst; bei y = 3x + 1 ist sie 3. Du liest sie an zwei Punkten ab: Steigung = Höhenunterschied geteilt durch Abstand in x-Richtung. Bei y = 3x + 1 geht es pro Schritt nach rechts 3 nach oben.
\nEine Kurve wie die Parabel y = x² ist dagegen mal flach und mal steil. Ihre Steigung hängt davon ab, wo du gerade bist. Legst du durch zwei Punkte der Kurve eine Gerade, heißt sie SekanteGerade durch zwei Punkte eines Graphen; ihre Steigung ist die mittlere Änderungsrate zwischen den beiden Stellen. Ihre Steigung ist die mittlere Änderungsrate: (f(b) − f(a)) / (b − a).
\nSchiebst du den zweiten Punkt immer näher an den ersten, wird aus der Sekante die TangenteGerade, die den Graphen in einem Punkt berührt und dort genau so steil ist wie der Graph. Ihre Steigung ist die lokale Änderungsrate, und genau die heißt Ableitung f′(x₀). Die Funktion, die zu jeder Stelle die Steigung liefert, heißt Ableitungsfunktiondie Funktion f′, die zu jedem x die Steigung des Graphen von f an dieser Stelle angibt f′.
\nStell dir den Graphen als Straße vor. Die Ableitung an einer Stelle sagt nicht, wo die Straße endet, sondern wie steil sie in diesem Moment ist.
\nAuf dem Blatt schreibst du zum Beispiel f′(2) = 4 oder in Worten: Die Steigung des Graphen an der Stelle 2 beträgt 4.
\n\nIm Teil ohne Hilfsmittel müssen diese Regeln im Kopf sitzen. Zu jeder Regel ein Beispiel:
\nMini-Rechnung: Ableitung von f(x) = x² · eˣ
\nZwischen x² und eˣ steht ein Mal, also ist das ein Produkt. Du brauchst die Produktregel.
\nSuchst du später Nullstellen von f′, hilft die ausgeklammerte Form: eˣ ist nie null, also reicht x² + 2x = 0.
\nDie Tangente ist eine Gerade y = m · x + c. Die Steigung m liefert die Ableitung, den Achsenabschnitt c der Punkt:
\nBeispiel f(x) = x² an der Stelle x₀ = 1: f(1) = 1 und f′(1) = 2. Aus 1 = 2 · 1 + c folgt c = −1. Die Tangente heißt y = 2x − 1.
\nDie NormaleGerade durch den Punkt P, die senkrecht auf der Tangente steht geht durch denselben Punkt, steht aber senkrecht auf der Tangente. Ihre Steigung ist −1/m. Im Beispiel: Steigung −1/2, aus 1 = −1/2 · 1 + c folgt c = 3/2, die Normale heißt y = −0,5x + 1,5.
\nFragt eine Aufgabe nach dem Winkel, unter dem die Tangente ansteigt, gilt tan α = m. Bei m = 2 ist α ≈ 63,4°. Das rechnest du mit Taschenrechner aus.
\nSo sieht eine Tangentenaufgabe im Abitur aus:
\n\nGegeben ist die in ℝ definierte Funktion f mit f(x) = (1/27)·x³ − (4/3)·x. Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet.
\nc) Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente t an Gf im Punkt P(6 | f(6)). (3 BE)
\n[Zur Kontrolle: y = (8/3)·x − 16]
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2023, Analysis, grundlegendes Niveau. Aus diesem gemeinsamen Pool nehmen die Länder Aufgaben für ihr Abitur. Mit Taschenrechner.
\n→ Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2027 (Prüfungsschwerpunkte des Ministeriums)
\nDieselbe Funktion kommt auf dem Lernzettel Extremwerte und Steckbrief noch einmal vor. Dort geht es um den Tiefpunkt, hier nur um die Tangente.
\nTeil c): Tangentengleichung bestimmen
\nDie schwersten Teilaufgaben im Abitur gehören zum Anforderungsbereich IIIdie höchste von drei Stufen: Du musst selbst einen Lösungsweg finden, begründen oder verallgemeinern; ohne solche Teile gibt es keine guten Noten. Dort steht kein Rechenweg in der Aufgabe. Diese hier stammt aus dem Teil ohne Hilfsmittel:
\nGegeben sind die Funktion f: x ↦ √x mit Definitionsmenge ℝ0+ und die Gerade g mit der Gleichung y = (1/4) · x. Betrachtet wird das Intervall, das von den x-Koordinaten der beiden Schnittpunkte des Graphen von f und der Gerade g begrenzt wird.
\nIn diesem Intervall gibt es eine Stelle, an der die lokale Änderungsrate von f mit der mittleren Änderungsrate von f in diesem Intervall übereinstimmt. Bestimmen Sie diese Stelle. (5 BE)
\nQuelle: IQB-Aufgabenpool 2024, Analysis, Teil ohne Hilfsmittel, Aufgabengruppe 2 (Aufgabe 2).
\nWas die Korrektur erwartet: Im Erwartungshorizont stehen genau zwei Gedanken: Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung von g, und f′(x) = 1/4 liefert x = 4. Wer die mittlere Änderungsrate mit (f(16) − f(0)) / 16 = 1/4 ausrechnet, ist genauso richtig. Ein anderer richtiger Weg zählt immer gleich viel.
\nGegeben ist die in ℝ definierte Funktion f mit f(x) = (1/2) · x². Weisen Sie nach, dass für jeden Wert u ∈ ℝ die Tangente an den Graphen von f im Punkt (u | f(u)) die y-Achse im Punkt (0 | −f(u)) schneidet. (4 BE)
\nQuelle: IQB-Aufgabenpool 2024, Analysis, Teil ohne Hilfsmittel, Aufgabengruppe 2 (Aufgabe 1, Teil b). Teil a braucht eine Abbildung und fehlt hier.
\nAuf erhöhtem Niveau gilt die Kettenregel für jede innere Funktion: äußere Ableitung (mit dem Inneren unverändert) mal innere Ableitung. Welche Fälle dein Kurs genau verlangt, steht im Kasten deines Landes unten.
\nTangente von einem Punkt außerhalb: Gesucht sind die Tangenten an y = x², die durch Q(0 | −1) gehen. Die Tangente im Punkt (u | u²) heißt y = 2u · x − u². Q einsetzen: −1 = −u², also u = 1 oder u = −1. Die beiden Tangenten sind y = 2x − 1 und y = −2x − 1.
\nIn der Prüfung kommt die e-Funktion als Aufgabe mit und ohne Hilfsmittel vor; Punkte gibt es für den nachvollziehbaren Rechenweg, etwa beim Ableiten mit dem Faktor k und beim Auflösen mit ln, nicht nur fürs Ergebnis. Die e-Funktion f(x) = eˣ ist stets positiv, wächst stets schneller und ist ihre eigene Ableitung. Steht im Exponenten k · x, kommt beim Ableiten der Faktor k dazu: (ekx)′ = k · ekx. Der natürliche Logarithmus ln ist die Umkehrfunktion der e-Funktion: Aus eˣ = a mit a > 0 folgt x = ln(a). Damit holst du eine Unbekannte aus dem Exponenten. Eine Umkehrfunktion findest du, indem du y = f(x) nach x auflöst und dann x und y tauschst.
Wächst etwas in gleichen Zeitabschnitten immer um denselben Faktor, zum Beispiel jedes Jahr um 5 %, heißt das exponentielles WachstumWachstum, bei dem in gleichen Zeitabschnitten immer mit demselben Faktor multipliziert wird. Die Funktion dazu hat die Form a · bˣ: Die Variable steht im Exponentendie Hochzahl, also das, was oben rechts steht.
\nUnter allen Basen b gibt es eine besondere Zahl, e ≈ 2,718. Bei ihr ist die Steigung an jeder Stelle genau so groß wie der Funktionswert. Deshalb rechnet die Analysis fast nur mit eˣ. Jede Funktion bˣ lässt sich als ekx schreiben, zum Beispiel 2ˣ = ex · ln 2.
\nDer natürliche Logarithmusln(a) ist die Hochzahl, mit der man e potenzieren muss, um a zu erhalten; ln(e) = 1, ln(1) = 0 ln(a) beantwortet die Frage: Mit welcher Hochzahl wird aus e die Zahl a? ln(1) = 0, weil e⁰ = 1, und ln(e) = 1.
\nDer Graph von f(x) = eˣ verläuft immer oberhalb der x-Achse. Nach links kommt er der x-Achse beliebig nahe, berührt sie aber nie: Die x-Achse ist eine Asymptoteeine Gerade, der sich ein Graph immer weiter nähert, ohne sie zu erreichen. Nach rechts wächst er immer schneller. Er ist überall streng monoton steigend und linksgekrümmt.
\nSteht im Exponenten k · x, kommt beim Ableiten der Faktor k nach vorn: (ekx)′ = k · ekx. Bei Produkten wie x · eˣ brauchst du die Produktregel aus Ableiten ohne Taschenrechner.
\nMini-Rechnung: f(x) = 2 · e0,5x
\nf′(x) = 2 · 0,5 · e0,5x = e0,5x. Startwert: f(0) = 2 · e⁰ = 2.
\nWachstum oder Zerfall? Der Faktor 0,5 im Exponenten ist positiv, also wächst f. Bei einem negativen Faktor nimmt f ab.
\nProdukt gleich null: Bei (x − 2) · eˣ = 0 kann nur die Klammer null werden, weil eˣ nie null ist. Also x = 2.
\nUnbekannte im Exponenten: Erst den Faktor vor e wegteilen, dann ln auf beide Seiten. Aus eˣ = a (mit a > 0) folgt x = ln(a).
\nMini-Rechnung: Wann ist f(x) = 2 · e0,5x gleich 6?
\n2 · e0,5x = 6, also e0,5x = 3, also 0,5x = ln(3) und x = 2 · ln(3) ≈ 2,20.
\nLogarithmengesetzeRechenregeln für ln: ln(a · b) = ln a + ln b, ln(a / b) = ln a − ln b, ln(aʳ) = r · ln a: ln(a · b) = ln(a) + ln(b), ln(a / b) = ln(a) − ln(b), ln(aʳ) = r · ln(a). Beispiel: ln(8) = ln(2³) = 3 · ln(2). Für Summen gibt es keine Regel: ln(a + b) lässt sich nicht zerlegen.
\n\nEine Funktion f ordnet jedem x ein y zu. Die Umkehrfunktiondie Funktion, die die Zuordnung von f rückgängig macht: aus dem y-Wert wird wieder der x-Wert; ihr Graph ist der Graph von f, gespiegelt an y = x geht den Weg zurück: Sie bekommt das y und liefert das x. Das geht nur, wenn jedes y höchstens einmal vorkommt, also zum Beispiel, wenn f streng monoton ist.
\nDrei Beispiele ohne Taschenrechner:
\nSo ist auch ln x die Umkehrfunktion von eˣ: ln(eˣ) = x und eln x = x für x > 0. Der Graph von ln x ist der gespiegelte Graph von eˣ: definiert nur für x > 0, durch (1 | 0), und die y-Achse ist eine senkrechte Asymptote.
\n\nSo wird das im Abitur gefragt:
\n\nBetrachtet wird die in ℝ definierte Funktion f mit f(x) = ex².
\na) Geben Sie die Wertemenge von f an. (2 BE)
\nb) Für die erste Ableitungsfunktion f′ von f gilt f′(x) = 2x · f(x). Die Graphen von f und f′ schneiden sich in einem Punkt. Bestimmen Sie die Steigung des Graphen von f in diesem Punkt. (3 BE)
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2023, Analysis, grundlegendes Niveau, hilfsmittelfreier Teil.
\nTeil a): Wertemenge
\nTeil b): Steigung im Schnittpunkt
\nGegeben ist die in ℝ definierte Funktion f: x ↦ 3x · eˣ. Die Funktion f hat genau eine Extremstelle. Zeigen Sie rechnerisch, dass diese −1 ist. (2 BE)
\nQuelle: IQB-Aufgabenpool 2021, Analysis, Teil ohne Hilfsmittel, Aufgabengruppe 2, Teil a. Teil b braucht eine Abbildung und fehlt hier.
\nDie in ℝ definierte Funktion f hat die erste Ableitungsfunktion f′ mit f′(x) = 2 · e2x und es gilt f(0) = 1. Leitet man die erste Ableitungsfunktion f′ ab, so erhält man die zweite Ableitungsfunktion f″ von f. Entsprechend entsteht die hundertste Ableitungsfunktion f(100) von f. Der Graph der hundertsten Ableitungsfunktion f(100) lässt sich aus dem Graphen von f durch eine Verschiebung in x-Richtung erzeugen. Ermitteln Sie, um wie viele Einheiten der Graph von f dazu in x-Richtung zu verschieben ist. (5 BE)
\nQuelle: IQB-Aufgabenpool 2024, Analysis, erhöhtes Niveau, Teil ohne Hilfsmittel, Aufgabengruppe 2.
\nIn der Prüfung kommt eine periodische Funktion als Aufgabe vor; Punkte gibt es dafür, dass du Amplitude, Periode und Mittellinie richtig bestimmst und begründet verwendest, nicht nur fürs Ergebnis. Mit Sinus und Kosinus beschreibst du Vorgänge, die sich regelmäßig wiederholen, etwa Tageslicht, Gezeiten oder ein Riesenrad. In f(x) = a · sin(b · x) + d ist |a| die Amplitude, p = 2π/b die Periode und y = d die Mittellinie. Der größte Wert ist d + |a|, der kleinste d − |a|. Die Ableitung von sin x ist cos x, die von cos x ist −sin x, und gerechnet wird im Bogenmaß. Eine Gleichung wie sin x = 0,5 hat in jeder Periode zwei Lösungen.
Aus der Mittelstufe kennst du Sinus und Kosinus vom rechtwinkligen Dreieck. Für Funktionen stellst du dir einen Punkt vor, der auf einem Kreis mit Radius 1 umläuft: Seine Höhe ist der Sinus, sein Abstand nach rechts der Kosinus. Nach einer ganzen Runde wiederholt sich alles.
\nDen Winkel misst man in der Analysis im BogenmaßWinkelmaß über die Bogenlänge am Einheitskreis: 360° entsprechen 2π, 180° entsprechen π, 90° entsprechen π/2: Eine ganze Runde (360°) ist 2π, eine halbe (180°) ist π, ein Viertel (90°) ist π/2. Wichtige Werte: sin 0 = 0, sin(π/2) = 1, sin π = 0, sin(3π/2) = −1, cos 0 = 1, cos π = −1.
\nWie hoch der Graph ausschlägt, heißt Amplitudeder größte Abstand des Graphen von seiner Mittellinie, also die halbe Schwankung, nach welcher Länge er sich wiederholt, heißt Periodedie kleinste Länge, nach der sich der Graph wiederholt; bei sin x ist sie 2π, und um welche Höhe er schwankt, heißt Mittelliniedie waagerechte Gerade y = d, um die der Graph gleich weit nach oben und unten schwankt.
\nDeine Höhe in einem Riesenrad steigt und fällt immer wieder gleich. Die halbe Schwankung ist die Amplitude, die Zeit für eine Umdrehung die Periode, die Höhe der Achse die Mittellinie.
\n\nMini-Rechnung: f(x) = 2 · sin(π/6 · x) + 3
\nAmplitude 2, Mittellinie y = 3. Periode p = 2π / (π/6) = 12.
\nGrößter Wert 3 + 2 = 5, erreicht bei π/6 · x = π/2, also x = 3. Kleinster Wert 3 − 2 = 1 bei x = 9.
\nsin′(x) = cos(x) und cos′(x) = −sin(x). Steht im Argument b · x, kommt der Faktor b dazu: (sin(bx))′ = b · cos(bx). Mehr zu den Regeln in Ableiten ohne Taschenrechner.
\nStammfunktionen: ∫ sin(x) dx = −cos(x) + C und ∫ cos(x) dx = sin(x) + C.
\nMini-Rechnung: f(x) = sin(3x) hat die Ableitung f′(x) = 3 · cos(3x).
\n∫0π sin(x) dx = [−cos(x)]0π = −cos(π) + cos(0) = 1 + 1 = 2.
\nEine Gleichung wie sin x = 0,5 hat unendlich viele Lösungen, weil sich der Graph wiederholt. In einer Periode sind es meist zwei: Der Graph erreicht die Höhe 0,5 einmal beim Steigen und einmal beim Fallen. Wegen sin(π − x) = sin x ist die zweite Lösung π minus die erste.
\nMini-Rechnung: 2 · sin x = 1 für 0 ≤ x ≤ 2π
\nGegeben ist die in ℝ definierte Funktion f: x ↦ 3 − 2 sin x.
\na) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt (0 | f(0)). (3 BE)
\nb) Geben Sie den Wertebereich von f an. (2 BE)
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2018, Analysis, grundlegendes Niveau, hilfsmittelfreier Teil.
\nTeil a): Tangente
\nTeil b): Wertebereich
\nGefragt ist eine Begründung für unendlich viele Fälle auf einmal (Anforderungsbereich III). Der Schlüssel ist eine einzige Zahl.
\nGegeben ist die Funktion f: x ↦ sin(x) − 2 mit Definitionsmenge ℝ. Jede Tangente an den Graphen von f in einem der Punkte (2kπ | f(2kπ)) mit k ∈ ℕ schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Begründen Sie, dass jedes dieser Dreiecke gleichschenklig ist. (4 BE)
\nQuelle: IQB-Aufgabenpool 2019, Analysis, grundlegendes Niveau, Teil ohne Hilfsmittel, Aufgabengruppe 2, Teil b. Teil a (Graph skizzieren) fehlt hier.
\nWas die Korrektur erwartet: genau diese Kette: Steigung 1 für alle k, deshalb gleiche Abstände der Achsenschnittpunkte vom Ursprung, deshalb zwei gleich lange Seiten. Eine Rechnung für nur ein k reicht nicht, gefragt ist „jedes“ Dreieck.
\nDie Wassertiefe in einem Hafen wird durch h(t) = 1,5 · sin(π/6 · t) + 4 beschrieben (h in Metern, t in Stunden nach Mitternacht). Gib die größte und kleinste Tiefe und die Periode an. Ein Schiff braucht mindestens 4 m Tiefe. Wann ist das zwischen 0 und 12 Uhr der Fall?
\nEine in ℝ definierte Kosinusfunktion f hat die Periode p. Der Punkt (p/2 | p) ist ein Hochpunkt des Graphen von f, der Punkt (p/4 | p/2) ein Wendepunkt. Bestimmen Sie die Steigung des Graphen von f an der Stelle p/4. (5 BE)
\nQuelle: IQB-Aufgabenpool 2023, Analysis, erhöhtes Niveau, Teil ohne Hilfsmittel, Aufgabengruppe 2.
\nIm Erwartungshorizont steht genau diese Funktion, ihre Ableitung und f′(p/4) = π.
\nHoch- und Tiefpunkte liegen dort, wo die Ableitung null ist und ihr Vorzeichen wechselt. Du löst f′(x) = 0 und prüfst dann mit dem Vorzeichenwechsel von f′ oder mit f″, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt. Ist f′ auf einem Intervall positiv, steigt f dort, ist f′ negativ, fällt f. Auf einem begrenzten Intervall musst du für den größten und kleinsten Wert auch die Ränder prüfen. Bei einem Steckbrief übersetzt du jede Angabe in eine Gleichung und löst das Gleichungssystem.
Ein Hochpunktein Punkt des Graphen, der höher liegt als alle Punkte in seiner Nähe; auch lokales Maximum ist ein Gipfel des Graphen, ein Tiefpunktein Punkt des Graphen, der tiefer liegt als alle Punkte in seiner Nähe; auch lokales Minimum ein Tal. Beide heißen Extrempunkte. Genau dort ist die Tangente waagerecht, die Ableitung also null.
\nEine Bedingung, die erfüllt sein muss, heißt notwendigmuss gelten, reicht aber allein nicht als Beweis; hier: f′(x₀) = 0. Eine Bedingung, die als Beweis reicht, heißt hinreichendreicht als Beweis; hier zum Beispiel f′(x₀) = 0 und f″(x₀) ≠ 0, oder ein Vorzeichenwechsel von f′. f′(x₀) = 0 ist nur notwendig: Bei f(x) = x³ ist f′(0) = 0, aber der Graph steigt danach einfach weiter. So ein Punkt heißt SattelpunktPunkt mit waagerechter Tangente, der kein Hoch- oder Tiefpunkt ist; der Graph steigt (oder fällt) davor und danach.
\nStell dir den Graphen wieder als Straße vor wie auf Ableiten ohne Taschenrechner: Wo sie eben ist, kann ein Gipfel, ein Tal oder ein Sattel sein. So schreibst du die Suche auf:
\nMini-Rechnung Extremwert: f(x) = x³ − 3x
\nf′(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1). Nullstellen bei x = −1 und x = 1.
\nZweite Ableitung: f″(x) = 6x. Also f″(−1) = −6 < 0: Hochpunkt. f″(1) = 6 > 0: Tiefpunkt.
\ny-Werte: f(−1) = −1 + 3 = 2 und f(1) = 1 − 3 = −2. Punkte: H(−1 | 2) und T(1 | −2).
\nDie zweite Ableitung hilft nicht immer. Ist f″(x₀) = 0, sagt sie gar nichts. Dann prüfst du den Vorzeichenwechsel von f′. Beispiel f(x) = x⁴: Bei x = 0 sind f′(0) = 0 und f″(0) = 0. Trotzdem liegt dort ein Tiefpunkt, denn f′(x) = 4x³ wechselt bei 0 von negativ zu positiv.
\n\nf heißt auf einem Intervall monoton steigendwenn x größer wird, wird f(x) nicht kleiner; streng monoton steigend: f(x) wird immer größer, wenn die Funktionswerte dort mit x wachsen. Das liest du an f′ ab: Ist f′(x) > 0 auf dem ganzen Intervall, ist f dort streng monoton steigend, ist f′(x) < 0, streng monoton fallend.
\nBei f(x) = x³ − 3x ist f′(x) = 3(x² − 1). Für x < −1 und für x > 1 ist f′ positiv, dazwischen negativ. Also steigt f auf ]−∞; −1], fällt auf [−1; 1] und steigt auf [1; +∞[. Die Wechsel sind genau die Extremstellen.
\n\nEin Hochpunkt ist nur der höchste Punkt in seiner Nähe (lokal). Fragt die Aufgabe nach dem größten Wert auf einem Intervall (global), vergleichst du die Extremwerte mit den Werten an den Rändern. Beispiel f(x) = x³ − 3x auf [−2; 3]: f(−2) = −2, H(−1 | 2), T(1 | −2), f(3) = 27 − 9 = 18. Der größte Wert ist 18 am rechten Rand, ein Randextremumgrößter oder kleinster Wert am Rand des betrachteten Intervalls, wo die Ableitung nicht null sein muss, obwohl f′(3) ≠ 0 ist. Der kleinste Wert −2 wird zweimal angenommen, bei x = −2 und bei x = 1.
\n\nHier ist die Funktion nicht gegeben: Du stellst sie selbst auf und suchst ihr Maximum oder Minimum.
\nMini-Rechnung (von uns erstellt): Ein Rechteck hat den Umfang 20 cm. Wie lang müssen die Seiten sein, damit der Flächeninhalt am größten ist?
\nManchmal ist die Funktion nicht gegeben, sondern nur ihre Eigenschaften, zum Beispiel: Nullstelle hier, Hochpunkt dort, y-Achsenabschnitt so. Du suchst die unbekannten Zahlen in einer Funktionsfamilie, meist einer ganzrationalen Funktion.
\nMini-Rechnung Steckbrief: f(x) = ax² + bx + c, Hochpunkt H(1 | 4), f(0) = 3.
\nProbe: f(1) = 4 und f′(1) = 0. Stimmt.
\nIm Abitur sind es oft vier Unbekannte. Ein Beispiel: Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades f(x) = ax³ + bx² + cx + d, deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist und den Tiefpunkt T(1 | −2) hat. Punktsymmetrie heißt: nur ungerade Hochzahlen, also b = 0 und d = 0. Aus f(1) = −2 folgt a + c = −2, aus f′(1) = 0 folgt 3a + c = 0. Subtrahieren ergibt 2a = 2, also a = 1 und c = −3: f(x) = x³ − 3x, die Funktion aus der Abbildung oben.
\nIn der Klausur steht selten das Wort „Steckbrief“. Dort heißt es eher: „Bestimmen Sie eine Gleichung der Funktion …“. Die folgende Abituraufgabe fragt nach einem Extrempunkt.
\n\nGegeben ist die in ℝ definierte Funktion f mit f(x) = (1/27)·x³ − (4/3)·x. Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet.
\nb) Gf hat zwei Extrempunkte. Zeigen Sie, dass einer der beiden ein Tiefpunkt mit der x-Koordinate √12 ist.
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2023, Analysis, grundlegendes Niveau. Aus diesem gemeinsamen Pool nehmen die Länder Aufgaben für ihr Abitur. Mit Taschenrechner.
\n→ Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2027 (Prüfungsschwerpunkte des Ministeriums)
\nDen Tangententeil derselben Aufgabe findest du auf dem Lernzettel Ableiten ohne Taschenrechner.
\nTeil b): Tiefpunkt bei x = √12 zeigen
\nDiese Steckbriefaufgabe stammt vom erhöhten Niveau und gehört zum Anforderungsbereich III. Mit dem Stoff dieses Lernzettels und der Normalensteigung aus Ableiten ohne Taschenrechner ist sie lösbar.
\nErmitteln Sie eine Gleichung der quadratischen Funktion g, die die beiden folgenden Eigenschaften hat:
\n(5 BE)
\nQuelle: IQB-Aufgabenpool 2022, Analysis, erhöhtes Niveau, Teil ohne Hilfsmittel, Aufgabengruppe 2.
\nWas die Korrektur erwartet: Im Erwartungshorizont stehen c = 1, b = −4 über die senkrechte Steigung, die Extremstelle 2/a und die Gleichung, die a = 6 liefert. Den Schritt mit der senkrechten Steigung musst du hinschreiben, er ist die eigentliche Idee.
\nGegeben ist die Funktion f mit f(x) = (1/3) · x³ − (4/3) · x + 1 und x ∈ ℝ.
\na) Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte, in denen der Graph von f die Gerade mit der Gleichung y = 1 schneidet. (2 BE)
\nb) Unter den Tangenten an den Graphen von f hat eine die kleinste Steigung. Bestimmen Sie die Steigung dieser Tangente. (3 BE)
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2019, Analysis, grundlegendes Niveau, Teil ohne Hilfsmittel.
\nEin Wendepunkt ist die Stelle, an der der Graph seine Krümmung wechselt, von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve oder umgekehrt. Die zweite Ableitung zeigt die Krümmung: f″ > 0 heißt linksgekrümmt, f″ < 0 rechtsgekrümmt. Wendestellen findest du mit f″(x) = 0 und prüfst sie mit dem Vorzeichenwechsel von f″ oder mit f‴(x) ≠ 0. Im Sachzusammenhang liegt an einer Wendestelle die stärkste Zu- oder Abnahme. Jede Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt.
Fahr mit dem Fahrrad den Graphen von links nach rechts entlang. Lenkst du nach links, ist der Graph dort linksgekrümmtder Graph biegt sich nach links (nach oben offen wie ein U); dort ist f″ > 0 und die Steigung nimmt zu, lenkst du nach rechts, ist er rechtsgekrümmtder Graph biegt sich nach rechts (nach unten offen); dort ist f″ < 0 und die Steigung nimmt ab. Der WendepunktPunkt, an dem der Graph von links- zu rechtsgekrümmt wechselt oder umgekehrt ist die Stelle, an der du das Lenkrad von der einen Seite auf die andere drehst.
\nLinksgekrümmt heißt auch: Die Steigung nimmt zu. Rechtsgekrümmt heißt: Die Steigung nimmt ab. Am Wendepunkt ist die Steigung deshalb am größten oder am kleinsten. Die Änderung der Steigung misst die zweite Ableitung f″, die Ableitung der Ableitung.
\nMini-Rechnung: f(x) = x³ − 3x²
\nf′(x) = 3x² − 6x, f″(x) = 6x − 6, f‴(x) = 6.
\nf″(x) = 0 → x = 1. Da f‴(1) = 6 ≠ 0, ist x = 1 eine Wendestelle.
\ny-Wert: f(1) = 1 − 3 = −2. Wendepunkt W(1 | −2).
\nKrümmung: Für x < 1 ist f″(x) < 0 (rechtsgekrümmt), für x > 1 ist f″(x) > 0 (linksgekrümmt).
\nDie Tangente im Wendepunkt baust du wie jede Tangente aus Ableiten ohne Taschenrechner: Steigung m = f′(x₀), dann den Punkt einsetzen.
\nMini-Rechnung: Im Beispiel ist m = f′(1) = 3 − 6 = −3.
\nt(x) = −3 · (x − 1) + (−2) = −3x + 1.
\nBeschreibt f einen Bestand, etwa eine Besucherzahl, dann ist f′ die Änderungsrate. Die stärkste Zunahme liegt dort, wo f′ am größten ist, also an einer Extremstelle von f′. Das ist eine Wendestelle von f. Gefragt ist dann meist der Wert f′(x₀), nicht f(x₀).
\nMini-Rechnung (von uns erstellt): Die Zahl der Besucher in einem Freibad wird für 0 ≤ t ≤ 10 durch f(t) = −t³ + 15t² beschrieben (t in Stunden nach Öffnung). Wann kommen die Besucher am schnellsten dazu?
\nEin Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achseder Graph ist spiegelgleich zur y-Achse: f(−x) = f(x); bei ganzrationalen Funktionen nur gerade Hochzahlen, wenn f(−x) = f(x) gilt, und punktsymmetrisch zum Ursprungder Graph geht bei einer halben Drehung um (0 | 0) in sich über: f(−x) = −f(x); bei ganzrationalen Funktionen nur ungerade Hochzahlen, wenn f(−x) = −f(x) gilt. Bei ganzrationalen Funktionen siehst du es an den Hochzahlen: nur gerade (x⁴ − x²) heißt achsensymmetrisch, nur ungerade (x³ − 3x) heißt punktsymmetrisch. Eine Zahl ohne x zählt zu den geraden Hochzahlen.
\nJede ganzrationale Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt. Das zeigt die Abituraufgabe unten: Man verschiebt den Graphen so, dass der Wendepunkt im Ursprung liegt, und erhält eine Funktion mit nur ungeraden Hochzahlen.
\n\nGegeben ist die in ℝ definierte Funktion f mit f(x) = 1/8 · (x³ − 15x² + 50x).
\na) Zeigen Sie, dass der Graph von f im Punkt W(5 | 0) einen Wendepunkt besitzt, und ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt W. (6 BE)
\nb) Der Graph von f geht aus dem Graphen der in ℝ definierten Funktion g: x ↦ 1/8 · (x³ − 25x) durch eine Verschiebung in positive x-Richtung hervor. Geben Sie an, um wie viel der Graph von g dazu verschoben werden muss. Begründen Sie mithilfe der Funktion g, dass der Graph von f symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts ist. (4 BE)
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2018, Analysis, grundlegendes Niveau, Aufgabe aus dem Teil mit Hilfsmitteln (Teilaufgaben a und b, gekürzt). Beide Teile lassen sich ohne Taschenrechner lösen.
\nTeil a): Wendepunkt zeigen und Tangente
\nTeil b): Verschiebung und Symmetrie
\nDiese Aufgabe kommt vom erhöhten Niveau. Teil b verlangt, dass du eine Fallunterscheidung selbst findest.
\nGegeben ist die Funktion f mit f(x) = −x³ + 3x² − 2x und x ∈ ℝ. Ihr Graph Gf hat bei x = 1 den Wendepunkt W.
\na) Zeigen Sie, dass die Tangente an Gf im Punkt W die Steigung 1 hat. (2 BE)
\nb) Betrachtet werden die Geraden mit positiver Steigung m, die durch W verlaufen. Geben Sie die Anzahl der Schnittpunkte dieser Geraden mit Gf in Abhängigkeit von m an. (3 BE)
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2018, Analysis, erhöhtes Niveau, Teil ohne Hilfsmittel. Im Original zeigt eine Abbildung den Graphen.
\nWas die Korrektur erwartet: Im Erwartungshorizont steht nur die Antwort „3 für 0 < m < 1 und 1 für m ≥ 1“. Weil „Geben Sie an“ keine Begründung verlangt, reicht sie. Ohne Rechnung oder Skizze kommst du aber kaum auf die Grenze m = 1: Sie ist genau die Steigung der Wendetangente aus Teil a.
\nGegeben sind die in ℝ definierten ganzrationalen Funktionen fk: x ↦ x⁴ + (2 − k) · x³ − k · x² mit k ∈ ℝ. Es gibt einen Wert von k, für den 1 eine Wendestelle von fk ist. Berechnen Sie diesen Wert von k. (4 BE)
\nQuelle: IQB-Aufgabenpool 2022, Analysis, erhöhtes Niveau, Teil ohne Hilfsmittel, Teil b.
\nDer Graph von f′ zeigt an jeder Stelle die Steigung von f. Wo f steigt, liegt f′ über der x-Achse, wo f fällt, darunter, und an Hoch- und Tiefpunkten von f hat f′ eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Ein Wendepunkt von f gehört zu einem Hoch- oder Tiefpunkt von f′. Für eine Stammfunktion F übernimmt f die Rolle der Ableitung: Liegt f über der x-Achse, steigt F. Beim Zuordnen schließt du jeden falschen Graphen mit einem Merkmal aus, das nicht passt.
Zu jeder Funktion f gehört ihre Ableitungsfunktiondie Funktion f′, die zu jeder Stelle die Steigung des Graphen von f angibt f′. Ihr Graph ist ein eigener Graph, der nicht die Höhe von f zeigt, sondern seine Steigung. Umgekehrt ist f eine Stammfunktioneine Funktion F mit F′ = f; sie ist nur bis auf eine Verschiebung nach oben oder unten festgelegt von f′. Stammfunktionen gibt es immer viele: Ihre Graphen sind nach oben oder unten gegeneinander verschoben, weil eine Konstante beim Ableiten wegfällt.
\nIn diesen Aufgaben hast du oft keine Funktionsterme, nur Bilder. Du brauchst dann drei Begriffe: Monotoniewo ein Graph steigt oder fällt (steigt oder fällt der Graph?), Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) und Wendepunkte (wo die Krümmung wechselt). Was dahintersteckt, steht auf Extremwerte und Steckbrief und Wendepunkte und Krümmung.
\nStell dir vor, du läufst den Graphen von f entlang und schreibst an jeder Stelle die Steigung auf. Diese Zahlen ergeben einen neuen Graphen, den Graphen von f′. Geht es bergauf, liegt f′ über der x-Achse. Geht es bergab, liegt f′ darunter. Oben auf dem Hügel oder unten im Tal ist es kurz eben: Dort ist f′ = 0.
\nMini-Rechnung: f(x) = x³ − 3x, also f′(x) = 3x² − 3.
\nf′(x) = 0 → x² = 1 → x = −1 oder x = 1. Dort hat f den Hochpunkt H(−1 | 2) und den Tiefpunkt T(1 | −2).
\nf′ ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Tiefpunkt bei x = 0. Also hat f bei x = 0 einen Wendepunkt.
\nZwischen −1 und 1 liegt f′ unter der x-Achse: Dort fällt f.
\nFür eine Stammfunktion F gilt F′ = f. Die Rolle von f′ übernimmt jetzt f selbst: Liegt der Graph von f über der x-Achse, steigt F. Liegt er darunter, fällt F. Eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel ist eine Extremstelle von F, ein Hoch- oder Tiefpunkt von f eine Wendestelle von F. Wie der Flächeninhalt unter dem Graphen damit zusammenhängt, steht bei Integral und Flächeninhalt.
\n\nDer abgebildete Graph Gf stellt eine Funktion f dar.
\na) Einer der folgenden Graphen I, II und III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von f. Geben Sie diesen Graphen an und begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.
\nb) Die Funktion F ist eine Stammfunktion von f. Geben Sie das Monotonieverhalten von F im Intervall [1; 3] an. Begründen Sie Ihre Angabe.
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2019, Analysis, erhöhtes Niveau, hilfsmittelfreier Teil.
\nTeil a)
\nTeil b)
\nHier geht es von f′ über f bis zur Stammfunktion F, zwei Stufen weit (Anforderungsbereich III).
\nDie Abbildung zeigt den Graphen der ersten Ableitungsfunktion f′ einer in ℝ definierten Funktion f. Die einzige Nullstelle von f′ ist −3. [Aus der Abbildung: f′ ist links von −3 negativ und rechts davon positiv.]
\nEs gilt f(−3) = 2. Beurteilen Sie die folgende Aussage: Ist F eine Stammfunktion von f, dann besitzt der Graph von F keinen Extrempunkt. (3 BE)
\nQuelle: IQB-Aufgabenpool 2026, Analysis, grundlegendes Niveau, Teil ohne Hilfsmittel, Aufgabengruppe 2, Teil b. Die Angabe in eckigen Klammern ersetzt die Abbildung; sie ist im Original Teil a.
\nWas die Korrektur erwartet: „Die Aussage ist wahr“ plus die Begründung über den Tiefpunkt (−3 | 2), die positiven Werte von f und F′ = f ohne Nullstelle. „Beurteilen“ verlangt immer beides, Urteil und Begründung.
\nDer Graph von f′ ist eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen −1 und 3. Was weißt du über den Graphen von f? Nenne Monotonie, Extrempunkte und Wendestelle.
\nDie Integralfunktion J(x) = ∫0x f(t) dt ist eine besondere Stammfunktion: J(0) = 0 und J′ = f. Am Graphen von f liest du ab:
\nSteht in einem Funktionsterm außer x noch ein Buchstabe wie a, gehört zu jedem Wert von a ein eigener Graph, zusammen eine Funktionenschar. Beim Rechnen behandelst du a wie eine feste Zahl und leitest nach x ab. Ergebnisse wie ein Tiefpunkt (a | −a²) hängen dann von a ab. Punkte, durch die alle Graphen gehen, findest du mit fa(x) = fb(x) für a ≠ b. Teilst du durch einen Ausdruck mit a oder hängt ein Vorzeichen von a ab, unterscheidest du Fälle.
Ein Parameterein Buchstabe im Funktionsterm, der für eine feste, aber noch nicht bekannte Zahl steht; anders als x ist er beim Rechnen konstant ist ein Buchstabe, der für eine feste Zahl steht, die du noch nicht kennst. In fa(x) = a · x² ist x die Variable und a der Parameter. Setzt du a = 2 ein, entsteht die Funktion 2x², bei a = −1 die Funktion −x². Alle zusammen heißen Funktionenscharalle Funktionen, die entstehen, wenn man für den Parameter verschiedene Werte einsetzt.
\nViele Parameter wirken wie bekannte Bewegungen eines Graphen. In a · f(x − c) + d gilt: d verschiebt um d nach oben, c um c nach rechts, a streckt in y-Richtung (|a| > 1) oder staucht (|a| < 1), und ein negatives a spiegelt an der x-Achse. f(−x) spiegelt an der y-Achse. Beispiel: −2 · (x − 1)² + 3 ist die Normalparabel, um 1 nach rechts geschoben, mit Faktor 2 gestreckt, gespiegelt und um 3 nach oben geschoben, mit Scheitel (1 | 3).
\nStell dir vor, a ist ein Schieberegler. Die Schar fa(x) = x² − 2a · x besteht aus Parabeln. Jeder Wert von a gibt eine eigene Parabel mit dem Scheitel bei x = a. Für positive a wandert er mit wachsendem a nach rechts und nach unten. Alle Parabeln gehen aber durch denselben Punkt, den Ursprung.
\nDer Parameter ist beim Rechnen eine feste, nur noch unbekannte Zahl. Du leitest wie gewohnt nach x ab, a behandelst du wie eine Zahl, zum Beispiel wie die 3 in 3x. Wie das Ableiten geht, steht in Ableiten ohne Taschenrechner.
\nMini-Rechnung: fa(x) = x² − 2a · x.
\nfa′(x) = 2x − 2a. Aus fa′(x) = 0 folgt x = a.
\nfa″(x) = 2 > 0, also ein Tiefpunkt. y-Wert: fa(a) = a² − 2a² = −a². Tiefpunkt Ta(a | −a²).
\nDas Ergebnis hängt von a ab. Für a = 3 liegt der Tiefpunkt bei (3 | −9), für a = −1 bei (−1 | −1). Genau so arbeitest du bei Extremwerte und Steckbrief, nur mit einem Buchstaben mehr.
\n\nGesucht sind Punkte, die auf jedem Graphen liegen, egal welches a. Setze zwei verschiedene Parameterwerte gleich: fa(x) = fb(x) mit a ≠ b.
\nx² − 2a · x = x² − 2b · x, also −2a · x = −2b · x und 2x · (b − a) = 0.
\nWeil a ≠ b ist, folgt x = 0. fa(0) = 0 für jedes a: Alle Graphen gehen durch (0 | 0).
\nTypische Aufgabe: „Für welchen Wert von a geht der Graph durch P?“ oder „… liegt der Tiefpunkt bei x = 3?“. Du setzt die Bedingung ein und löst nach a.
\nGraph durch P(2 | 0): fa(2) = 4 − 4a = 0, also a = 1.
\nTiefpunkt bei x = 3: Der Tiefpunkt liegt bei x = a, also a = 3.
\nTeilst du durch einen Ausdruck mit a, darf er nicht null sein. Hängt ein Vorzeichen von a ab, ändert sich oft die Art des Punkts. Bei ga(x) = a · x² ist der Graph für a > 0 nach oben geöffnet, für a < 0 nach unten, und für a = 0 ist er die x-Achse. Schreib die Fälle getrennt auf.
\n\nGegeben ist die Schar der in ℝ definierten Funktionen fa mit fa(x) = ax³ + ax² und a ∈ ℝ⁺.
\na) Geben Sie den Wert von a an, so dass der Punkt (1 | 6) auf dem Graphen von fa liegt.
\nb) Berechnen Sie in Abhängigkeit von a den Inhalt der Fläche, die der Graph von fa mit der x-Achse einschließt.
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2024, Analysis, erhöhtes Niveau, hilfsmittelfreier Teil.
\nTeil a)
\nfa(1) = a + a = 2a = 6, also a = 3.
\nTeil b)
\nDiese Aufgabe kommt vom erhöhten Niveau. Teil b verlangt eine Fallunterscheidung nach dem Vorzeichen von a (Anforderungsbereich III).
\nFür jeden Wert von a ∈ ℝ \\ {0} ist eine Funktion fa gegeben mit fa(x) = a · (x − 2)³ und x ∈ ℝ.
\na) Zeigen Sie, dass die in ℝ definierte Funktion F mit F(x) = ½ · (x − 2)⁴ + 3 eine Stammfunktion von f2 ist. (1 BE)
\nb) Untersuchen Sie mithilfe von Skizzen, für welche Werte von a sich unter den Stammfunktionen von fa solche befinden, die nur negative Funktionswerte haben. (4 BE)
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2020, Analysis, erhöhtes Niveau, Teil ohne Hilfsmittel, Aufgabengruppe 2.
\nWas die Korrektur erwartet: den Term aller Stammfunktionen mit b, die Begründung für a > 0 und a < 0 und die beiden Skizzen (nach oben und nach unten geöffnet). Ohne die Konstante b fehlt die eigentliche Idee: Stammfunktionen darf man nach oben und unten verschieben.
\nGegeben ist die Schar fa(x) = x³ − a · x mit a > 0. Bestimme die Extremstellen in Abhängigkeit von a und den Wert von a, für den der Tiefpunkt bei x = 2 liegt.
\nDas bestimmte Integral von a bis b misst die Fläche zwischen Graph und x-Achse, wobei Flächen unter der Achse negativ zählen. Du rechnest es mit einer Stammfunktion F, also einer Funktion mit F′ = f: Das Integral ist F(b) − F(a). Diesen Zusammenhang zwischen Ableiten und Integrieren nennt man Hauptsatz. Ist nach dem Flächeninhalt gefragt, teilst du an den Nullstellen und addierst die Beträge der Teilstücke. Eine Stammfunktion prüfst du, indem du sie ableitest.
Beim Ableiten fragst du: Wie steil ist der Graph? Beim Integrieren fragst du umgekehrt: Wie viel kommt insgesamt zusammen? Fährt ein Auto zwei Stunden lang mit 50 km/h, legt es 100 km zurück. Im Diagramm „Geschwindigkeit über Zeit“ ist das genau die Rechteckfläche unter dem Graphen: 2 · 50.
\nIst der Graph gekrümmt, gibt es kein einfaches Rechteck mehr. Man zerlegt die Fläche dann in viele schmale Streifen und addiert sie. Werden die Streifen immer schmaler, erhält man das bestimmte Integral∫ von a bis b f(x) dx: die Fläche zwischen Graph und x-Achse von a bis b, Teile unter der Achse zählen negativ, geschrieben ∫ab f(x) dx. Die Zahlen a und b heißen Integrationsgrenzen.
\nZum Glück musst du keine Streifen zählen. Es reicht eine Stammfunktioneine Funktion F, deren Ableitung f ist: F′ = f: eine Funktion F, deren Ableitung f ist.
\nLäuft der Graph unter der x-Achse, zählt das Integral diese Fläche negativ. Fragt die Aufgabe nach dem Inhalt einer Fläche, nimmst du den Betrag. Liegt ein Teil oben und ein Teil unten, teilst du an den Nullstellen, rechnest jedes Stück einzeln und addierst die Beträge.
\n\n\nIm Teil ohne Hilfsmittel musst du Stammfunktionen selbst finden:
\nKontrolle immer durch Ableiten: (½ · e2x + 1)′ = ½ · 2 · e2x + 1 = e2x + 1. Stimmt.
\n\nMini-Rechnung: Inhalt der Fläche zwischen f(x) = x² − 1 und der x-Achse von −1 bis 1.
\nGenau diese zwei Schritte verlangt die Klausur oft hintereinander: erst die Nullstellen, dann den Flächeninhalt.
\n\nGegeben ist die in ℝ definierte Funktion f : x ↦ x³ + 2x².
\na) Bestätigen Sie, dass x₁ = −2 und x₂ = 0 die einzigen Nullstellen von f sind.
\nb) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse einschließt.
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2017, Analysis, grundlegendes Niveau. Aus diesem gemeinsamen Pool nehmen die Länder Aufgaben für ihr Abitur.
\n→ Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2027 (Prüfungsschwerpunkte des Ministeriums)
\nTeil a): Nullstellen bestätigen
\nTeil b): Flächeninhalt berechnen
\nHier ist die Fläche gegeben und ein Faktor in der Funktion gesucht. Das ist Anforderungsbereich III: Du drehst die gewohnte Rechnung um.
\nFür einen Wert von k mit k ∈ ℝ+ wird die in ℝ definierte Funktion f mit f(x) = k · sin(x) betrachtet. Für 0 ≤ x ≤ π schließt der Graph von f mit der x-Achse ein Flächenstück mit dem Inhalt ½ ein. Bestimmen Sie den Wert von k. (3 BE)
\nQuelle: IQB-Aufgabenpool 2017, Analysis, grundlegendes Niveau, Teil ohne Hilfsmittel, Aufgabengruppe 2, Teil b. Teil a braucht eine Abbildung und fehlt hier.
\nWas die Korrektur erwartet: der Ansatz „Integral gleich ½“, das Integral 2k und k = ¼. Wer cos π = −1 oder das Vorzeichen der Stammfunktion falsch hat, verliert hier die Punkte.
\nZeige, dass F(x) = (x − 1) · eˣ eine Stammfunktion von f(x) = x · eˣ ist, und berechne damit ∫01 x · eˣ dx.
\nSo fragt das Abitur oft: „Zeigen Sie, dass F eine Stammfunktion von f ist.“ Du musst F nicht selbst finden, nur ableiten.
\nWelche dieser Punkte dein Kurs verlangt, steht im Kasten deines Landes unten. Die gemeinsamen Abituraufgaben setzen uneigentliche Integrale, Mittelwerte, partielle Integration und Substitution nicht voraus.
\nGegeben ist die in ℝ definierte Funktion f mit f(x) = cos(x) + 1. Die Abbildung zeigt ihren Graphen Gf. Die Gerade g verläuft durch die Hochpunkte von Gf.
\na) Begründen Sie, dass die Gerade g durch die Gleichung y = 2 dargestellt werden kann.
\nb) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die in der Abbildung grau markiert ist.
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2022, Analysis, grundlegendes Niveau. Aus diesem gemeinsamen Pool nehmen die Länder Aufgaben für ihr Abitur.
\nZur Kontrolle, a): cos(x) ist höchstens 1, also ist f(x) höchstens 2. Den Wert 2 erreicht f bei x = 0, x = 2π, x = 4π und so weiter. Alle Hochpunkte liegen auf der Höhe 2, also ist g: y = 2.
\nZur Kontrolle, b): Neu ist hier die Fläche zwischen zwei Graphen. Dafür rechnest du „obere minus untere Funktion“. Die Grenzen sind die Schnittstellen der beiden Graphen, hier die Hochpunkte bei 0 und 2π. Oben liegt g, unten der Graph von f:
\nIn der Prüfung ist die Fläche zwischen zwei Graphen eine Aufgabe; Punkte gibt es für die richtigen Grenzen, die Differenz „oben minus unten“ und den nachvollziehbaren Rechenweg. Die Fläche, die zwei Graphen einschließen, berechnest du mit dem Integral der Differenz „obere minus untere Funktion“. Die Grenzen sind oft die Schnittstellen, die du mit f(x) = g(x) findest. Welcher Graph oben liegt, prüfst du mit einem x-Wert zwischen den Grenzen. Schneiden sich die Graphen zwischen den Grenzen noch einmal, teilst du dort auf und addierst die Beträge. Eine Gerade wie y = 16 oder die y-Achse kann genauso eine Grenze der Fläche sein.
Auf Integral und Flächeninhalt misst das Integral die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse. Hier liegt die Fläche zwischen zwei Graphen. Stell dir zwei Seile vor, die sich an zwei Stellen berühren. Ihre Höhe an jeder Stelle x ist der Abstand der Seile: oberes Seil minus unteres Seil. Genau diese Differenzfunktiondie Funktion d(x) = f(x) − g(x); sie gibt an jeder Stelle den senkrechten Abstand der beiden Graphen an integrierst du.
\nDie Stellen, an denen sich die Graphen treffen, heißen Schnittstellendie x-Werte, an denen zwei Graphen denselben Funktionswert haben, also f(x) = g(x). Sie begrenzen die Fläche, wenn die Aufgabe keine anderen Grenzen vorgibt.
\nMini-Rechnung: f(x) = x² und g(x) = x + 2
\nSchnittstellen: x² = x + 2, also x² − x − 2 = 0 und (x − 2)(x + 1) = 0. Das ergibt x = −1 und x = 2.
\nWer liegt oben? Bei x = 0: g(0) = 2 und f(0) = 0. Also liegt g oben.
\n∫−12 (x + 2 − x²) dx = [x²/2 + 2x − x³/3]−12 = (2 + 4 − 8/3) − (1/2 − 2 + 1/3) = 10/3 + 7/6 = 9/2.
\nDer Flächeninhalt beträgt 9/2 = 4,5 Flächeneinheiten.
\nGegeben sind die in ℝ definierten Funktionen g: x ↦ x² − 3 und h: x ↦ −x² + 2x + 1.
\na) Zeigen Sie, dass sich die Graphen von g und h nur für x = −1 und x = 2 schneiden. (2 BE)
\nb) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die die Graphen von g und h einschließen. (3 BE)
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2019, Analysis, grundlegendes Niveau, hilfsmittelfreier Teil.
\nTeil a): Schnittstellen zeigen
\nTeil b): Fläche berechnen
\nHier ist der Flächeninhalt gegeben und die Steigung der Geraden gesucht (Anforderungsbereich III).
\nGegeben ist die in ℝ definierte Funktion f mit f(x) = x². Bestimmen Sie diejenige reelle Zahl m mit m < 0, für die der Graph von f und die Gerade mit der Gleichung y = m · x eine Fläche mit dem Inhalt 36 einschließen. (5 BE)
\nQuelle: IQB-Aufgabenpool 2022, Analysis, grundlegendes Niveau, Teil ohne Hilfsmittel, Aufgabengruppe 2.
\nWas die Korrektur erwartet: die Schnittstellen 0 und m, das Integral von m bis 0 über m · x − x², den Wert −m³/6 und m = −6. Die Grenzen in der richtigen Reihenfolge (erst m, dann 0) sind hier die häufigste Falle.
\nGegeben ist die in ℝ definierte Funktion f mit f(x) = −x³ + 12x. Der Graph von f hat den Hochpunkt H(2 | 16).
\na) Der Graph von f, die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung x = 2 schließen für 0 ≤ x ≤ 2 eine Fläche ein. Zeigen Sie, dass diese Fläche den Inhalt 20 besitzt. (2 BE)
\nb) Die Gerade g verläuft durch den Punkt H und besitzt eine negative Steigung. Der Graph von f, die y-Achse und die Gerade g schließen für 0 ≤ x ≤ 2 eine Fläche mit dem Inhalt 20 ein. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden g mit der y-Achse. (3 BE)
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2017, Analysis, erhöhtes Niveau, Teil ohne Hilfsmittel, Aufgabengruppe 2. Im Original zeigt eine Abbildung den Graphen und H; hier steht H im Text.
\nWelche dieser Punkte dein Kurs verlangt, steht im Kasten deines Landes unten. Die Formeln und je ein durchgerechnetes Beispiel stehen auf Integral und Flächeninhalt.
\nKennst du, wie schnell sich eine Größe ändert, kannst du mit dem Integral ausrechnen, wie viel sich insgesamt ändert. Der Bestand zu einem Zeitpunkt T ist der Anfangsbestand plus das Integral der Änderungsrate von 0 bis T. Flächen unter der Zeitachse zählen negativ, dort nimmt der Bestand ab. Am größten ist der Bestand, wenn die Rate von positiv zu negativ wechselt, nicht dort, wo die Rate am größten ist. Zu jeder Antwort gehört die richtige Einheit.
Ein Bestandwie viel von etwas gerade da ist, zum Beispiel Liter in einem Tank oder Menschen in einem Stadion ist, wie viel von etwas gerade da ist: Liter im Tank, Besucher im Stadion, Kilometer auf dem Tacho. Die Änderungsratewie schnell sich ein Bestand gerade ändert, zum Beispiel Liter pro Minute; positiv heißt Zunahme, negativ Abnahme sagt, wie schnell er sich gerade ändert: Liter pro Minute, Besucher pro Stunde, Kilometer pro Stunde.
\nIst die Rate fest, rechnest du einfach Rate mal Zeit: 4 Liter pro Minute, 5 Minuten lang, ergibt 20 Liter. Im Diagramm ist das die Rechteckfläche unter dem Graphen der Rate. Ändert sich die Rate ständig, bleibt die Idee dieselbe, nur ist die Fläche jetzt ein Integral.
\nWasser läuft in eine Badewanne. Die Funktion r gibt an, wie viele Liter pro Minute gerade hineinfließen: die Änderungsrate. Ist r(t) positiv, steigt der Wasserstand, ist r(t) negativ, läuft Wasser ab.
\nWie viel Wasser zwischen zwei Zeitpunkten dazukommt, ist die Fläche unter dem Graphen von r. Flächen unterhalb der t-Achse zählen dabei negativ, weil dort Wasser abfließt. Wie du Integrale ausrechnest, steht in Integral und Flächeninhalt.
\n\nÄnderung des Bestands von a bis b: ∫ab r(t) dt.
\nBestand zum Zeitpunkt T: Anfangsbestand plus Änderung, also B(T) = B(0) + ∫0T r(t) dt.
\nAchte auf die Einheiten: Rate in Litern pro Minute, Zeit in Minuten, das Integral in Litern.
\n\nMini-Rechnung: In der Wanne sind 10 Liter. Von t = 0 bis t = 5 (Minuten) fließt Wasser mit der Rate r(t) = 4t (Liter pro Minute) zu.
\nStammfunktion: R(t) = 2t². Änderung: R(5) − R(0) = 50 − 0 = 50 Liter.
\nBestand nach 5 Minuten: 10 + 50 = 60 Liter.
\nDer Bestand wächst, solange die Rate positiv ist. Er ist am größten, wenn die Rate von positiv zu negativ wechselt. Also: r(t) = 0 lösen und den Vorzeichenwechsel prüfen. Das ist dieselbe Idee wie bei Extremwerte und Steckbrief, nur dass hier r die Rolle von f′ spielt.
\nMini-Rechnung: Die Zuflussrate eines Beckens ist r(t) = 6 − 2t (Kubikmeter pro Stunde).
\nr(t) = 0 → t = 3. Vorher ist r positiv, danach negativ. Der Bestand ist also nach 3 Stunden am größten.
\nZunahme bis dahin: ∫03 (6 − 2t) dt = [6t − t²]03 = 18 − 9 = 9 Kubikmeter.
\nEin Behälter enthält zu Beobachtungsbeginn zwei Liter einer Flüssigkeit. Für die anschließenden fünf Stunden gibt die Funktion f mit f(t) = −t · (t − 4) die momentane Zuflussrate der Flüssigkeit in Liter pro Stunde an. Dabei ist t die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden.
\na) Begründen Sie, dass das Volumen der Flüssigkeit im Behälter innerhalb der ersten vier Stunden nach Beobachtungsbeginn durchgehend zunimmt. (3 BE)
\nb) Geben Sie eine Gleichung an, mit der berechnet werden kann, wie viele Stunden vom Beobachtungsbeginn an vergehen, bis der Behälter sieben Liter der Flüssigkeit enthält. (2 BE)
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2018, Analysis, grundlegendes Niveau, hilfsmittelfreier Teil.
\nTeil a): Warum das Volumen zunimmt
\nTeil b): Die Gleichung
\nEin Radfahrer fährt los. Seine Geschwindigkeit ist v(t) = 30t − 15t² (in km pro Stunde, t in Stunden, 0 ≤ t ≤ 2). Wie weit ist er nach 2 Stunden gefahren? Wann fährt er am schnellsten?
\nAuf erhöhtem Niveau untersuchst du den Bestand als eigene Funktion B(t) = B(0) + ∫0t r(x) dx. Weil B′ = r ist, gilt alles aus Extremwerte und Steckbrief und Wendepunkte und Krümmung mit r an der Stelle von f′:
\nBeispiel mit r(t) = 6 − 2t und B(0) = 5: B(t) = 5 + 6t − t². Das Maximum liegt bei t = 3 mit B(3) = 14, nach t = 6 ist der Bestand mit B(6) = 5 wieder auf dem Anfangswert.
\nIm Abitur gibt es einen Teil ohne und einen Teil mit Hilfsmitteln. Welche Hilfsmittel dein Land im zweiten Teil erlaubt, steht auf dem Lernzettel „Dein Prüfungstag“.
\nGegeben ist die in ℝ definierte Funktion f mit f(x) = −(5/16)·x4 + 5x3.
\nEin Unternehmen lagert Glyzerin in einem Tank. Die momentane Änderungsrate des Tankinhalts kann für 0 ≤ x ≤ 20 mithilfe der Funktion f beschrieben werden. Dabei ist x die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und f(x) die momentane Änderungsrate in Kilogramm pro Stunde. Zu Beobachtungsbeginn befinden sich im Tank 1200 kg Glyzerin.
\na) Der Punkt (4 | 240) liegt auf dem Graphen von f. Interpretieren Sie die Koordinaten dieses Punkts im Sachzusammenhang. (2 BE)
\nb) Beurteilen Sie die folgende Aussage: Zwölf Stunden nach Beobachtungsbeginn ist die größte Menge Glyzerin im Tank enthalten. (2 BE)
\nd) Berechnen Sie, wie viel Glyzerin 20 Stunden nach Beobachtungsbeginn im Tank enthalten ist. (4 BE)
Quelle: IQB-Aufgabenpool 2021, Analysis, grundlegendes Niveau, Teil mit Hilfsmitteln (Taschenrechner), Aufgabe 2 a, b und d. Die Teilaufgabe c (grafisch bestimmen) fehlt, weil sie die Abbildung braucht. Die Funktion f stammt aus Aufgabe 1 derselben Aufgabe.
\nTeil a) Vier Stunden nach Beobachtungsbeginn beträgt die momentane Änderungsrate des Tankinhalts 240 kg pro Stunde. Wichtig: 240 ist eine Rate, nicht die Menge im Tank.
\nTeil b)
\nTeil d)
\nDie Stammfunktion bekommst du hier von Hand. Eine eigene Integrierfunktion ist beim einfachen Taschenrechner für Abituraufgaben nicht vorgesehen. Kontrollieren kannst du trotzdem: Leite deine Stammfunktion ab. Es muss wieder f herauskommen, hier (−(1/16)·x5 + (5/4)·x4)′ = −(5/16)·x4 + 5x3.
\n