WissenQuantenphysik
\nIn der Prüfung bekommst du einen Versuch mit Licht auf Metall und Messwerte und sollst erklären, rechnen und beurteilen; Punkte gibt es für den Weg mit Formel, Einheit und Begründung, nicht nur fürs Ergebnis. Licht kann aus einer Metallplatte Elektronen herausschlagen, aber nur, wenn seine Frequenz hoch genug ist, egal wie hell es ist. Das erklärte Albert Einstein so: Licht besteht aus Energieportionen, den Photonen, mit der Energie E = h·f. Ein Photon gibt seine ganze Energie an ein Elektron ab; ein Teil davon wird gebraucht, um das Elektron aus dem Metall zu lösen (Austrittsarbeit W), der Rest ist Bewegungsenergie: Ekin,max = h·f − W. Mit der Gegenfeldmethode misst man diese Energie und kann daraus die Planck-Konstante h bestimmen.
Q3.2, Grund- und Leistungskurs: Einstein’sche Deutung und Widersprüche zur Wellentheorie, Gegenfeldmethode, Grenzfrequenz, Austrittsenergie, Elektronenvolt, Planck’sches Wirkungsquantum, Energie, Masse und Impuls von Photonen. Nur Leistungskurs: Compton-Effekt.
Eine frisch geschmirgelte Zinkplatte auf einem Elektroskop wird negativ aufgeladen. Beleuchtest du sie mit dem UV-Licht einer Quecksilberdampflampe, entlädt sie sich: Das Licht schlägt Elektronen heraus. Mit hellem rotem Licht passiert nichts, auch nach langem Warten nicht. Und hält man eine Glasscheibe dazwischen, die UV schluckt, stoppt die Entladung sofort. Das ist der Hallwachs-VersuchVersuch von Wilhelm Hallwachs (1888): UV-Licht entlädt eine negativ geladene Zinkplatte, sichtbares Licht nicht.
\nNach dem Wellenmodell sollte helleres Licht mehr Energie bringen und irgendwann jedes Elektron lösen, auch rotes. Das passiert nicht. Albert Einstein erklärte es 1905 mit der Idee, dass Licht seine Energie nur in Portionen abgibt. Für diese Erklärung des Photoeffektsauch lichtelektrischer Effekt: Licht löst Elektronen aus einer Metalloberfläche bekam er den Nobelpreis.
\nEin PhotonQuantenobjekt des Lichts; Energie E = h·f, Impuls p = h/λ, keine Ruhemasse der Frequenz f trägt die Energie
\nE = h · f = h · c / λ mit der Planck-Konstanteauch Planck’sches Wirkungsquantum, h = 6,626·10⁻³⁴ J·s h = 6,626·10⁻³⁴ J·s.
Beim Photoeffekt gibt ein einzelnes Photon seine ganze Energie an ein einzelnes Elektron ab. Um aus dem Metall herauszukommen, braucht das Elektron mindestens die AustrittsarbeitW (oder W_A): Mindestenergie, um ein Elektron aus dem Metall zu lösen; hängt vom Metall ab, typisch 2 bis 5 eV W. Was übrig bleibt, ist höchstens seine Bewegungsenergie:
\nEkin,max = h · f − W
Daraus folgt alles, was das Wellenmodell nicht erklären konnte:
\nPhotoeffekt: Geraden für zwei Metalle · Alle Geraden haben die Steigung h; der Schnitt mit der f-Achse ist die Grenzfrequenz.
\n\n\n\nMit LEDs geht es auch: Eine Leuchtdiode leuchtet erst ab einer Schwellenspannung US. Dann bekommt jedes Elektron etwa die Energie e·US ≈ h·c/λ eines Photons. Für LEDs verschiedener Farben US über 1/λ auftragen, aus der Steigung folgt h.
\n\nViolettes Licht (405 nm) fällt auf ein Metall mit W = 2,0 eV (Beispielwert). Wie groß ist die Gegenspannung, bei der kein Strom mehr fließt?
\nEPh = h·c/λ = 6,626·10⁻³⁴ J·s · 3,00·10⁸ m/s / 405·10⁻⁹ m ≈ 4,91·10⁻¹⁹ J ≈ 3,1 eV.
\nEkin,max ≈ 3,1 eV − 2,0 eV = 1,1 eV, also U₀ ≈ 1,1 V.
\nWelche Punkte dein Kurs braucht, steht im Kasten deines Landes oben.
\nThema: die Planck-Konstante mit der Gegenfeldmethode bestimmen. Eine Vakuum-Fotozelle wird nacheinander mit Licht der Spektrallinien einer Quecksilberdampflampe beleuchtet. Für jede Linie wird die Gegenspannung U₀ gemessen, bei der der Strom gerade null wird.
\n| λ in nm | 578 | 546 | 436 | 405 | 365 |
|---|---|---|---|---|---|
| f in 10¹⁴ Hz | 5,19 | 5,49 | 6,88 | 7,41 | 8,21 |
| U₀ in V | 0,24 | 0,38 | 0,94 | 1,17 | 1,49 |
1 Erklären Sie, warum bei steigender Gegenspannung der Strom abnimmt und bei U₀ null wird. (4 BE)
\n2 Stellen Sie U₀ in Abhängigkeit von f grafisch dar und ermitteln Sie mit einer Ausgleichsgeraden einen Wert für h. (7 BE)
\n3 Bestimmen Sie die Austrittsarbeit und die Grenzwellenlänge des Kathodenmaterials. (4 BE)
\n4 Eine Mitschülerin schlägt vor, die Messung mit einer viel helleren Lampe zu wiederholen, damit die Werte für U₀ größer und damit genauer werden. Beurteilen Sie den Vorschlag. (3 BE)
\nÜbungsaufgabe von uns erstellt nach dem Muster der Abituraufgaben. Die Wellenlängen sind die echten Quecksilberlinien, die Spannungen sind ausgedacht (berechnet für W = 1,9 eV mit kleiner Streuung). BE heißt Bewertungseinheiten.
\nZu 1 (AFB I und II): Die ausgelösten Elektronen haben verschiedene Bewegungsenergien bis höchstens h·f − W. Die Gegenspannung bremst sie auf dem Weg zur Anode, sie müssen die Energie e·U aufbringen. Je größer U, desto weniger Elektronen schaffen das, der Strom sinkt. Bei U₀ kommen selbst die schnellsten nicht mehr an: e·U₀ = Ekin,max.
\nZu 2 (AFB II): Die Punkte liegen gut auf einer Geraden, wie es U₀ = (h/e)·f − W/e verlangt. Steigungsdreieck an der Ausgleichsgeraden, etwa von (5,0·10¹⁴ Hz; 0,17 V) bis (8,0·10¹⁴ Hz; 1,41 V): Steigung = 1,24 V / 3,0·10¹⁴ Hz ≈ 4,1·10⁻¹⁵ V·s. h = e · Steigung = 1,602·10⁻¹⁹ C · 4,1·10⁻¹⁵ V·s ≈ 6,6·10⁻³⁴ J·s. Der Literaturwert 6,626·10⁻³⁴ J·s wird gut getroffen.
\nZu 3 (AFB II): Die Gerade schneidet die U-Achse (verlängert) bei etwa −1,9 V, also W ≈ 1,9 eV ≈ 3,0·10⁻¹⁹ J. Grenzfrequenz fG = W/h ≈ 3,0·10⁻¹⁹ J / 6,6·10⁻³⁴ J·s ≈ 4,6·10¹⁴ Hz, Grenzwellenlänge λG = c/fG ≈ 6,5·10⁻⁷ m = 650 nm. Längerwelliges Licht, also tiefes Rot, löst keine Elektronen mehr aus.
\nZu 4 (AFB III): Der Vorschlag hilft nicht. U₀ hängt nur von der Frequenz ab (e·U₀ = h·f − W), nicht von der Helligkeit. Hellere Lampe heißt mehr Photonen, also mehr Elektronen und ein größerer Strom bei kleinen Gegenspannungen, aber dieselbe Grenzspannung. Ein Vorteil kann sein, dass der Strom kurz vor U₀ besser messbar ist; die Werte selbst ändern sich nicht.
\nWas die Korrektur erwartet: In 2 beschriftete Achsen mit Einheiten, eine Ausgleichsgerade statt Punkt-zu-Punkt-Linie, ein großes Steigungsdreieck; in 4 ein Urteil, das auf die Einstein-Gleichung gestützt ist. Andere richtige Wege zählen gleich.
\nGegenfeldmethode: Bei f₁ = 5,5·10¹⁴ Hz ist U₀ = 0,28 V, bei f₂ = 7,5·10¹⁴ Hz ist U₀ = 1,10 V. Bestimme h und W.
\nSteigung: h/e = ΔU₀/Δf = 0,82 V / 2,0·10¹⁴ Hz = 4,1·10⁻¹⁵ V·s. h = 1,602·10⁻¹⁹ C · 4,1·10⁻¹⁵ V·s ≈ 6,6·10⁻³⁴ J·s.
\nW = h·f₁ − e·U₀ = 6,6·10⁻³⁴ J·s · 5,5·10¹⁴ Hz / (1,602·10⁻¹⁹ J/eV) − 0,28 eV ≈ 2,27 eV − 0,28 eV ≈ 2,0 eV.
\nWissenQuantenphysik
\nIn der Prüfung bekommst du ein Beugungsbild oder Messwerte zu Teilchen und sollst erklären und rechnen; Punkte gibt es für die Begründung mit Formel und Einheit, nicht nur für die Zahl am Ende. Elektronen erzeugen hinter einem Doppelspalt oder einer dünnen Kristallfolie ein Interferenzmuster, genau wie Licht. Sie verhalten sich also auch wie Wellen. Louis de Broglie schlug vor, dass jedem Teilchen mit dem Impuls p eine Wellenlänge zugeordnet ist: λ = h/p. Für ein Elektron nach der Beschleunigungsspannung U gilt λ = h/√(2·m·e·U): mehr Spannung, kleinere Wellenlänge, engere Streifen. Bei Alltagskörpern ist die Wellenlänge so winzig, dass man nie Interferenz sieht.
Q3.2, Grund- und Leistungskurs: De-Broglie-Wellen und De-Broglie-Gleichung. Nur Leistungskurs: Elektronenbeugung an Kristallen mit der Bragg-Bedingung.
\nBeim Photoeffekt verhält sich Licht wie ein Strom von Teilchen, den Photonen. Bei der Interferenz am Doppelspalt verhält es sich wie eine Welle. 1923 drehte Louis de Broglie den Gedanken um: Wenn Licht, das man für eine Welle hielt, auch Teilcheneigenschaften hat, haben dann vielleicht auch Teilchen wie Elektronen Welleneigenschaften?
\nFür Photonen gilt p = h/λ, mit der Planck-KonstanteNaturkonstante der Quantenphysik, h = 6,626·10⁻³⁴ J·s h. De Broglie übertrug das auf alle Teilchen. Die zugehörige Welle heißt MateriewelleWelle, die einem Teilchen mit Masse zugeordnet ist; ihre Wellenlänge ist λ = h/p. Prüfen kann man das nur mit Interferenz: Ein Interferenzmuster entsteht nur, wenn etwas Welleneigenschaften hat.
\nVon der Spannung zur Wellenlänge · Der Rechenweg der Übungsaufgabe in drei Schritten: Spannung, Impuls, Wellenlänge.
\n\nλ = h / p mit dem Impulsp = m·v, Masse mal Geschwindigkeit; Einheit kg·m/s p = m·v.
Für ein Elektron, das aus der Ruhe die Spannung U durchläuft, gilt e·U = ½·m·v² = p²/(2m). Daraus folgt p = √(2·m·e·U) und
\nλ = h / √(2·m·e·U)
In der ElektronenbeugungsröhreGlaskolben, in dem beschleunigte Elektronen eine dünne Graphitfolie durchqueren; auf dem Leuchtschirm dahinter erscheinen helle Ringe treffen beschleunigte Elektronen auf eine dünne Graphitfolie. Auf dem Leuchtschirm entstehen helle Ringe, wie bei Licht an einem Gitter. Erhöht man die Spannung, werden die Ringe kleiner. Mit kleinen Kugeln ist das nicht zu erklären; mit einer Welle, deren Wellenlänge bei höherer Geschwindigkeit kleiner wird, schon. Die Atomebenen im Graphit wirken wie ein Gitter.
\nClaus Jönsson zeigte 1961 Elektroneninterferenz an einem echten, künstlich hergestellten Doppelspalt. Seither gelang Interferenz auch mit Neutronen, ganzen Atomen und sogar mit Fulleren-Molekülen aus 60 Kohlenstoffatomen (Wien, 1999). Die Wellenlänge passt jedes Mal zu λ = h/p.
\n\nElektronen werden mit U = 4,0 kV beschleunigt. Berechnen Sie λ.
\np = √(2 · 9,109·10⁻³¹ kg · 1,602·10⁻¹⁹ C · 4,0·10³ V) ≈ 3,42·10⁻²³ kg·m/s.
\nλ = h/p = 6,626·10⁻³⁴ J·s / 3,42·10⁻²³ kg·m/s ≈ 1,9·10⁻¹¹ m = 19 pm. Das liegt unter den Atomabständen in Graphit (etwa 10⁻¹⁰ m), deshalb wirkt die Folie wie ein Gitter.
\nWelche Punkte dein Kurs braucht, steht im Kasten deines Landes oben.
\nThema „Elektroneninterferenz am Doppelspalt“ (Abituraufgabe, grundlegendes Niveau). 1923 postulierte Louis de Broglie, dass Materieteilchen auch Welleneigenschaften zugeordnet werden können. 1961 veröffentlichte Claus Jönsson eine Arbeit zur Beugung von Elektronen am Doppelspalt.
\nMaterial 1 (Auszug aus der Originalveröffentlichung): „Hier wurden stets auf 50 kV beschleunigte Elektronen verwendet, deren de Broglie-Wellenlänge etwa 5·10⁻¹² m beträgt.“ Die Spalte waren je 0,5 µm breit und hatten einen Spaltmittenabstand von 2 µm. Der Leuchtschirm stand 350 mm hinter den Spalten. Material 2 zeigt ein Streifenmuster aus hellen und dunklen Streifen; je mehr Elektronen an einem Ort auftreffen, desto heller leuchtet er.
\n1a „Erklären Sie, dass die Elektronenbeugungsaufnahme in Material 2 als Nachweis für die Welleneigenschaften von Elektronen gedeutet werden kann.“ (6 BE)
\n1b „Berechnen Sie den Beugungswinkel α₁ des Maximums 1. Ordnung, welcher unter den von C. Jönsson in Material 1 beschriebenen Versuchsbedingungen zu erwarten ist. [Kontrollwert: α₁ = 0,00014°]“ (6 BE)
\n2a „Begründen Sie schrittweise und kausal korrekt strukturiert, in welcher Weise sich das Interferenzmuster aus Material 2 verändert, wenn die Beschleunigungsspannung vergrößert wird.“ (6 BE)
\n2b „Begründen Sie, dass das Interferenzmuster auf dem Leuchtschirm im Beugungsexperiment von C. Jönsson unscharf wird, wenn es mit einem Elektronenstrahl durchgeführt wird, in dem die Elektronen viele unterschiedliche Geschwindigkeiten haben.“ (4 BE)
\nIQB-Abituraufgabe Physik, grundlegendes Niveau, „Elektroneninterferenz am Doppelspalt“ (2025gNQMmg1), Aufgaben 1a, 1b, 2a und 2b wörtlich, Material gekürzt. Die ganze Aufgabe hat 30 BE: 10 im Anforderungsbereich I, 14 im Bereich II, 6 im Bereich III.
\nZu 1a: Das Bild zeigt abwechselnd helle und dunkle Streifen, wie sie bei der Überlagerung zweier Wellen entstehen. Im Wellenmodell überlagern sich die Wellen aus beiden Spalten an manchen Orten konstruktiv (viele Elektronen, hell) und an anderen destruktiv (kaum Elektronen, dunkel). Klassische Teilchen würden nur zwei helle Bereiche hinter den Spalten ergeben. Das Muster ist deshalb ein Nachweis für den Wellencharakter der Elektronen.
\nZu 1b: Ansatz aus der Formelsammlung: k·λ = g·sin αk. Für k = 1: α₁ = sin⁻¹(λ/g) = sin⁻¹(5·10⁻¹² m / 2·10⁻⁶ m) = sin⁻¹(2,5·10⁻⁶) ≈ 0,00014°.
\nZu 2a (Kausalkette): Größere Beschleunigungsspannung → größere Geschwindigkeit der Elektronen → größerer Impuls an den Spalten → wegen λ = h/p kleinere Wellenlänge → wegen sin α₁ = λ/g kleinerer Beugungswinkel → die Maxima rücken zusammen, die Streifen werden enger.
\nZu 2b: Verschieden schnelle Elektronen haben verschiedene Impulse und damit verschiedene Wellenlängen. Ihre Maxima liegen an verschiedenen Orten. Die Muster der einzelnen Geschwindigkeiten überlagern sich, Hell und Dunkel verwischen, das Muster wird unscharf.
\nWas die Korrektur erwartet: In 1a den Vergleich mit dem Teilchenmodell, in 2a eine lückenlose Kette, in der jeder Schritt aus dem vorigen folgt. „Kausal korrekt strukturiert“ wird ausdrücklich bewertet. Andere richtige Wege zählen gleich.
\na) Ein Tennisball (57 g) fliegt mit 50 m/s. Berechne seine de-Broglie-Wellenlänge und begründe, warum man keine Beugung sieht.
\nb) Bei welcher Beschleunigungsspannung hat ein Elektron die Wellenlänge 100 pm, also etwa einen Atomabstand?
\na) λ = h/(m·v) = 6,626·10⁻³⁴ J·s / (0,057 kg · 50 m/s) ≈ 2,3·10⁻³⁴ m. Das ist unvorstellbar viel kleiner als jeder Spalt oder jedes Hindernis, selbst ein Atomkern misst etwa 10⁻¹⁵ m. Beugung ist nicht messbar.
\nb) Aus λ = h/√(2·m·e·U) folgt U = h² / (2·m·e·λ²) = (6,626·10⁻³⁴ J·s)² / (2 · 9,109·10⁻³¹ kg · 1,602·10⁻¹⁹ C · (1,00·10⁻¹⁰ m)²) ≈ 150 V.
\nWissenQuantenphysik
\nSchickt man Elektronen oder Photonen einzeln durch einen Doppelspalt, landet jedes als einzelner Punkt an einer zufälligen Stelle des Schirms. Erst viele Tausend Punkte zusammen ergeben das Interferenzmuster einer Welle. Wo das nächste Quantenobjekt landet, lässt sich grundsätzlich nicht vorhersagen, wohl aber, wie wahrscheinlich es an jeder Stelle ist. Diese Wahrscheinlichkeit beschreibt die Wellenfunktion. Weiß man, durch welchen Spalt ein Quantenobjekt ging, verschwindet das Muster: Weginformation und Interferenz schließen sich aus.
Q4.1, Grund- und Leistungskurs: Doppelspaltversuche mit Elektronen und Photonen bei geringer Intensität, stochastische Vorhersagbarkeit, Interferenz und Superposition, Komplementarität, quantenphysikalisches Weltbild. Nur Leistungskurs: Betragsquadrat der Wellenfunktion, Delayed-Choice, Orts-Impuls-Unbestimmtheit, Koinzidenzmethode. Q4 ist Prüfungsstoff, die Kursphase endet am 19. März 2027.
Quellen: Kerncurriculum Physik (KCGO, Ausgabe 2024) · Abiturerlass Landesabitur 2027
Elektronen zeigen am Doppelspalt Interferenz, also Welleneigenschaften. Auf dem Schirm kommen sie aber als einzelne, punktförmige Treffer an, also wie Teilchen. Was sind sie nun?
\nDie Antwort der Quantenphysik: weder klassische Welle noch klassisches Teilchen. Elektronen, Photonen, Neutronen und sogar große Moleküle sind QuantenobjekteObjekte wie Photonen, Elektronen oder Atome, die je nach Experiment Wellen- oder Teilcheneigenschaften zeigen und deren Verhalten nur mit Wahrscheinlichkeiten beschrieben werden kann mit eigenen Regeln. Je nach Experiment zeigen sie das eine oder das andere Gesicht. Alltagsbegriffe wie „Bahn“ oder „ist gerade an diesem Ort“ passen auf sie nicht.
\nDas Muster entsteht Punkt für Punkt · Das einzelne Elektron landet zufällig, erst viele zusammen ergeben das feste Streifenmuster.
\n\nAkira Tonomura und Kollegen schickten 1989 Elektronen so selten durch einen Doppelspalt, dass praktisch immer nur eines unterwegs war. Mit wenigen Elektronen sieht man nur zufällig verstreute Punkte. Mit Hunderten erkennt man Häufungen. Mit Zehntausenden steht das bekannte Streifenmuster klar da. Zwei Grundaussagen stecken darin:
\nWeil jedes Elektron einzeln unterwegs ist, kann das Muster nicht dadurch entstehen, dass sich verschiedene Elektronen gegenseitig stören. Jedes einzelne „interferiert mit sich selbst“.
\n\nBeschrieben wird das mit einer Wellenfunktionψ: mathematische Funktion, die sich wie eine Welle überlagert; ihr Betragsquadrat |ψ|² gibt an, wie wahrscheinlich das Quantenobjekt an einem Ort nachgewiesen wird ψ. Sie hat Anteile durch Spalt 1 und durch Spalt 2, die sich überlagern (SuperpositionÜberlagerung: mehrere Möglichkeiten bestehen gleichzeitig und addieren sich wie Wellen). Wo sie sich verstärken, landen viele Elektronen, wo sie sich auslöschen, fast keines. Die Wellenfunktion ist kein Ding, das man sehen kann, sondern ein Werkzeug, um Nachweiswahrscheinlichkeiten zu berechnen.
\n\nMarkiert man, durch welchen Spalt ein Quantenobjekt ging, etwa mit Polarisationsfiltern vor den Spalten bei Photonen, verschwindet das Interferenzmuster. Übrig bleibt die Summe zweier Einzelspalt-Verteilungen. Weginformation und Interferenzmuster schließen sich aus: Komplementaritätzwei Eigenschaften, hier Weginformation und Interferenzfähigkeit, können nicht gleichzeitig vorliegen.
\nEntscheidend ist nicht, ob ein Mensch hinschaut, sondern ob die Weginformation grundsätzlich verfügbar ist, also physikalisch irgendwo gespeichert. Klassische Körper wie Tennisbälle zeigen keine Interferenz, weil ihre Wellenlänge winzig ist und ständig Weginformation an die Umgebung abgegeben wird.
\n\nErläutern Sie, warum man nicht sagen kann, das Elektron sei „durch einen der beiden Spalte“ gegangen.
\nGäbe es einen festen Weg durch Spalt 1 oder Spalt 2, müsste die Verteilung auf dem Schirm die Summe zweier Einzelspalt-Verteilungen sein. Gemessen wird aber ein Interferenzmuster mit Stellen, an denen fast kein Elektron landet, obwohl dort mit nur einem offenen Spalt viele ankämen. Das passt nur zur Überlagerung beider Möglichkeiten. Ohne Messung des Wegs ist eine Aussage über den Weg deshalb nicht sinnvoll.
\nWelche Punkte dein Kurs braucht, steht im Kasten deines Landes oben.
\nThema „Elektroneninterferenz am Doppelspalt“ (Abituraufgabe, erhöhtes Niveau). Material 3 (gekürzt): A. Tonomura berichtete 1989 von einem Experiment, bei dem Elektronen mit 50 kV beschleunigt und auf eine Anordnung geschickt wurden, die wie ein Doppelspalt wirkt. Die Zahl der Elektronen im Strahl wurde so weit gesenkt, „dass sich mit großer Wahrscheinlichkeit zu jedem Zeitpunkt nur noch ein einziges Elektron zwischen Quelle und Schirm befindet. Die elektrische Stromstärke des Elektronenstrahls betrug lediglich 1,6·10⁻¹⁶ A.“ Quelle und Schirm liegen 1,5 m auseinander. Die Schirmbilder zeigen nach 11, 200, 6000, 40000 und 140000 Elektronen erst einzelne verstreute Punkte, dann immer deutlicher Streifen.
\nMaterial 4 (Auszug), Richard Feynman: „Wir können nur die Wahrscheinlichkeit vorhersagen! […] wir glauben heute, dass es unmöglich ist und dass das Einzige, was vorhergesagt werden kann, die Wahrscheinlichkeit verschiedener Ereignisse ist.“
\n3a „Beurteilen Sie mithilfe einer Rechnung, ob sich tatsächlich ‚zu jedem Zeitpunkt nur ein einziges‘ Elektron in der Messapparatur befindet.“ Hinweise: nicht relativistisch rechnen; es befinden sich mit großer Wahrscheinlichkeit nie zwei Elektronen in der Apparatur, wenn der mittlere Abstand aufeinanderfolgender Elektronen im Strahl hinreichend groß ist. (5 BE)
\n3b „Interpretieren Sie die gezeigten Messergebnisse in M 3 hinsichtlich der Fragestellung, inwiefern diese die Wellen- bzw. Teilcheneigenschaften der Elektronen zeigen. Gehen Sie dabei auch darauf ein, dass sich zu fast jedem Zeitpunkt nur ein einzelnes Elektron in der Apparatur befindet.“ (4 BE)
\n3c „Erläutern Sie Feynmans Aussage zur Quantentheorie, dass es unmöglich ist, Ereignisse genau vorherzusagen (M 4), am Beispiel des Experimentes von Tonomura (M 3).“ (4 BE)
\nIQB-Abituraufgabe Physik, erhöhtes Niveau, „Elektroneninterferenz am Doppelspalt“ (2025eNQMmg1), Aufgaben 3a bis 3c wörtlich, Material gekürzt, Abstand Quelle–Schirm aus Abbildung 2 nach dem Erwartungshorizont. BE heißt Bewertungseinheiten.
\nZu 3a: Elektronen pro Sekunde: N = I/e = 1,6·10⁻¹⁶ A / 1,602·10⁻¹⁹ C ≈ 1000 pro Sekunde. Geschwindigkeit aus ½·m·v² = e·U: v = √(2·e·U/m) = √(2 · 1,602·10⁻¹⁹ C · 5,0·10⁴ V / 9,109·10⁻³¹ kg) ≈ 1,3·10⁸ m/s. Mittlerer Abstand zweier Elektronen: v · 1/1000 s ≈ 1,3·10⁵ m = 130 km. Die Apparatur ist nur 1,5 m lang, rund ein Hunderttausendstel davon. Ein Elektron ist also im Mittel längst am Schirm angekommen, bevor das nächste die Quelle verlässt. Die Behauptung stimmt.
\nZu 3b: Jedes Bild zeigt einzelne Auftreffpunkte: Jedes Elektron wird an genau einem Ort nachgewiesen, das ist eine Teilcheneigenschaft. Bei 11 und 200 Elektronen scheinen die Punkte zufällig verteilt. Bei 40000 und 140000 entsteht ein Streifenmuster wie bei der Interferenz zweier Wellen, also eine Welleneigenschaft. Da fast immer nur ein Elektron unterwegs ist, kann das Muster nicht aus einer Wechselwirkung mehrerer Elektronen stammen; es gehört zu jedem einzelnen Elektron.
\nZu 3c: Auch mit einem idealen Gerät lässt sich nicht vorhersagen, wo ein bestimmtes Elektron auf dem Schirm landet. Das liegt nicht an technischen Grenzen, sondern ist grundsätzlich so. Vorhersagen lässt sich nur die Wahrscheinlichkeit für jeden Ort, und sie zeigt sich in der Verteilung vieler Treffer, dem Streifenmuster.
\nWas die Korrektur erwartet: In 3a eine Rechnung mit Ansatz und ein Vergleich mit Zahl, in 3b beide Eigenschaften mit Bezug auf die Bildfolge, in 3c den Unterschied zwischen technischer und grundsätzlicher Unvorhersagbarkeit. Andere richtige Wege zählen gleich, etwa über die Flugzeit eines Elektrons.
\nRichtig oder falsch? Begründe jeweils in einem Satz.
\na) Die Stelle, an der das nächste Photon landet, ist berechenbar.
\nb) Nach sehr vielen Photonen sieht das Muster immer gleich aus.
\nc) Wer die Weginformation misst, sieht weiter das Interferenzmuster.
\nd) Das Elektron teilt sich am Doppelspalt in zwei Hälften.
\na) Falsch: Nur die Wahrscheinlichkeit für jeden Ort ist berechenbar.
\nb) Richtig: Die Verteilung ist determiniert.
\nc) Falsch: Mit Weginformation verschwindet die Interferenz (Komplementarität).
\nd) Falsch: Nachgewiesen wird es immer ganz, an genau einem Ort; überlagert werden nur die Möglichkeiten in der Wellenfunktion.
\nWissenQuantenphysik
\nIn der Prüfung bekommst du einen Kristallversuch mit Röntgenstrahlung und Messwerten und sollst erklären und rechnen; Punkte gibt es für den Weg mit Formel, Einheit und Begründung, nicht nur fürs Ergebnis. In einem Kristall sitzen die Atome in regelmäßigen, parallelen Ebenen, den Netzebenen. Röntgenstrahlung hat etwa dieselbe Wellenlänge wie der Abstand dieser Ebenen, deshalb wirkt ein Kristall für sie wie ein Gitter. Jede Ebene wirft einen kleinen Teil der Strahlung zurück, und hell wird es nur, wo sich die Teilstrahlen verstärken: bei 2·d·sin θ = n·λ. Der Winkel θ wird dabei zur Netzebene gemessen, nicht zum Lot. Mit dieser Bragg-Bedingung misst man Wellenlängen von Röntgenstrahlung oder Abstände von Atomen; dasselbe gilt für Elektronen in der Elektronenbeugungsröhre.
Nur Leistungskurs: Elektronenbeugung an Kristallen mit Bragg-Bedingung (Q3.2) und Bragg-Reflexion bei der Röntgenstrahlung (Q3.3).
\nRöntgenstrahlung hat Wellenlängen um 10⁻¹⁰ m. Ein optisches Gitter mit so feinen Strichen kann man nicht bauen. Aber die Natur liefert es: In einem Kristall wie Kochsalz sitzen die Atome in einem regelmäßigen Muster, mit Abständen von einigen 10⁻¹⁰ m.
\nWilliam Henry Bragg und sein Sohn William Lawrence Bragg beschrieben 1913, wie man sich das vorstellen kann: Die Atome liegen in parallelen Netzebenengedachte parallele Ebenen durch die Atome eines Kristalls; ihr Abstand d liegt bei einigen 10⁻¹⁰ m, und jede Ebene wirkt wie ein schwacher Spiegel. Die reflektierten Teilstrahlen aller Ebenen überlagern sich, und nur in bestimmten Winkeln verstärken sie sich.
\nBragg-Reflexion an zwei Netzebenen · Hier siehst du, woher der Gangunterschied 2·d·sin θ kommt.
\n\n\n\nJede Netzebene reflektiert einen kleinen Teil der Strahlung, der Rest dringt weiter ein. Für eine einzelne Ebene gilt das Reflexionsgesetz: Einfalls- und Ausfallswinkel sind gleich. Der Winkel heißt hier GlanzwinkelWinkel θ zwischen Strahl und Netzebene, nicht zum Lot gemessen θ und wird zwischen Strahl und Ebene gemessen.
\n\nWeil sehr viele Ebenen mitwirken, sind die Maxima scharf: Schon bei einem kleinen Abweichen vom richtigen Winkel löschen sich die Teilstrahlen weitgehend aus.
\n\nMan dreht den Kristall langsam und misst mit einem Zählrohr die reflektierte Strahlung. Damit das Zählrohr den reflektierten Strahl trifft, muss es um den doppelten Winkel 2θ gegenüber dem einfallenden Strahl stehen.
\nAuch die Ringe in der ElektronenbeugungsröhreGlaskolben, in dem beschleunigte Elektronen eine dünne Graphitfolie durchqueren; auf dem Schirm erscheinen helle Ringe sind Bragg-Reflexionen. Die Graphitfolie besteht aus vielen winzigen, verschieden gedrehten Kristallen; einige liegen immer genau im Bragg-Winkel. Der abgelenkte Strahl ist um 2θ gegen den einfallenden gedreht. Aus Ringradius r und Abstand Folie–Schirm L folgt tan 2θ = r/L und mit der Bragg-Bedingung die de-Broglie-Wellenlänge der Elektronen oder der Netzebenenabstand des Graphits.
\n\nKupfer-Röntgenstrahlung mit λ = 154 pm fällt auf einen NaCl-Kristall mit d = 282 pm. Berechnen Sie die Glanzwinkel der ersten beiden Ordnungen.
\nn = 1: sin θ = λ/(2d) = 154/564 ≈ 0,273, θ₁ ≈ 15,8°.
\nn = 2: sin θ = 2λ/(2d) = 308/564 ≈ 0,546, θ₂ ≈ 33,1°. Das Zählrohr steht dann bei 2θ ≈ 31,7° bzw. 66,2°.
\nThema: ein Röntgenspektrum mit dem Drehkristall aufnehmen. Eine Röntgenröhre mit Kupferanode läuft mit U = 35 kV. Ihre Strahlung fällt auf einen LiF-Kristall mit d = 201 pm. Gemessen wird die Zählrate in Abhängigkeit vom Glanzwinkel. Ergebnis: Unterhalb von θ = 5,1° wird keine Strahlung registriert. Darüber steigt die Zählrate auf ein breites Spektrum, aus dem zwei scharfe Maxima bei θ = 20,2° und θ = 22,5° herausragen; dieselben beiden Maxima tauchen bei größeren Winkeln noch einmal auf.
\n1 Leiten Sie die Bragg-Bedingung her. (4 BE)
\n2 Bestimmen Sie die Wellenlängen der beiden scharfen Maxima und ordnen Sie sie den Linien Kα und Kβ zu. (5 BE)
\n3 Erklären Sie, warum unterhalb von 5,1° keine Strahlung gemessen wird, und bestimmen Sie daraus einen Wert für die Planck-Konstante h. (6 BE)
\n4 Begründen Sie, wo die zweiten Maxima der Kα-Linie liegen müssen. (2 BE)
\nÜbungsaufgabe von uns erstellt nach dem Muster der Abituraufgaben; Messwerte ausgedacht, passend zu den Kupferlinien Kα 154 pm und Kβ 139 pm. BE heißt Bewertungseinheiten.
\nZu 1 (AFB II): Wie oben: Gangunterschied der an zwei benachbarten Ebenen reflektierten Strahlen Δs = 2·d·sin θ, Verstärkung bei Δs = n·λ. Mit Skizze.
\nZu 2 (AFB II): n = 1: λ = 2·d·sin θ. Bei 20,2°: λ = 402 pm · 0,345 ≈ 139 pm. Bei 22,5°: λ = 402 pm · 0,383 ≈ 154 pm. Kβ ist energiereicher, hat also die kürzere Wellenlänge: 139 pm ist Kβ, 154 pm ist Kα.
\nZu 3 (AFB II und III): Ein Elektron kann höchstens seine ganze Energie e·U an ein Photon geben. Kürzer als λmin = h·c/(e·U) wird die Strahlung nicht, also gibt es unterhalb des zugehörigen Winkels keine Reflexion. λmin = 2 · 201 pm · sin 5,1° ≈ 35,7 pm. h = e·U·λmin/c = 1,602·10⁻¹⁹ C · 3,5·10⁴ V · 3,57·10⁻¹¹ m / 3,00·10⁸ m/s ≈ 6,7·10⁻³⁴ J·s, nahe am Literaturwert 6,63·10⁻³⁴ J·s.
\nZu 4 (AFB II): Zweite Ordnung: sin θ = 2·λ/(2d) = 308 pm / 402 pm ≈ 0,766, also θ ≈ 50°. Sie müssen bei dem Winkel liegen, für den sin θ doppelt so groß ist wie in der ersten Ordnung.
\nWas die Korrektur erwartet: In 1 eine Skizze mit Gangunterschied, in 2 Rechnung und Zuordnung mit Begründung, in 3 die Erklärung über die größte Elektronenenergie.
\nAn einem LiF-Kristall (d = 201 pm) liegt das Maximum erster Ordnung einer Röntgenlinie bei θ = 20,0°. Berechne die Wellenlänge. Wo steht das Zählrohr?
\nλ = 2·d·sin θ = 2 · 201 pm · sin 20,0° ≈ 402 pm · 0,342 ≈ 137 pm. Das Zählrohr steht bei 2θ = 40,0° zum einfallenden Strahl.
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