{ "schemaVersion": 1, "productId": "baden-wuerttemberg_mathematik", "generatedFrom": "templates/mathematik (kern + laender/baden-wuerttemberg)", "cardQuizzes": [ { "cardId": "bw-ma-start-pruefungstag", "questions": [ { "id": "bw-ma-start-pruefungstag-hilfsmittel", "prompt": "Was darfst du in Teil A (hilfsmittelfrei) benutzen?", "options": [ { "id": "a", "text": "Taschenrechner, aber keine Formelsammlung." }, { "id": "b", "text": "Zeichengeräte und ein Rechtschreibwörterbuch, sonst nichts." }, { "id": "c", "text": "Formelsammlung, aber keinen Taschenrechner." }, { "id": "d", "text": "Alle Hilfsmittel, die ihr im Unterricht benutzt." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "In Teil A gibt es weder Taschenrechner noch Formelsammlung. Erlaubt sind Zeichengeräte und ein Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung." }, { "id": "bw-ma-start-pruefungstag-zeit-teil-a", "prompt": "Bis wann musst du im Leistungsfach Teil A spätestens abgeben?", "options": [ { "id": "a", "text": "Wann du willst, es gibt keine Grenze." }, { "id": "b", "text": "Nach genau 110 Minuten, früher geht nicht." }, { "id": "c", "text": "Spätestens 110 Minuten nach Prüfungsbeginn." }, { "id": "d", "text": "Nach der Hälfte der Gesamtzeit, also nach 150 Minuten." } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Du entscheidest selbst, wann du abgibst, aber im Leistungsfach spätestens nach 110 Minuten. Sobald du Teil A abgegeben hast, bekommst du Taschenrechner und Formelsammlung." }, { "id": "bw-ma-start-pruefungstag-teil-a-anzahl", "prompt": "Wie viele Aufgaben bearbeitest du in Teil A?", "options": [ { "id": "a", "text": "3" }, { "id": "b", "text": "4" }, { "id": "c", "text": "6" }, { "id": "d", "text": "9" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Vier Pflichtaufgaben (je 5 BE) plus zwei Wahlaufgaben aus sechs, zusammen sechs Aufgaben und 30 BE." }, { "id": "bw-ma-start-pruefungstag-teil-b-wahl", "prompt": "Wer entscheidet, welche Aufgaben du in Teil B bearbeitest?", "options": [ { "id": "a", "text": "Du selbst, am Anfang der Prüfung." }, { "id": "b", "text": "Deine Lehrkraft, vor der Prüfung (je eine von zwei pro Sachgebiet)." }, { "id": "c", "text": "Niemand, du bearbeitest alle sechs Vorschläge." }, { "id": "d", "text": "Das Los." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Pro Sachgebiet wählt die Lehrkraft eine von zwei Aufgaben. Du selbst wählst in Teil B nichts aus. Schülerwahl gibt es nur in Teil A." }, { "id": "bw-ma-start-pruefungstag-operator-angeben", "prompt": "In einer Aufgabe steht „Geben Sie … an“. Was musst du hinschreiben?", "options": [ { "id": "a", "text": "Das Ergebnis. Eine Begründung ist nicht nötig." }, { "id": "b", "text": "Das Ergebnis mit ausführlicher Begründung." }, { "id": "c", "text": "Einen vollständigen Rechenweg mit Ansatz." }, { "id": "d", "text": "Eine genaue Zeichnung." } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "Bei „angeben“ und „nennen“ ist keine Begründung notwendig. Das Ergebnis reicht." } ] }, { "cardId": "bw-ma-ohne-brueche", "questions": [ { "id": "bw-ma-ohne-brueche-addieren", "prompt": "Wie viel ist 1/3 + 1/4?", "options": [ { "id": "a", "text": "2/7" }, { "id": "b", "text": "1/7" }, { "id": "c", "text": "7/12" }, { "id": "d", "text": "1/12" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Erst auf den gemeinsamen Nenner 12 bringen: 4/12 + 3/12 = 7/12. Nenner werden nie addiert." }, { "id": "bw-ma-ohne-brueche-teilen", "prompt": "Wie viel ist (3/4) : (1/2)?", "options": [ { "id": "a", "text": "3/8" }, { "id": "b", "text": "3/2" }, { "id": "c", "text": "2/3" }, { "id": "d", "text": "1/4" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Teilen heißt mit dem Kehrwert malnehmen: 3/4 · 2 = 6/4 = 3/2." }, { "id": "bw-ma-ohne-brueche-potenz", "prompt": "Wie lässt sich x³ · x⁻⁵ schreiben?", "options": [ { "id": "a", "text": "x⁻¹⁵" }, { "id": "b", "text": "x⁸" }, { "id": "c", "text": "1/x²" }, { "id": "d", "text": "−x²" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Bei gleicher Basis werden die Hochzahlen addiert: 3 + (−5) = −2, und x⁻² = 1/x²." }, { "id": "bw-ma-ohne-brueche-negativ", "prompt": "Wie viel ist 2⁻³?", "options": [ { "id": "a", "text": "−8" }, { "id": "b", "text": "−6" }, { "id": "c", "text": "1/8" }, { "id": "d", "text": "1/6" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Eine negative Hochzahl bedeutet Kehrwert: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8." }, { "id": "bw-ma-ohne-brueche-ln", "prompt": "Wie viel ist e^(2 ln 3)?", "options": [ { "id": "a", "text": "6" }, { "id": "b", "text": "9" }, { "id": "c", "text": "2 ln 3" }, { "id": "d", "text": "ln 9" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "2 ln 3 = ln 9, und e hoch ln 9 ist 9, weil e und ln sich aufheben." } ] }, { "cardId": "bw-ma-ohne-terme", "questions": [ { "id": "bw-ma-ohne-terme-binom1", "prompt": "Was ergibt (x + 3)²?", "options": [ { "id": "a", "text": "x² + 9" }, { "id": "b", "text": "x² + 3x + 9" }, { "id": "c", "text": "x² + 6x + 9" }, { "id": "d", "text": "x² + 6x + 6" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Erste binomische Formel: a² + 2ab + b² = x² + 6x + 9. Das Mittelglied 6x wird oft vergessen." }, { "id": "bw-ma-ohne-terme-minus", "prompt": "Was ergibt 5 − (2x − 3)?", "options": [ { "id": "a", "text": "2 − 2x" }, { "id": "b", "text": "8 − 2x" }, { "id": "c", "text": "8 + 2x" }, { "id": "d", "text": "2 + 2x" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Ein Minus vor der Klammer dreht alle Vorzeichen in der Klammer um: 5 − 2x + 3 = 8 − 2x." }, { "id": "bw-ma-ohne-terme-binom3", "prompt": "Wie lässt sich x² − 16 als Produkt schreiben?", "options": [ { "id": "a", "text": "(x − 4)²" }, { "id": "b", "text": "(x + 4)²" }, { "id": "c", "text": "(x + 4)(x − 4)" }, { "id": "d", "text": "x · (x − 16)" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Dritte binomische Formel rückwärts: a² − b² = (a + b)(a − b) mit a = x und b = 4." }, { "id": "bw-ma-ohne-terme-ausklammern", "prompt": "Welche Umformung von x · eˣ + 2eˣ ist richtig?", "options": [ { "id": "a", "text": "eˣ · (x + 2)" }, { "id": "b", "text": "eˣ · 2x" }, { "id": "c", "text": "x · (eˣ + 2)" }, { "id": "d", "text": "3x · eˣ" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "In beiden Summanden steckt eˣ. Ausgeklammert bleibt x + 2 in der Klammer." }, { "id": "bw-ma-ohne-terme-quadrat", "prompt": "Wie viel ist −3²?", "options": [ { "id": "a", "text": "9" }, { "id": "b", "text": "−9" }, { "id": "c", "text": "6" }, { "id": "d", "text": "−6" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Das Quadrat bindet stärker als das Minus: −3² = −(3²) = −9. Nur (−3)² ist 9." } ] }, { "cardId": "bw-ma-ohne-gleichungen", "questions": [ { "id": "bw-ma-ohne-gleichungen-nullprodukt", "prompt": "Welche Lösungen hat x² = 5x?", "options": [ { "id": "a", "text": "nur x = 5" }, { "id": "b", "text": "x = 0 und x = 5" }, { "id": "c", "text": "x = −5 und x = 5" }, { "id": "d", "text": "keine" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "x² − 5x = 0, also x · (x − 5) = 0. Wer durch x teilt, verliert die Lösung x = 0." }, { "id": "bw-ma-ohne-gleichungen-efaktor", "prompt": "Welche Lösung hat (x − 3) · eˣ = 0?", "options": [ { "id": "a", "text": "x = 3" }, { "id": "b", "text": "x = 0 und x = 3" }, { "id": "c", "text": "x = ln 3" }, { "id": "d", "text": "keine" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "eˣ ist nie null, also muss x − 3 = 0 sein." }, { "id": "bw-ma-ohne-gleichungen-pq", "prompt": "Welche Lösungen hat x² − 2x − 3 = 0?", "options": [ { "id": "a", "text": "x = 1 und x = 3" }, { "id": "b", "text": "x = −1 und x = 3" }, { "id": "c", "text": "x = 1 und x = −3" }, { "id": "d", "text": "x = −1 und x = −3" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "pq-Formel: x = 1 ± √(1 + 3) = 1 ± 2. Probe mit 3: 9 − 6 − 3 = 0." }, { "id": "bw-ma-ohne-gleichungen-substitution", "prompt": "Wie viele Lösungen hat x⁴ − 5x² + 4 = 0?", "options": [ { "id": "a", "text": "zwei" }, { "id": "b", "text": "drei" }, { "id": "c", "text": "vier" }, { "id": "d", "text": "keine" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Mit z = x² wird daraus z² − 5z + 4 = 0, also z = 1 oder z = 4. Zurück: x = ±1 und x = ±2." }, { "id": "bw-ma-ohne-gleichungen-eln", "prompt": "Welche Lösung hat 3 · e^(2x) = 12?", "options": [ { "id": "a", "text": "x = ln 2" }, { "id": "b", "text": "x = ln 4" }, { "id": "c", "text": "x = 2" }, { "id": "d", "text": "x = ln 12 − 3" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "Durch 3 teilen: e^(2x) = 4. ln anwenden: 2x = ln 4, also x = (ln 4)/2 = ln 2." } ] }, { "cardId": "bw-ma-ohne-fehler", "questions": [ { "id": "bw-ma-ohne-fehler-klammer", "prompt": "Was ergibt 4 − (x² − 2x)?", "options": [ { "id": "a", "text": "4 − x² − 2x" }, { "id": "b", "text": "4 − x² + 2x" }, { "id": "c", "text": "4 + x² − 2x" }, { "id": "d", "text": "4 − x² − 2" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Das Minus vor der Klammer trifft jeden Summanden: −x² und +2x." }, { "id": "bw-ma-ohne-fehler-wurzel", "prompt": "Welche Lösungen hat x² = 9?", "options": [ { "id": "a", "text": "nur 3" }, { "id": "b", "text": "3 und −3" }, { "id": "c", "text": "81" }, { "id": "d", "text": "keine" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Auch (−3)² = 9. Wer nur die positive Wurzel nimmt, verliert eine Lösung." }, { "id": "bw-ma-ohne-fehler-frage", "prompt": "Gefragt ist der Tiefpunkt. Du hast x = 2 berechnet. Was fehlt noch?", "options": [ { "id": "a", "text": "nichts" }, { "id": "b", "text": "die y-Koordinate f(2)" }, { "id": "c", "text": "die Ableitung f′(2)" }, { "id": "d", "text": "eine Skizze" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Ein Punkt hat zwei Koordinaten. Erst mit f(2) ist der Tiefpunkt vollständig angegeben." }, { "id": "bw-ma-ohne-fehler-probe", "prompt": "Wo setzt du die Lösung bei der Probe ein?", "options": [ { "id": "a", "text": "in die letzte umgeformte Zeile" }, { "id": "b", "text": "in die Gleichung aus der Aufgabe" }, { "id": "c", "text": "in die Ableitung" }, { "id": "d", "text": "nirgends, Durchlesen reicht" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Nur die Ausgangsgleichung zeigt auch Fehler aus der Mitte der Rechnung." }, { "id": "bw-ma-ohne-fehler-innen", "prompt": "Was ist die Ableitung von e^(3x)?", "options": [ { "id": "a", "text": "e^(3x)" }, { "id": "b", "text": "3x · e^(3x)" }, { "id": "c", "text": "3 · e^(3x)" }, { "id": "d", "text": "e^3" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Die innere Ableitung von 3x ist 3 und kommt als Faktor dazu." } ] }, { "cardId": "bw-ma-an-ableiten-ohne-rechner", "questions": [ { "id": "bw-ma-an-ableiten-ohne-rechner-idee", "prompt": "f′(3) = −2. Was bedeutet das?", "options": [ { "id": "a", "text": "Der Graph schneidet bei x = 3 die x-Achse." }, { "id": "b", "text": "An der Stelle x = 3 fällt der Graph, die Tangente dort hat die Steigung −2." }, { "id": "c", "text": "Der Funktionswert an der Stelle 3 ist −2." }, { "id": "d", "text": "Der Graph hat bei x = 3 einen Tiefpunkt." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Die Ableitung gibt die Steigung an, nicht den Funktionswert. Negativ heißt: Der Graph fällt dort." }, { "id": "bw-ma-an-ableiten-ohne-rechner-produktregel", "prompt": "Welche Ableitung hat f(x) = x² · eˣ?", "options": [ { "id": "a", "text": "f′(x) = 2x · eˣ" }, { "id": "b", "text": "f′(x) = x² · eˣ" }, { "id": "c", "text": "f′(x) = eˣ · (x² + 2x)" }, { "id": "d", "text": "f′(x) = 2x · eˣ + eˣ" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Produktregel: u′ · v + u · v′ = 2x · eˣ + x² · eˣ. Ausgeklammert: eˣ · (x² + 2x)." }, { "id": "bw-ma-an-ableiten-ohne-rechner-kettenregel", "prompt": "Welche Ableitung von f(x) = e³ˣ ist richtig?", "options": [ { "id": "a", "text": "f′(x) = e³ˣ" }, { "id": "b", "text": "f′(x) = x · e³ˣ" }, { "id": "c", "text": "f′(x) = e³ˣ / 3" }, { "id": "d", "text": "f′(x) = 3 · e³ˣ" } ], "correctOptionId": "d", "explanation": "Kettenregel: Die Ableitung des Exponenten 3x ist 3. Sie kommt als Faktor davor. Wer nur e³ˣ schreibt, hat die Kettenregel vergessen." }, { "id": "bw-ma-an-ableiten-ohne-rechner-klausur-tangente", "prompt": "In der IQB-Aufgabe ist f(6) = 0 und f′(6) = 8/3. Welche Gleichung hat die Tangente im Punkt P(6 | 0)?", "options": [ { "id": "a", "text": "y = 8/3 · x" }, { "id": "b", "text": "y = 8/3 · x + 16" }, { "id": "c", "text": "y = 8/3 · x − 16" }, { "id": "d", "text": "y = 6x − 16" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Ansatz y = 8/3 · x + c. P einsetzen: 0 = 8/3 · 6 + c = 16 + c, also c = −16." }, { "id": "bw-ma-an-ableiten-ohne-rechner-operator-berechnen", "prompt": "Was verlangt der Operator „berechnen“ laut Operatorenliste?", "options": [ { "id": "a", "text": "Nur das Ergebnis, ohne Rechenweg." }, { "id": "b", "text": "Eine Skizze des Graphen." }, { "id": "c", "text": "Eine Begründung in Worten, ohne Rechnung." }, { "id": "d", "text": "Eine Rechnung, die von einem Ansatz ausgeht und dargestellt wird." } ], "correctOptionId": "d", "explanation": "„Die Berechnung ist ausgehend von einem Ansatz darzustellen.“ Das Ergebnis allein reicht nicht." } ] }, { "cardId": "bw-ma-an-efunktion", "questions": [ { "id": "bw-ma-an-efunktion-umkehr", "prompt": "Welche Umkehrfunktion hat f(x) = 2x + 3?", "options": [ { "id": "a", "text": "(x − 3)/2" }, { "id": "b", "text": "2x − 3" }, { "id": "c", "text": "1/(2x + 3)" }, { "id": "d", "text": "(x + 3)/2" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "y = 2x + 3 nach x auflösen: x = (y − 3)/2. Dann x und y tauschen: (x − 3)/2. Probe: f((x − 3)/2) = x − 3 + 3 = x." }, { "id": "bw-ma-an-efunktion-ableiten", "prompt": "Welche Ableitung hat f(x) = 3 · e²ˣ?", "options": [ { "id": "a", "text": "3 · e²ˣ" }, { "id": "b", "text": "6 · e²ˣ" }, { "id": "c", "text": "6x · e²ˣ" }, { "id": "d", "text": "2 · e²ˣ" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Der Faktor 2 aus dem Exponenten kommt nach vorn: 3 · 2 · e²ˣ = 6 · e²ˣ." }, { "id": "bw-ma-an-efunktion-ln", "prompt": "Welche Lösung hat eˣ = 7?", "options": [ { "id": "a", "text": "x = 7/e" }, { "id": "b", "text": "x = ln(7)" }, { "id": "c", "text": "x = e⁷" }, { "id": "d", "text": "x = 7" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Der ln ist die Umkehrung der e-Funktion: Aus eˣ = 7 folgt x = ln(7), etwa 1,95." }, { "id": "bw-ma-an-efunktion-klausur-teilen", "prompt": "Aus e^(x²) = 2x · e^(x²) folgt x = 1/2. Warum darfst du durch e^(x²) teilen?", "options": [ { "id": "a", "text": "Weil e^(x²) immer 1 ist." }, { "id": "b", "text": "Weil e^(x²) nie null ist." }, { "id": "c", "text": "Weil x = 0 ist." }, { "id": "d", "text": "Man darf nicht teilen, man muss den Logarithmus nehmen." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Die e-Funktion ist immer positiv. Durch eine Zahl ungleich null darfst du teilen." }, { "id": "bw-ma-an-efunktion-klausur-wertemenge", "prompt": "Welche Wertemenge hat f(x) = e^(x²)?", "options": [ { "id": "a", "text": "ℝ" }, { "id": "b", "text": "]0; +∞[" }, { "id": "c", "text": "[1; +∞[" }, { "id": "d", "text": "[0; 1]" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "x² ist mindestens 0, also ist e^(x²) mindestens e⁰ = 1. Nach oben ist f unbeschränkt." } ] }, { "cardId": "bw-ma-an-sinus", "questions": [ { "id": "bw-ma-an-sinus-periode", "prompt": "Welche Periode hat f(x) = sin(2x)?", "options": [ { "id": "a", "text": "2" }, { "id": "b", "text": "π" }, { "id": "c", "text": "2π" }, { "id": "d", "text": "4π" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Periode p = 2π / b = 2π / 2 = π." }, { "id": "bw-ma-an-sinus-ableiten", "prompt": "Welche Ableitung hat f(x) = sin(3x)?", "options": [ { "id": "a", "text": "cos(3x)" }, { "id": "b", "text": "3 · cos(3x)" }, { "id": "c", "text": "−3 · cos(3x)" }, { "id": "d", "text": "3 · sin(3x)" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Ableitung von sin ist cos, der Faktor 3 aus dem Argument kommt nach vorn." }, { "id": "bw-ma-an-sinus-gleichung", "prompt": "Welche Lösungen hat sin(x) = 1/2 für 0 ≤ x ≤ 2π?", "options": [ { "id": "a", "text": "nur π/6" }, { "id": "b", "text": "π/6 und 5π/6" }, { "id": "c", "text": "π/6 und 7π/6" }, { "id": "d", "text": "π/3 und 2π/3" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "sin(π/6) = 1/2. Die zweite Lösung in einer Periode ist π − π/6 = 5π/6, weil sin(π − x) = sin x gilt." }, { "id": "bw-ma-an-sinus-klausur-tangente", "prompt": "f(x) = 3 − 2 sin x: Wie lautet die Tangente im Punkt (0 | f(0))?", "options": [ { "id": "a", "text": "y = −2x + 3" }, { "id": "b", "text": "y = 2x + 3" }, { "id": "c", "text": "y = −2x" }, { "id": "d", "text": "y = 3" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "f′(x) = −2 cos x, also f′(0) = −2. Mit f(0) = 3: y = −2x + 3." }, { "id": "bw-ma-an-sinus-klausur-wertebereich", "prompt": "Welchen Wertebereich hat f(x) = 3 − 2 sin x?", "options": [ { "id": "a", "text": "[−1; 1]" }, { "id": "b", "text": "[1; 5]" }, { "id": "c", "text": "[3; 5]" }, { "id": "d", "text": "[−2; 2]" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Mittellinie 3, Amplitude 2: kleinster Wert 1, größter Wert 5." } ] }, { "cardId": "bw-ma-an-extrem-steckbrief", "questions": [ { "id": "bw-ma-an-extrem-steckbrief-idee", "prompt": "Warum reicht f′(x₀) = 0 allein nicht als Nachweis für einen Hochpunkt?", "options": [ { "id": "a", "text": "An der Stelle könnte auch ein Tiefpunkt oder ein Sattelpunkt liegen." }, { "id": "b", "text": "Weil f′ an Hochpunkten immer negativ ist." }, { "id": "c", "text": "Weil man zusätzlich f(x₀) = 0 braucht." }, { "id": "d", "text": "Es reicht, f′(x₀) = 0 bedeutet immer Hochpunkt." } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "f′(x₀) = 0 heißt nur: Die Tangente ist waagerecht. Welche Art von Punkt es ist, prüfst du danach mit f″ oder dem Vorzeichenwechsel." }, { "id": "bw-ma-an-extrem-steckbrief-rand", "prompt": "f(x) = x³ − 3x hat den Hochpunkt H(−1 | 2). Welcher Wert ist der größte auf dem Intervall [−2; 3]?", "options": [ { "id": "a", "text": "2 bei x = −1" }, { "id": "b", "text": "18 bei x = 3" }, { "id": "c", "text": "−2 bei x = −2" }, { "id": "d", "text": "Es gibt keinen größten Wert." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Am Rand ist f(3) = 27 − 9 = 18, das ist mehr als der Hochpunkt mit 2. Auf einem Intervall musst du die Ränder immer mitprüfen." }, { "id": "bw-ma-an-extrem-steckbrief-steckbrief", "prompt": "Der Graph hat den Hochpunkt H(1 | 4). Welche Gleichungen liefert diese Angabe?", "options": [ { "id": "a", "text": "nur f(1) = 4" }, { "id": "b", "text": "f(1) = 4 und f′(1) = 0" }, { "id": "c", "text": "nur f′(1) = 4" }, { "id": "d", "text": "f′(1) = 4 und f″(1) = 0" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Ein Hochpunkt steckt zwei Informationen: Der Punkt liegt auf dem Graphen (f(1) = 4), und die Tangente ist dort waagerecht (f′(1) = 0)." }, { "id": "bw-ma-an-extrem-steckbrief-klausur-tiefpunkt", "prompt": "In der IQB-Aufgabe sollst du zeigen, dass bei x = √12 ein Tiefpunkt liegt. Was gehört auf das Blatt?", "options": [ { "id": "a", "text": "Nur der Satz: Laut Aufgabe liegt dort ein Tiefpunkt." }, { "id": "b", "text": "f′(√12) = 0 und f″(√12) > 0, jeweils mit Rechnung, dazu ein Antwortsatz." }, { "id": "c", "text": "Nur f′(√12) = 0." }, { "id": "d", "text": "Eine Wertetabelle mit drei Funktionswerten." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Du zeigst beides: Die Tangente ist waagerecht (f′ = 0), und der Graph ist dort nach links gekrümmt (f″ > 0). Erst beides zusammen beweist den Tiefpunkt." }, { "id": "bw-ma-an-extrem-steckbrief-operator-zeigen", "prompt": "Worin unterscheidet sich „zeigen“ von „untersuchen“?", "options": [ { "id": "a", "text": "Bei „zeigen“ steht die Aussage schon da und du bestätigst sie. Bei „untersuchen“ findest du das Ergebnis selbst heraus." }, { "id": "b", "text": "Bei „zeigen“ reicht das Ergebnis ohne Rechnung." }, { "id": "c", "text": "„Untersuchen“ heißt: nur eine Skizze anfertigen." }, { "id": "d", "text": "Es gibt keinen Unterschied." } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "Bei beiden ist der Weg frei wählbar und muss dargestellt werden. Der Unterschied: Bei „zeigen“ kennst du das Ergebnis schon, bei „untersuchen“ nicht." } ] }, { "cardId": "bw-ma-an-wendepunkte", "questions": [ { "id": "bw-ma-an-wendepunkte-idee", "prompt": "Was zeigt f″(x) > 0 auf einem Intervall?", "options": [ { "id": "a", "text": "Der Graph steigt dort." }, { "id": "b", "text": "Der Graph ist dort linksgekrümmt." }, { "id": "c", "text": "Der Graph hat dort einen Hochpunkt." }, { "id": "d", "text": "Der Graph liegt dort über der x-Achse." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "f″ misst die Krümmung. Positiv heißt linksgekrümmt, negativ heißt rechtsgekrümmt. Ob der Graph steigt, sagt f′." }, { "id": "bw-ma-an-wendepunkte-rechnung", "prompt": "Welchen Wendepunkt hat f(x) = x³ − 6x²?", "options": [ { "id": "a", "text": "W(2 | −16)" }, { "id": "b", "text": "W(0 | 0)" }, { "id": "c", "text": "W(4 | −32)" }, { "id": "d", "text": "W(2 | −8)" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "f″(x) = 6x − 12 = 0 → x = 2, und f‴(2) = 6 ≠ 0. y-Wert: f(2) = 8 − 24 = −16." }, { "id": "bw-ma-an-wendepunkte-sachkontext", "prompt": "N(t) beschreibt die Besucherzahl. Wann wächst sie am stärksten?", "options": [ { "id": "a", "text": "Wenn N(t) am größten ist." }, { "id": "b", "text": "An einer Wendestelle von N, wo N′ am größten ist." }, { "id": "c", "text": "Wenn N′(t) = 0 ist." }, { "id": "d", "text": "Am Anfang, bei t = 0." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Die stärkste Zunahme ist das Maximum der Änderungsrate N′. Das liegt an einer Wendestelle von N." }, { "id": "bw-ma-an-wendepunkte-klausur-hinreichend", "prompt": "Aufgabe mit f(x) = 1/8 · (x³ − 15x² + 50x): Warum reicht f″(5) = 0 allein nicht als Nachweis für den Wendepunkt?", "options": [ { "id": "a", "text": "Weil auch f(5) = 0 sein muss." }, { "id": "b", "text": "Weil f″(5) = 0 nur notwendig ist. Du brauchst noch f‴(5) ≠ 0 oder einen Vorzeichenwechsel von f″." }, { "id": "c", "text": "Weil man immer die Tangente braucht." }, { "id": "d", "text": "Es reicht, f″(5) = 0 beweist den Wendepunkt." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "f″(x₀) = 0 ist nur die notwendige Bedingung. Hier zeigt f‴(5) = 3/4 ≠ 0, dass wirklich ein Wendepunkt vorliegt." }, { "id": "bw-ma-an-wendepunkte-klausur-tangente", "prompt": "Wie lautet die Wendetangente im Punkt W(5 | 0)?", "options": [ { "id": "a", "text": "y = −25/8 · x + 125/8" }, { "id": "b", "text": "y = −25/8 · x" }, { "id": "c", "text": "y = 25/8 · x − 125/8" }, { "id": "d", "text": "y = 3/4 · x − 15/4" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "Steigung f′(5) = −25/8. Mit W(5 | 0): 0 = −25/8 · 5 + t, also t = 125/8." } ] }, { "cardId": "bw-ma-an-graphen", "questions": [ { "id": "bw-ma-an-graphen-idee", "prompt": "Der Graph von f′ liegt auf einem Intervall unter der x-Achse. Was folgt daraus für f?", "options": [ { "id": "a", "text": "f ist dort negativ." }, { "id": "b", "text": "f fällt dort." }, { "id": "c", "text": "f hat dort einen Wendepunkt." }, { "id": "d", "text": "f ist dort null." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "f′ ist die Steigung von f. Negative Steigung heißt: Der Graph von f fällt. Ob f selbst positiv oder negativ ist, sagt f′ nicht." }, { "id": "bw-ma-an-graphen-rechnung", "prompt": "f′ hat bei x = 2 eine Nullstelle, links davon ist f′ > 0, rechts davon f′ < 0. Was hat f bei x = 2?", "options": [ { "id": "a", "text": "Einen Tiefpunkt" }, { "id": "b", "text": "Einen Hochpunkt" }, { "id": "c", "text": "Einen Wendepunkt" }, { "id": "d", "text": "Eine Nullstelle" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Erst steigt f, dann fällt f: Das ist ein Hochpunkt." }, { "id": "bw-ma-an-graphen-falle", "prompt": "Der Graph von f′ hat bei x = 1 einen Hochpunkt. Was gilt für f bei x = 1?", "options": [ { "id": "a", "text": "f hat dort einen Hochpunkt." }, { "id": "b", "text": "f hat dort einen Wendepunkt." }, { "id": "c", "text": "f hat dort eine Nullstelle." }, { "id": "d", "text": "f ist dort waagerecht." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Extremstellen von f′ sind Wendestellen von f. An einem Hochpunkt von f′ ist die Steigung von f dort größer als in der Umgebung, f hat dort aber keinen Hochpunkt." }, { "id": "bw-ma-an-graphen-klausur-zuordnung", "prompt": "Warum kommt Graph II nicht als Graph von f′ infrage?", "options": [ { "id": "a", "text": "Er ist eine Parabel." }, { "id": "b", "text": "Seine Nullstellen liegen bei den Nullstellen von f, nicht bei den Hoch- und Tiefpunkten von f." }, { "id": "c", "text": "Er liegt ganz unter der x-Achse." }, { "id": "d", "text": "Er geht nicht durch den Ursprung." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Die Extremstellen von f müssen Nullstellen von f′ sein. Graph II hat seine Nullstellen bei −3 und 3, dort hat f Nullstellen." }, { "id": "bw-ma-an-graphen-klausur-stammfunktion", "prompt": "Wie verhält sich F im Intervall [1; 3]?", "options": [ { "id": "a", "text": "F steigt, weil f dort steigt." }, { "id": "b", "text": "F fällt, weil F′ = f dort kleiner oder gleich 0 ist." }, { "id": "c", "text": "F ist dort konstant." }, { "id": "d", "text": "F hat dort einen Wendepunkt." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Für eine Stammfunktion gilt F′ = f. Im Intervall [1; 3] liegt der Graph von f nicht über der x-Achse, also fällt F." } ] }, { "cardId": "bw-ma-an-scharen", "questions": [ { "id": "bw-ma-an-scharen-ableiten", "prompt": "Wie lautet die Ableitung von f_a(x) = x² − 2a · x?", "options": [ { "id": "a", "text": "2x − 2" }, { "id": "b", "text": "2x − 2a" }, { "id": "c", "text": "x² − 2" }, { "id": "d", "text": "−2x" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Abgeleitet wird nach x, a bleibt wie eine Zahl stehen: (x²)′ = 2x und (−2a · x)′ = −2a." }, { "id": "bw-ma-an-scharen-tiefpunkt", "prompt": "Wo liegt der Tiefpunkt von f_a(x) = x² − 2a · x?", "options": [ { "id": "a", "text": "(a | −a²)" }, { "id": "b", "text": "(−a | a²)" }, { "id": "c", "text": "(2a | 0)" }, { "id": "d", "text": "(0 | 0)" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "f_a′(x) = 2x − 2a = 0 ergibt x = a, und f_a(a) = a² − 2a² = −a²." }, { "id": "bw-ma-an-scharen-bestimmen", "prompt": "Für welches a geht der Graph von f_a(x) = x² − 2a · x durch P(2 | 0)?", "options": [ { "id": "a", "text": "a = 0" }, { "id": "b", "text": "a = 2" }, { "id": "c", "text": "a = 1" }, { "id": "d", "text": "für jedes a" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "f_a(2) = 4 − 4a = 0, also a = 1." }, { "id": "bw-ma-an-scharen-klausur-punkt", "prompt": "Für welches a liegt (1 | 6) auf dem Graphen von f_a(x) = ax³ + ax²?", "options": [ { "id": "a", "text": "a = 6" }, { "id": "b", "text": "a = 2" }, { "id": "c", "text": "a = 3" }, { "id": "d", "text": "a = 1" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "f_a(1) = a + a = 2a = 6, also a = 3." }, { "id": "bw-ma-an-scharen-klausur-flaeche", "prompt": "Welchen Inhalt hat die Fläche zwischen dem Graphen von f_a und der x-Achse?", "options": [ { "id": "a", "text": "a/12" }, { "id": "b", "text": "a/4" }, { "id": "c", "text": "7a/12" }, { "id": "d", "text": "a/3" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "Nullstellen −1 und 0, ∫ von −1 bis 0 ergibt 0 − (a/4 − a/3) = a/12." } ] }, { "cardId": "bw-ma-an-integral-flaeche", "questions": [ { "id": "bw-ma-an-integral-flaeche-idee", "prompt": "Das Integral von −1 bis 1 über f(x) = x³ ergibt 0. Was bedeutet das?", "options": [ { "id": "a", "text": "Es gibt keine Fläche zwischen Graph und x-Achse." }, { "id": "b", "text": "Die Fläche oberhalb und die Fläche unterhalb der x-Achse sind gleich groß und heben sich auf." }, { "id": "c", "text": "Der Graph liegt vollständig auf der x-Achse." }, { "id": "d", "text": "Man hat sich verrechnet, Integrale sind nie 0." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Flächen unter der x-Achse zählen im Integral negativ. Sind beide Stücke gleich groß, ergibt das Integral 0. Der Flächeninhalt ist trotzdem größer als 0." }, { "id": "bw-ma-an-integral-flaeche-substitution", "prompt": "Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = e^(2x)?", "options": [ { "id": "a", "text": "2 · e^(2x)" }, { "id": "b", "text": "e^(2x)" }, { "id": "c", "text": "½ · e^(2x)" }, { "id": "d", "text": "e^(2x) / x" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Beim Integrieren teilst du durch den Faktor vor x: Zu e^(2x) gehört ½ · e^(2x). Probe: (½ · e^(2x))′ = ½ · 2 · e^(2x) = e^(2x)." }, { "id": "bw-ma-an-integral-flaeche-vorzeichen", "prompt": "Du berechnest für einen Flächeninhalt ein Integral und erhältst −32/3. Was schreibst du als Ergebnis?", "options": [ { "id": "a", "text": "Der Flächeninhalt beträgt −32/3 Flächeneinheiten." }, { "id": "b", "text": "Der Flächeninhalt ist 0, weil Flächen nicht negativ sein können." }, { "id": "c", "text": "Die Aufgabe ist nicht lösbar." }, { "id": "d", "text": "Der Flächeninhalt beträgt 32/3 Flächeneinheiten, das Minus zeigt nur, dass die Fläche unter der x-Achse liegt." } ], "correctOptionId": "d", "explanation": "Ein Flächeninhalt ist nie negativ. Du nimmst den Betrag des Integrals." }, { "id": "bw-ma-an-integral-flaeche-klausur-grenzen", "prompt": "IQB-Aufgabe mit f(x) = x³ + 2x²: Warum integrierst du von −2 bis 0?", "options": [ { "id": "a", "text": "Weil man immer bei 0 aufhört." }, { "id": "b", "text": "Weil −2 und 0 die Nullstellen sind und die Fläche dazwischen liegt." }, { "id": "c", "text": "Weil die Aufgabe diese Grenzen ausdrücklich vorgibt." }, { "id": "d", "text": "Weil f(−2) = f(0) = 4 ist." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Gesucht ist die Fläche, die der Graph mit der x-Achse einschließt. Sie reicht von Nullstelle zu Nullstelle, hier von −2 bis 0." }, { "id": "bw-ma-an-integral-flaeche-operator-bestaetigen", "prompt": "„Bestätigen Sie, dass −2 und 0 die einzigen Nullstellen von f sind.“ Was musst du tun?", "options": [ { "id": "a", "text": "Die Zahlen −2 und 0 abschreiben." }, { "id": "b", "text": "Nur f(−2) = 0 und f(0) = 0 nachrechnen." }, { "id": "c", "text": "Die Nullstellen in eine Skizze einzeichnen." }, { "id": "d", "text": "Mit einer Rechnung zeigen, dass f(x) = 0 genau diese beiden Lösungen hat." } ], "correctOptionId": "d", "explanation": "Einsetzen zeigt nur, dass −2 und 0 Nullstellen sind, aber nicht, dass es keine weiteren gibt. Das zeigst du durch Lösen der Gleichung: x² · (x + 2) = 0." } ] }, { "cardId": "bw-ma-an-flaeche-zwischen", "questions": [ { "id": "bw-ma-an-flaeche-zwischen-idee", "prompt": "Was integrierst du für die Fläche zwischen den Graphen von f und g?", "options": [ { "id": "a", "text": "f + g" }, { "id": "b", "text": "obere minus untere Funktion" }, { "id": "c", "text": "f · g" }, { "id": "d", "text": "nur die obere Funktion" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Die Höhe der Fläche an jeder Stelle ist der Abstand der Graphen: obere minus untere Funktion." }, { "id": "bw-ma-an-flaeche-zwischen-rechnung", "prompt": "Wie groß ist die Fläche zwischen f(x) = x² und g(x) = 2x?", "options": [ { "id": "a", "text": "4/3" }, { "id": "b", "text": "8/3" }, { "id": "c", "text": "4" }, { "id": "d", "text": "2/3" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "Schnittstellen: x² = 2x → x = 0 und x = 2. Oben liegt g. Integral von 2x − x² von 0 bis 2: 4 − 8/3 = 4/3." }, { "id": "bw-ma-an-flaeche-zwischen-falle", "prompt": "Die Graphen schneiden sich zwischen den Grenzen noch einmal. Was tust du?", "options": [ { "id": "a", "text": "Nichts, einmal integrieren reicht." }, { "id": "b", "text": "Das Intervall am Schnittpunkt teilen und jedes Stück mit oben minus unten rechnen." }, { "id": "c", "text": "Das Ergebnis halbieren." }, { "id": "d", "text": "Die Grenzen tauschen." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Sonst heben sich die Teilflächen gegenseitig ganz oder teilweise auf, und das Ergebnis ist zu klein." }, { "id": "bw-ma-an-flaeche-zwischen-klausur-oben", "prompt": "g(x) = x² − 3 und h(x) = −x² + 2x + 1: Welche Differenz integrierst du von −1 bis 2?", "options": [ { "id": "a", "text": "g(x) − h(x)" }, { "id": "b", "text": "h(x) − g(x)" }, { "id": "c", "text": "g(x) + h(x)" }, { "id": "d", "text": "nur h(x)" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Bei x = 0 ist h(0) = 1 größer als g(0) = −3. Also liegt h oben: h − g = −2x² + 2x + 4." }, { "id": "bw-ma-an-flaeche-zwischen-klausur-ergebnis", "prompt": "Wie groß ist die Fläche, die die Graphen von g und h einschließen?", "options": [ { "id": "a", "text": "9" }, { "id": "b", "text": "−9" }, { "id": "c", "text": "4,5" }, { "id": "d", "text": "12" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "Integral von −2x² + 2x + 4 von −1 bis 2 ergibt 9. Ein Flächeninhalt ist immer positiv." } ] }, { "cardId": "bw-ma-an-bestand", "questions": [ { "id": "bw-ma-an-bestand-idee", "prompt": "r(t) ist die Zuflussrate in Litern pro Minute. Was gibt das Integral von r von 0 bis 5 an?", "options": [ { "id": "a", "text": "Wie schnell es nach 5 Minuten zufließt." }, { "id": "b", "text": "Wie viele Liter in den ersten 5 Minuten dazukommen." }, { "id": "c", "text": "Wie viele Liter nach 5 Minuten insgesamt da sind." }, { "id": "d", "text": "Die durchschnittliche Rate." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Das Integral der Rate ist die Änderung des Bestands. Für den Gesamtbestand addierst du noch den Anfangsbestand." }, { "id": "bw-ma-an-bestand-rechnung", "prompt": "Zuflussrate r(t) = 6 − 2t (Kubikmeter pro Stunde). Wie viel kommt von t = 0 bis t = 3 dazu?", "options": [ { "id": "a", "text": "9 Kubikmeter" }, { "id": "b", "text": "6 Kubikmeter" }, { "id": "c", "text": "18 Kubikmeter" }, { "id": "d", "text": "0 Kubikmeter" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "Stammfunktion 6t − t². Von 0 bis 3: 18 − 9 = 9." }, { "id": "bw-ma-an-bestand-maximum", "prompt": "Wann ist der Bestand am größten?", "options": [ { "id": "a", "text": "Wenn die Rate am größten ist." }, { "id": "b", "text": "Wenn die Rate von positiv zu negativ wechselt." }, { "id": "c", "text": "Immer am Ende des Zeitraums." }, { "id": "d", "text": "Wenn die Rate null ist, egal ob sie danach steigt oder fällt." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Solange die Rate positiv ist, wächst der Bestand. Wechselt sie zu negativ, nimmt er ab. Dazwischen liegt der größte Bestand." }, { "id": "bw-ma-an-bestand-klausur-gleichung", "prompt": "Behälter mit 2 Litern, Zuflussrate f(t) = −t · (t − 4). Welche Gleichung beschreibt „Der Behälter enthält 7 Liter“?", "options": [ { "id": "a", "text": "∫₀ᵗ f(x) dx = 7" }, { "id": "b", "text": "2 + ∫₀ᵗ f(x) dx = 7" }, { "id": "c", "text": "f(t) = 7" }, { "id": "d", "text": "2 + f(t) = 7" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Das Integral der Rate liefert nur den Zufluss. Dazu kommt der Anfangsbestand von 2 Litern." }, { "id": "bw-ma-an-bestand-operator-angeben", "prompt": "„Geben Sie eine Gleichung an …“ Was verlangt das?", "options": [ { "id": "a", "text": "Die Gleichung lösen und das Ergebnis begründen." }, { "id": "b", "text": "Nur die Gleichung hinschreiben." }, { "id": "c", "text": "Die Gleichung herleiten und grafisch darstellen." }, { "id": "d", "text": "Eine Tabelle anlegen." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "„Angeben“ heißt: das Ergebnis hinschreiben, ohne Begründung und ohne weitere Rechnung." } ] }, { "cardId": "bw-ma-raum-vektoren", "questions": [ { "id": "bw-ma-raum-vektoren-idee", "prompt": "Was beschreibt der Vektor AB→?", "options": [ { "id": "a", "text": "Den Weg von A nach B: wie weit in x-, y- und z-Richtung." }, { "id": "b", "text": "Die Lage des Punktes A im Koordinatensystem." }, { "id": "c", "text": "Den Mittelpunkt zwischen A und B." }, { "id": "d", "text": "Die Länge der Strecke AB als einzelne Zahl." } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "Ein Vektor ist eine Wegbeschreibung. Du rechnest „Ziel minus Start“: AB→ = B − A." }, { "id": "bw-ma-raum-vektoren-laenge", "prompt": "A(1 | 2 | 3) und B(4 | 2 | −1). Wie lang ist AB→?", "options": [ { "id": "a", "text": "7" }, { "id": "b", "text": "5" }, { "id": "c", "text": "√7" }, { "id": "d", "text": "25" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "AB→ hat die Einträge 3, 0 und −4. Länge: √(9 + 0 + 16) = √25 = 5." }, { "id": "bw-ma-raum-vektoren-kollinear", "prompt": "A(1 | 0 | 0), B(3 | 2 | 4), C(4 | 3 | 6). Liegen die drei Punkte auf einer Geraden?", "options": [ { "id": "a", "text": "Ja, weil AC→ = 1,5 · AB→ gilt." }, { "id": "b", "text": "Nein, weil AB→ und AC→ verschieden lang sind." }, { "id": "c", "text": "Ja, weil alle Koordinaten positiv sind." }, { "id": "d", "text": "Nein, weil es kein r mit AC→ = r · AB→ gibt." } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "AB→ = (2 | 2 | 4) und AC→ = (3 | 3 | 6) = 1,5 · AB→. Die Vektoren sind kollinear und haben den Punkt A gemeinsam, also liegen A, B und C auf einer Geraden." }, { "id": "bw-ma-raum-vektoren-klausur-raute", "prompt": "Kirchturm-Aufgabe: CF→ = GS→ und |CG→| = |CF→| = √52. Was folgt daraus für das Viereck CGSF?", "options": [ { "id": "a", "text": "Es ist ein Quadrat." }, { "id": "b", "text": "Es ist ein Trapez, aber kein Parallelogramm." }, { "id": "c", "text": "Es ist ein Parallelogramm mit gleich langen Nachbarseiten, also eine Raute." }, { "id": "d", "text": "Daraus folgt noch nichts, man muss alle vier Seiten einzeln berechnen." } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "CF→ = GS→ zeigt: gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang, also ein Parallelogramm. Gleich lange Nachbarseiten machen daraus eine Raute. Für ein Quadrat bräuchte man zusätzlich einen rechten Winkel." }, { "id": "bw-ma-raum-vektoren-operator-nachweisen", "prompt": "Was heißt „Weisen Sie nach, dass …“?", "options": [ { "id": "a", "text": "Die Aussage durch eine nachvollziehbare Rechnung oder Begründung bestätigen." }, { "id": "b", "text": "Nur das Ergebnis nennen." }, { "id": "c", "text": "Eine möglichst genaue Zeichnung anfertigen." }, { "id": "d", "text": "Die Aussage mit eigenen Worten wiederholen." } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "„Nachweisen“ steht in einer Gruppe mit „begründen“ und „zeigen“: Die Aussage wird durch logisches Schließen bestätigt, der Weg ist frei, muss aber dargestellt werden." } ] }, { "cardId": "bw-ma-raum-skalarprodukt", "questions": [ { "id": "bw-ma-raum-skalarprodukt-winkel-ebene", "prompt": "Für den Winkel zwischen einer Geraden (Richtung u→) und einer Ebene (Normalenvektor n→) nimmst du …", "options": [ { "id": "a", "text": "cos α = |u→ · n→| / (|u→| · |n→|)" }, { "id": "b", "text": "sin α = |u→ · n→| / (|u→| · |n→|)" }, { "id": "c", "text": "tan α = u→ · n→" }, { "id": "d", "text": "α = u→ · n→" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "n→ steht senkrecht auf der Ebene. Der Winkel zwischen u→ und n→ ergänzt den gesuchten Winkel zu 90°, deshalb steht hier der Sinus." }, { "id": "bw-ma-raum-skalarprodukt-parameter", "prompt": "Für welches t stehen die Vektoren mit den Einträgen (2 | t | 1) und (3 | −2 | 4) senkrecht aufeinander?", "options": [ { "id": "a", "text": "t = 5" }, { "id": "b", "text": "t = −5" }, { "id": "c", "text": "t = 3" }, { "id": "d", "text": "t = 0" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "2 · 3 + t · (−2) + 1 · 4 = 10 − 2t. Gleich 0 setzen: t = 5." }, { "id": "bw-ma-raum-skalarprodukt-ecke", "prompt": "Das Dreieck OAB soll im Punkt B rechtwinklig sein. Welches Skalarprodukt setzt du gleich 0?", "options": [ { "id": "a", "text": "OA→ · OB→" }, { "id": "b", "text": "BO→ · BA→" }, { "id": "c", "text": "AB→ · AO→" }, { "id": "d", "text": "OA→ · AB→" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Rechtwinklig in B heißt: Die beiden Seiten, die in B zusammenkommen, stehen senkrecht. Beide Vektoren müssen also in B starten." }, { "id": "bw-ma-raum-skalarprodukt-klausur-rechtwinklig", "prompt": "IQB-Aufgabe: Das Skalarprodukt BO→ · BA→ ergibt 35 − 5a. Für welches a ist das Dreieck OAB in B rechtwinklig?", "options": [ { "id": "a", "text": "a = 5" }, { "id": "b", "text": "a = −7" }, { "id": "c", "text": "a = 35" }, { "id": "d", "text": "a = 7" } ], "correctOptionId": "d", "explanation": "Rechtwinklig heißt Skalarprodukt 0: 35 − 5a = 0, also a = 7." }, { "id": "bw-ma-raum-skalarprodukt-operator-ermitteln", "prompt": "Was verlangt „ermitteln“ laut Operatorenliste?", "options": [ { "id": "a", "text": "Nur das Ergebnis." }, { "id": "b", "text": "Der Weg ist frei wählbar, muss aber dargestellt werden." }, { "id": "c", "text": "Die Lösung muss grafisch erfolgen." }, { "id": "d", "text": "Es muss eine bestimmte Formel benutzt werden." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "„Ermitteln“ und „bestimmen“ bedeuten dasselbe: Du wählst den Weg selbst, zum Beispiel rechnerisch, musst ihn aber aufschreiben." } ] }, { "cardId": "bw-ma-raum-geraden", "questions": [ { "id": "bw-ma-raum-geraden-idee", "prompt": "Was legt eine Geradengleichung x→ = OA→ + t · u→ fest?", "options": [ { "id": "a", "text": "Zwei Punkte, zwischen denen die Gerade endet." }, { "id": "b", "text": "Nur die Richtung, der Ort ist beliebig." }, { "id": "c", "text": "Einen Punkt der Geraden (A) und ihre Richtung (u→)." }, { "id": "d", "text": "Einen Punkt und die Länge der Geraden." } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Stützpunkt A und Richtungsvektor u→ legen die Gerade fest. Jeder Wert von t liefert einen Punkt, die Gerade ist unendlich lang." }, { "id": "bw-ma-raum-geraden-lage", "prompt": "Die Richtungsvektoren zweier Geraden sind keine Vielfachen voneinander. Das Gleichsetzen führt auf einen Widerspruch. Wie liegen die Geraden?", "options": [ { "id": "a", "text": "parallel" }, { "id": "b", "text": "identisch" }, { "id": "c", "text": "Sie schneiden sich." }, { "id": "d", "text": "windschief" } ], "correctOptionId": "d", "explanation": "Nicht parallel und kein gemeinsamer Punkt: Das gibt es nur im Raum und heißt windschief." }, { "id": "bw-ma-raum-geraden-punktprobe", "prompt": "Du prüfst, ob P auf g liegt. Aus der ersten Zeile folgt t = 2, aus der zweiten t = 2, aus der dritten t = 3. Was folgt?", "options": [ { "id": "a", "text": "P liegt nicht auf g." }, { "id": "b", "text": "P liegt auf g, zwei von drei Zeilen reichen." }, { "id": "c", "text": "P liegt auf g, und zwar bei t = 2,5." }, { "id": "d", "text": "g und P sind windschief." } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "Ein Punkt liegt nur dann auf der Geraden, wenn ein und dasselbe t alle drei Zeilen erfüllt." }, { "id": "bw-ma-raum-geraden-klausur-stuetze", "prompt": "Kirchturm-Aufgabe: Die Stütze vom Mittelpunkt M zum Balken SF soll möglichst kurz sein. Welche Bedingung nutzt du für den Punkt R?", "options": [ { "id": "a", "text": "MR→ ist parallel zu SF→." }, { "id": "b", "text": "R ist der Mittelpunkt von SF." }, { "id": "c", "text": "MR→ steht senkrecht auf SF→, also MR→ · SF→ = 0." }, { "id": "d", "text": "|MR→| = |SF→|" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Die kürzeste Verbindung von einem Punkt zu einer Geraden trifft die Gerade im rechten Winkel. Deshalb setzt du das Skalarprodukt gleich 0." }, { "id": "bw-ma-raum-geraden-operator-beschreiben", "prompt": "„Beschreiben Sie, wie man die Koordinaten von R ermitteln könnte.“ Was wird erwartet?", "options": [ { "id": "a", "text": "Die Koordinaten von R ausrechnen und angeben." }, { "id": "b", "text": "Den Lösungsweg in Worten mit den richtigen Fachbegriffen darstellen." }, { "id": "c", "text": "Nur das Ergebnis ohne Begründung." }, { "id": "d", "text": "Eine maßstabsgetreue Zeichnung." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Bei „beschreiben“ zählt eine klare Formulierung mit Fachsprache. Rechnen ist hier nicht verlangt, eine Begründung auch nicht." } ] }, { "cardId": "bw-ma-raum-ebenen", "questions": [ { "id": "bw-ma-raum-ebenen-schnitt", "prompt": "Die Normalenvektoren zweier Ebenen sind keine Vielfachen voneinander. Was folgt?", "options": [ { "id": "a", "text": "Die Ebenen sind parallel." }, { "id": "b", "text": "Die Ebenen sind identisch." }, { "id": "c", "text": "Die Ebenen schneiden sich in einer Geraden." }, { "id": "d", "text": "Die Ebenen schneiden sich in einem Punkt." } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Nur bei Vielfachen sind sie parallel oder identisch. Sonst haben zwei Ebenen eine gemeinsame Schnittgerade, nie nur einen einzelnen Punkt." }, { "id": "bw-ma-raum-ebenen-punktprobe", "prompt": "Welcher Punkt liegt in der Ebene 2x + y − z = 5?", "options": [ { "id": "a", "text": "(1 | 1 | 1)" }, { "id": "b", "text": "(2 | 1 | 1)" }, { "id": "c", "text": "(1 | 4 | 1)" }, { "id": "d", "text": "(0 | 5 | 1)" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Einsetzen: 2 · 1 + 4 − 1 = 5. Die Gleichung stimmt. Bei den anderen Punkten kommt 2 oder 4 heraus." }, { "id": "bw-ma-raum-ebenen-normalenvektor", "prompt": "Welcher Normalenvektor gehört zur Ebene 3x − 2y = 0?", "options": [ { "id": "a", "text": "(3 | −2)" }, { "id": "b", "text": "(3 | −2 | 1)" }, { "id": "c", "text": "(0 | 0 | 1)" }, { "id": "d", "text": "(3 | −2 | 0)" } ], "correctOptionId": "d", "explanation": "Im Raum hat der Normalenvektor drei Einträge. z kommt in der Gleichung nicht vor, also steht dort eine 0." }, { "id": "bw-ma-raum-ebenen-klausur-senkrecht", "prompt": "IQB-Aufgabe: Für welches r steht F: 2x + r·y + z = 4 senkrecht zu E: 3x − 2y = 0?", "options": [ { "id": "a", "text": "r = 3" }, { "id": "b", "text": "r = −3" }, { "id": "c", "text": "r = 2" }, { "id": "d", "text": "r = 6" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "Normalenvektoren (3 | −2 | 0) und (2 | r | 1). Skalarprodukt: 6 − 2r = 0, also r = 3." }, { "id": "bw-ma-raum-ebenen-operator-beschreiben", "prompt": "„Beschreiben Sie die besondere Lage von E im Koordinatensystem.“ Was reicht als Antwort?", "options": [ { "id": "a", "text": "Eine ausführliche Begründung mit Rechnung." }, { "id": "b", "text": "Die Gleichung von E noch einmal abschreiben." }, { "id": "c", "text": "Eine Wertetabelle." }, { "id": "d", "text": "Ein klarer Satz mit Fachbegriffen, zum Beispiel: „E enthält die z-Achse.“" } ], "correctOptionId": "d", "explanation": "„Beschreiben“ verlangt eine sprachlich saubere Formulierung mit Fachsprache, aber keine Begründung." } ] }, { "cardId": "bw-ma-raum-abstaende", "questions": [ { "id": "bw-ma-raum-abstaende-formel", "prompt": "E: 2x + y + 2z = 6, P(3 | 1 | 4). Wie groß ist der Abstand von P zu E?", "options": [ { "id": "a", "text": "9" }, { "id": "b", "text": "3" }, { "id": "c", "text": "1" }, { "id": "d", "text": "27" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "|2 · 3 + 1 + 2 · 4 − 6| = 9, geteilt durch die Länge von n = (2; 1; 2), also √9 = 3. Abstand 3." }, { "id": "bw-ma-raum-abstaende-parallel", "prompt": "E₁: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 und E₂: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 15. Wie groß ist ihr Abstand?", "options": [ { "id": "a", "text": "9" }, { "id": "b", "text": "3" }, { "id": "c", "text": "1" }, { "id": "d", "text": "√9 + 3" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Punkt (0 | 6 | 0) von E₁ in die Formel für E₂: |6 − 15| / √(4 + 1 + 4) = 9 / 3 = 3." }, { "id": "bw-ma-raum-abstaende-punkte", "prompt": "Wie groß ist der Abstand von A(1 | 2 | 3) und B(3 | 5 | 9)?", "options": [ { "id": "a", "text": "7" }, { "id": "b", "text": "49" }, { "id": "c", "text": "11" }, { "id": "d", "text": "√11" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "AB = (2; 3; 6), |AB| = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7." }, { "id": "bw-ma-raum-abstaende-klausur-normale", "prompt": "Wie zeigst du, dass (4; 3; 0) senkrecht auf der Ebene steht?", "options": [ { "id": "a", "text": "Den Vektor in die Ebenengleichung einsetzen." }, { "id": "b", "text": "Das Skalarprodukt mit beiden Spannvektoren ist jeweils 0." }, { "id": "c", "text": "Die Länge des Vektors ist 5." }, { "id": "d", "text": "Der Vektor hat eine 0 als dritte Koordinate." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Senkrecht zur Ebene heißt senkrecht zu beiden Spannvektoren. Beide Skalarprodukte sind hier 0." }, { "id": "bw-ma-raum-abstaende-klausur-abstand", "prompt": "Warum reicht in Teil b) ein Punkt mit Abstand 10 von der Ebene?", "options": [ { "id": "a", "text": "Weil |n| = 10 ist." }, { "id": "b", "text": "Weil P und sein Spiegelpunkt beide den Abstand 10 von E haben, zusammen also 20." }, { "id": "c", "text": "Weil die Ebene durch den Ursprung geht." }, { "id": "d", "text": "Weil 20 durch 4 teilbar ist." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Beim Spiegeln liegt die Ebene genau in der Mitte zwischen P und seinem Bildpunkt." } ] }, { "cardId": "bw-ma-zufall-baum-bedingt", "questions": [ { "id": "bw-ma-zufall-baum-bedingt-unabhaengig", "prompt": "P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 und P(A ∩ B) = 0,2. Was gilt?", "options": [ { "id": "a", "text": "A und B sind unvereinbar." }, { "id": "b", "text": "A und B sind stochastisch unabhängig." }, { "id": "c", "text": "A und B sind abhängig, weil P(A ∩ B) kleiner als P(A) ist." }, { "id": "d", "text": "Man kann es ohne Baumdiagramm nicht entscheiden." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "P(A) · P(B) = 0,5 · 0,4 = 0,2 = P(A ∩ B). Genau das ist die Bedingung für stochastische Unabhängigkeit. Unvereinbar hieße P(A ∩ B) = 0." }, { "id": "bw-ma-zufall-baum-bedingt-rechnung", "prompt": "40 % kommen mit dem Bus, davon 25 % zu spät. Von den anderen kommen 10 % zu spät. Wie groß ist P(zu spät)?", "options": [ { "id": "a", "text": "0,35" }, { "id": "b", "text": "0,16" }, { "id": "c", "text": "0,10" }, { "id": "d", "text": "0,25" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Zwei Pfade führen zu „zu spät“: 0,4 · 0,25 + 0,6 · 0,1 = 0,10 + 0,06 = 0,16." }, { "id": "bw-ma-zufall-baum-bedingt-umkehrung", "prompt": "Bus-Beispiel: B heißt „mit dem Bus gekommen“, S heißt „zu spät“. Was ist der Unterschied zwischen P(S | B) und P(B | S)?", "options": [ { "id": "a", "text": "Es gibt keinen, beide sind gleich groß." }, { "id": "b", "text": "P(B | S) ist immer halb so groß wie P(S | B)." }, { "id": "c", "text": "P(S | B) ist die Wahrscheinlichkeit für B und S zugleich." }, { "id": "d", "text": "P(S | B) ist der Anteil der Zuspätkommer unter den Busfahrern, P(B | S) der Anteil der Busfahrer unter den Zuspätkommern." } ], "correctOptionId": "d", "explanation": "Die Bedingung steht hinter dem Strich. Im Beispiel ist P(S | B) = 25 %, aber P(B | S) = 62,5 %. Wer sie verwechselt, rechnet an der Frage vorbei." }, { "id": "bw-ma-zufall-baum-bedingt-klausur-term", "prompt": "Heuschnupfen-Aufgabe: Was gibt der Term (0,15 · 0,9) / (0,15 · 0,9 + 0,85 · 0,02) an?", "options": [ { "id": "a", "text": "Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test bei einer Person mit Heuschnupfen positiv ist." }, { "id": "b", "text": "Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit positivem Test wirklich Heuschnupfen hat." }, { "id": "c", "text": "Die Wahrscheinlichkeit für einen positiven Test." }, { "id": "d", "text": "Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person Heuschnupfen hat." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Oben steht „Heuschnupfen und positiv“, unten „positiv“ insgesamt. Der Bruch ist also die Wahrscheinlichkeit für Heuschnupfen unter der Bedingung, dass der Test positiv ist." }, { "id": "bw-ma-zufall-baum-bedingt-operator-deuten", "prompt": "Was verlangt „Deuten Sie den Term im Sachzusammenhang“?", "options": [ { "id": "a", "text": "Den Term ausrechnen und das Ergebnis nennen." }, { "id": "b", "text": "Den Term vereinfachen." }, { "id": "c", "text": "In Worten sagen, welche Wahrscheinlichkeit der Term in der Situation angibt." }, { "id": "d", "text": "Ein Baumdiagramm zeichnen und nichts dazuschreiben." } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Deuten heißt: einen Zusammenhang zwischen Term und Situation herstellen. Du sagst, was die Zahl hier bedeutet, nicht wie groß sie ist." } ] }, { "cardId": "bw-ma-zufall-zufallsgroesse", "questions": [ { "id": "bw-ma-zufall-zufallsgroesse-ausgleich", "prompt": "Spieler A zahlt mit Wahrscheinlichkeit 3/16 den Betrag x, Spieler B mit Wahrscheinlichkeit 9/16 den Betrag y. Wann gleicht sich das auf lange Sicht aus?", "options": [ { "id": "a", "text": "x = y" }, { "id": "b", "text": "x = 3y" }, { "id": "c", "text": "y = 3x" }, { "id": "d", "text": "x + y = 1" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Ausgleich heißt: (3/16) · x = (9/16) · y, also x = 3y." }, { "id": "bw-ma-zufall-zufallsgroesse-rechnung", "prompt": "X nimmt die Werte 1, 2 und 3 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,2; 0,5 und 0,3 an. Wie groß ist E(X)?", "options": [ { "id": "a", "text": "2" }, { "id": "b", "text": "2,1" }, { "id": "c", "text": "1,9" }, { "id": "d", "text": "6" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "E(X) = 1 · 0,2 + 2 · 0,5 + 3 · 0,3 = 0,2 + 1 + 0,9 = 2,1." }, { "id": "bw-ma-zufall-zufallsgroesse-fair", "prompt": "Ein Dreh kostet 2 €, der Erwartungswert der Auszahlung ist 1,30 €. Was folgt?", "options": [ { "id": "a", "text": "Das Spiel ist fair." }, { "id": "b", "text": "Im Mittel verliert man 0,70 € pro Spiel." }, { "id": "c", "text": "Im Mittel gewinnt man 0,70 € pro Spiel." }, { "id": "d", "text": "Man verliert immer 0,70 €." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Fair wäre ein Einsatz von 1,30 €. Bei 2 € Einsatz bleiben im Mittel 1,30 − 2 = −0,70 € pro Spiel." }, { "id": "bw-ma-zufall-zufallsgroesse-klausur-x4", "prompt": "X hat die Werte 1, 3, 4, x₄ mit 1/2, 5/18, 1/6, 1/18 und E(X) = 3. Wie groß ist x₄?", "options": [ { "id": "a", "text": "6" }, { "id": "b", "text": "18" }, { "id": "c", "text": "9" }, { "id": "d", "text": "3" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Die ersten drei Summanden ergeben 2. Aus 2 + x₄/18 = 3 folgt x₄ = 18." }, { "id": "bw-ma-zufall-zufallsgroesse-klausur-abschaetzung", "prompt": "Warum reicht in Teil b) der Summand für y = 2, um σ(Y) > 1 zu zeigen?", "options": [ { "id": "a", "text": "Weil die anderen Summanden null sind." }, { "id": "b", "text": "Weil alle Summanden der Varianz nicht negativ sind, die Varianz also mindestens 9/4 ist." }, { "id": "c", "text": "Weil die Standardabweichung immer größer als 1 ist." }, { "id": "d", "text": "Weil E(Y) = 5 ist." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Weitere Summanden können die Varianz nur vergrößern. Schon 9/4 ergibt σ ≥ 1,5." } ] }, { "cardId": "bw-ma-zufall-binomial", "questions": [ { "id": "bw-ma-zufall-binomial-sigma", "prompt": "Eine faire Münze wird 100-mal geworfen (μ = 50, σ = 5). In welchem Bereich liegt die Zahl „Kopf“ mit etwa 95 % Wahrscheinlichkeit?", "options": [ { "id": "a", "text": "45 bis 55" }, { "id": "b", "text": "41 bis 59" }, { "id": "c", "text": "30 bis 70" }, { "id": "d", "text": "48 bis 52" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "1,96 · σ = 9,8, also 50 ± 9,8: die ganzen Zahlen von 41 bis 59. Der Bereich 45 bis 55 ist nur μ ± σ, das sind etwa 68 %." }, { "id": "bw-ma-zufall-binomial-mindestens-einer", "prompt": "Wie berechnest du P(X ≥ 1) bei n = 10 und p = 0,25?", "options": [ { "id": "a", "text": "0,25¹⁰" }, { "id": "b", "text": "1 − 0,25¹⁰" }, { "id": "c", "text": "1 − 0,75¹⁰" }, { "id": "d", "text": "10 · 0,25" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "„Mindestens einer“ ist das Gegenereignis von „keiner“. P(X = 0) = 0,75¹⁰, also P(X ≥ 1) = 1 − 0,75¹⁰." }, { "id": "bw-ma-zufall-binomial-gegenereignis", "prompt": "Wie schreibst du „mindestens 3 Treffer“ mit dem Gegenereignis?", "options": [ { "id": "a", "text": "1 − P(X ≤ 3)" }, { "id": "b", "text": "1 − P(X ≤ 2)" }, { "id": "c", "text": "P(X ≤ 3)" }, { "id": "d", "text": "1 − P(X = 3)" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Das Gegenteil von „mindestens 3“ ist „höchstens 2“. Mit 1 − P(X ≤ 3) würdest du die 3 fälschlich herausnehmen." }, { "id": "bw-ma-zufall-binomial-klausur-histogramm", "prompt": "IQB-Aufgabe: X ist binomialverteilt mit n = 36 und p = 25/36. Wo müssen die höchsten Säulen des Histogramms liegen?", "options": [ { "id": "a", "text": "bei 18" }, { "id": "b", "text": "bei 36" }, { "id": "c", "text": "bei 25/36" }, { "id": "d", "text": "bei 25" } ], "correctOptionId": "d", "explanation": "Der Erwartungswert ist n · p = 36 · 25/36 = 25. In seiner Nähe liegen die höchsten Säulen." }, { "id": "bw-ma-zufall-binomial-operator-begruenden", "prompt": "„Begründen Sie für jede Abbildung, dass sie nicht die Verteilung von X zeigt.“ Was reicht?", "options": [ { "id": "a", "text": "Für jede Abbildung ein konkreter Grund, zum Beispiel: „Die höchste Säule liegt bei 20 statt bei 25.“" }, { "id": "b", "text": "Der Satz: „Die Abbildungen sehen falsch aus.“" }, { "id": "c", "text": "Die richtige Verteilung vollständig ausrechnen." }, { "id": "d", "text": "Eine Abbildung begründen, die anderen folgen daraus." } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "Begründen heißt: durch logisches Schließen bestätigen. Pro Abbildung genügt ein treffender Grund, aber er muss konkret sein." } ] }, { "cardId": "bw-ma-zufall-normalverteilung", "questions": [ { "id": "bw-ma-zufall-normalverteilung-flaeche", "prompt": "X ist normalverteilt mit μ = 500 und σ = 4. Was ist P(X = 500)?", "options": [ { "id": "a", "text": "Etwa 0,0997, die Höhe der Glocke." }, { "id": "b", "text": "0" }, { "id": "c", "text": "0,5" }, { "id": "d", "text": "Etwa 0,683" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Bei einer stetigen Zufallsgröße hat ein einzelner Wert die Wahrscheinlichkeit 0. Wahrscheinlichkeiten sind Flächen, die Höhe der Glocke ist keine." }, { "id": "bw-ma-zufall-normalverteilung-sigma", "prompt": "Wie groß ist P(μ − 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) bei einer Normalverteilung ungefähr?", "options": [ { "id": "a", "text": "0,683" }, { "id": "b", "text": "0,954" }, { "id": "c", "text": "0,997" }, { "id": "d", "text": "0,5" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Das ist die 2σ-Regel: etwa 95,4 % liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen um μ." }, { "id": "bw-ma-zufall-normalverteilung-dichte", "prompt": "Die Dichtefunktion ist φ(x) = 1/(2 · √(2π)) · e^(−(x − 7)²/8). Welche Werte haben μ und σ?", "options": [ { "id": "a", "text": "μ = 7, σ = 2" }, { "id": "b", "text": "μ = 7, σ = 8" }, { "id": "c", "text": "μ = −7, σ = 4" }, { "id": "d", "text": "μ = 2, σ = 7" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "Im Exponenten steht (x − μ)², also μ = 7. Der Nenner 8 ist 2σ², also σ² = 4 und σ = 2. Das passt zum Faktor 1/(σ · √(2π))." }, { "id": "bw-ma-zufall-normalverteilung-klausur-symmetrie", "prompt": "In der IQB-Aufgabe liegen etwa 68 % der Werte von A in [6; 10]. Wie groß ist P(A > 10)?", "options": [ { "id": "a", "text": "32 %" }, { "id": "b", "text": "16 %" }, { "id": "c", "text": "68 %" }, { "id": "d", "text": "34 %" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Außerhalb liegen 32 %, wegen der Symmetrie zu x = 8 die Hälfte rechts: 16 %." }, { "id": "bw-ma-zufall-normalverteilung-klausur-sigma", "prompt": "Was gilt für den Graphen der Dichtefunktion von B (gleicher Erwartungswert, größere Standardabweichung als A)?", "options": [ { "id": "a", "text": "Er ist schmaler und höher." }, { "id": "b", "text": "Er ist nach rechts verschoben." }, { "id": "c", "text": "Er ist breiter und flacher, symmetrisch zu x = 8." }, { "id": "d", "text": "Er hat eine größere Fläche als 1." } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Größeres σ macht die Glocke breiter. Weil die Fläche 1 bleibt, wird sie flacher. Der Erwartungswert und damit die Symmetrieachse bleiben gleich." } ] }, { "cardId": "bw-ma-zufall-hypothesentest", "questions": [ { "id": "bw-ma-zufall-hypothesentest-seite", "prompt": "H₀: p ≤ 0,1 (höchstens 10 % Ausschuss). Wo liegt der Ablehnungsbereich?", "options": [ { "id": "a", "text": "Links, bei wenigen defekten Teilen." }, { "id": "b", "text": "Rechts, bei vielen defekten Teilen." }, { "id": "c", "text": "Auf beiden Seiten." }, { "id": "d", "text": "Genau bei n · p." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Gegen H₀ sprechen viele defekte Teile. Deshalb liegt der Ablehnungsbereich rechts: {k; …; n}." }, { "id": "bw-ma-zufall-hypothesentest-k", "prompt": "X ~ B(50; 0,1), α = 5 %. Es gilt P(X ≥ 9) ≈ 0,058 und P(X ≥ 10) ≈ 0,025. Welcher Ablehnungsbereich gilt?", "options": [ { "id": "a", "text": "{9; …; 50}" }, { "id": "b", "text": "{10; …; 50}" }, { "id": "c", "text": "{5; …; 50}" }, { "id": "d", "text": "{0; …; 9}" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Gesucht ist das kleinste k mit P(X ≥ k) ≤ 0,05. Für k = 9 ist die Wahrscheinlichkeit noch zu groß, für k = 10 nicht mehr." }, { "id": "bw-ma-zufall-hypothesentest-fehler", "prompt": "Was ist ein Fehler 1. Art?", "options": [ { "id": "a", "text": "H₀ wird beibehalten, obwohl sie falsch ist." }, { "id": "b", "text": "H₀ wird verworfen, obwohl sie stimmt." }, { "id": "c", "text": "Die Stichprobe ist zu klein." }, { "id": "d", "text": "Der Ablehnungsbereich liegt auf der falschen Seite." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Fehler 1. Art: H₀ wird zu Unrecht verworfen. Seine Wahrscheinlichkeit ist höchstens α. Den Fehler 2. Art macht man, wenn man H₀ beibehält, obwohl sie falsch ist." }, { "id": "bw-ma-zufall-hypothesentest-klausur-regel", "prompt": "IQB-Aufgabe: X ~ B(200; 0,1), P(X ≥ 27) ≈ 6,7 %, P(X ≥ 28) ≈ 4,3 %, α = 5 %. Ab wie vielen Nichterscheinenden wird H₀ abgelehnt?", "options": [ { "id": "a", "text": "ab 20" }, { "id": "b", "text": "ab 27" }, { "id": "c", "text": "ab 28" }, { "id": "d", "text": "ab 64" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Gesucht ist das kleinste k mit P(X ≥ k) ≤ 5 %. Für 27 sind es noch 6,7 %, für 28 nur 4,3 %." }, { "id": "bw-ma-zufall-hypothesentest-klausur-fehler2", "prompt": "Was ist in der Aufgabe der Fehler zweiter Art?", "options": [ { "id": "a", "text": "Das Unternehmen erhöht die Reservierungen, obwohl höchstens 10 % nicht erscheinen." }, { "id": "b", "text": "Das Unternehmen bleibt bei 64 Reservierungen, obwohl in Wirklichkeit mehr als 10 % nicht erscheinen." }, { "id": "c", "text": "Die Stichprobe ist zu klein." }, { "id": "d", "text": "Es erscheinen mehr als 60 Personen." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Fehler zweiter Art: H₀ wird beibehalten, obwohl sie falsch ist. Hier bleibt das Unternehmen bei der bisherigen Zahl, obwohl der Anteil der Nichterscheinenden gestiegen ist." } ] } ] }