{ "schemaVersion": 1, "productId": "saarland_mathematik", "generatedFrom": "templates/mathematik (kern + laender/saarland)", "cardQuizzes": [ { "cardId": "sl-ma-start-pruefungstag", "questions": [ { "id": "sl-ma-start-pruefungstag-zeit", "prompt": "Wie lange dauert die schriftliche Matheprüfung im Grundkurs und im Leistungskurs?", "options": [ { "id": "a", "text": "Grundkurs 255 Minuten, Leistungskurs 300 Minuten, jeweils mit Auswahlzeit." }, { "id": "b", "text": "Grundkurs 240 Minuten, Leistungskurs 300 Minuten, dazu eine eigene Auswahlzeit." }, { "id": "c", "text": "In beiden Kursen 270 Minuten." }, { "id": "d", "text": "Grundkurs 255 Minuten, Leistungskurs 330 Minuten." } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "Laut den Prüfungsanforderungen Mathematik dauert die Prüfung einschließlich der Auswahlzeit im Leistungskurs 300 Minuten und im Grundkurs 255 Minuten." }, { "id": "sl-ma-start-pruefungstag-teil-a", "prompt": "Was gilt für Teil A?", "options": [ { "id": "a", "text": "Hilfsmittel sind nicht vorgesehen, und es gibt Aufgaben aus allen drei Sachgebieten." }, { "id": "b", "text": "Der Taschenrechner ist erlaubt, die Formelsammlung nicht." }, { "id": "c", "text": "Teil A enthält nur Aufgaben zur Analysis." }, { "id": "d", "text": "Teil A ist eine einzige große Aufgabe." } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "Im Teil A ist eine Verwendung von Hilfsmitteln nicht vorgesehen. Er besteht aus mehreren Aufgaben, die nicht zusammenhängen müssen. Wie Teil B enthält er Aufgaben zu Analysis, Analytischer Geometrie und Wahrscheinlichkeitsrechnung." }, { "id": "sl-ma-start-pruefungstag-teil-b", "prompt": "Wie ist Teil B aufgebaut?", "options": [ { "id": "a", "text": "Viele kurze Aufgaben ohne Hilfsmittel." }, { "id": "b", "text": "Drei größere Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben. Hilfsmittel dürfen verwendet werden." }, { "id": "c", "text": "Nur Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung." }, { "id": "d", "text": "Eine mündliche Prüfung." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Für Teil B sind drei umfangreichere Aufgaben vorgesehen, meist mit mehreren Teilaufgaben zu einem gemeinsamen Thema. In Teil B dürfen Hilfsmittel verwendet werden." }, { "id": "sl-ma-start-pruefungstag-be", "prompt": "Wie viele Bewertungseinheiten gibt es im Grundkurs insgesamt, und wie viele davon in Teil A?", "options": [ { "id": "a", "text": "100, davon 30 in Teil A." }, { "id": "b", "text": "80, davon 40 in Teil A." }, { "id": "c", "text": "80, davon 25 in Teil A." }, { "id": "d", "text": "100, davon 25 in Teil A." } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Grundkurs: 80 Bewertungseinheiten, davon 25 in Teil A und in Teil B 25 für Analysis, 15 für Analytische Geometrie und 15 für Wahrscheinlichkeitsrechnung. Leistungskurs: 100, davon 30 in Teil A und in Teil B 30, 20 und 20." }, { "id": "sl-ma-start-pruefungstag-hilfsmittel", "prompt": "Woher erfährst du, welcher Taschenrechner und welche Formelsammlung in Teil B erlaubt sind?", "options": [ { "id": "a", "text": "Aus dem Lehrplan Mathematik." }, { "id": "b", "text": "Von deiner Mathelehrkraft. Öffentlich steht das nicht." }, { "id": "c", "text": "Gar nicht, du bringst mit, was du möchtest." }, { "id": "d", "text": "Aus einer öffentlichen Liste im Internet." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Die Prüfungsanforderungen sagen nur, dass die Schulen Genaueres zu den zugelassenen Hilfsmitteln per Rundschreiben bekommen. Öffentlich ist das nicht. Deine Mathelehrkraft sagt dir, was für deinen Kurs gilt." } ] }, { "cardId": "sl-ma-ohne-brueche", "questions": [ { "id": "sl-ma-ohne-brueche-addieren", "prompt": "Wie viel ist 1/3 + 1/4?", "options": [ { "id": "a", "text": "2/7" }, { "id": "b", "text": "1/7" }, { "id": "c", "text": "7/12" }, { "id": "d", "text": "1/12" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Erst auf den gemeinsamen Nenner 12 bringen: 4/12 + 3/12 = 7/12. Nenner werden nie addiert." }, { "id": "sl-ma-ohne-brueche-teilen", "prompt": "Wie viel ist (3/4) : (1/2)?", "options": [ { "id": "a", "text": "3/8" }, { "id": "b", "text": "3/2" }, { "id": "c", "text": "2/3" }, { "id": "d", "text": "1/4" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Teilen heißt mit dem Kehrwert malnehmen: 3/4 · 2 = 6/4 = 3/2." }, { "id": "sl-ma-ohne-brueche-potenz", "prompt": "Wie lässt sich x³ · x⁻⁵ schreiben?", "options": [ { "id": "a", "text": "x⁻¹⁵" }, { "id": "b", "text": "x⁸" }, { "id": "c", "text": "1/x²" }, { "id": "d", "text": "−x²" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Bei gleicher Basis werden die Hochzahlen addiert: 3 + (−5) = −2, und x⁻² = 1/x²." }, { "id": "sl-ma-ohne-brueche-negativ", "prompt": "Wie viel ist 2⁻³?", "options": [ { "id": "a", "text": "−8" }, { "id": "b", "text": "−6" }, { "id": "c", "text": "1/8" }, { "id": "d", "text": "1/6" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Eine negative Hochzahl bedeutet Kehrwert: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8." }, { "id": "sl-ma-ohne-brueche-ln", "prompt": "Wie viel ist e^(2 ln 3)?", "options": [ { "id": "a", "text": "6" }, { "id": "b", "text": "9" }, { "id": "c", "text": "2 ln 3" }, { "id": "d", "text": "ln 9" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "2 ln 3 = ln 9, und e hoch ln 9 ist 9, weil e und ln sich aufheben." } ] }, { "cardId": "sl-ma-ohne-terme", "questions": [ { "id": "sl-ma-ohne-terme-binom1", "prompt": "Was ergibt (x + 3)²?", "options": [ { "id": "a", "text": "x² + 9" }, { "id": "b", "text": "x² + 3x + 9" }, { "id": "c", "text": "x² + 6x + 9" }, { "id": "d", "text": "x² + 6x + 6" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Erste binomische Formel: a² + 2ab + b² = x² + 6x + 9. Das Mittelglied 6x wird oft vergessen." }, { "id": "sl-ma-ohne-terme-minus", "prompt": "Was ergibt 5 − (2x − 3)?", "options": [ { "id": "a", "text": "2 − 2x" }, { "id": "b", "text": "8 − 2x" }, { "id": "c", "text": "8 + 2x" }, { "id": "d", "text": "2 + 2x" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Ein Minus vor der Klammer dreht alle Vorzeichen in der Klammer um: 5 − 2x + 3 = 8 − 2x." }, { "id": "sl-ma-ohne-terme-binom3", "prompt": "Wie lässt sich x² − 16 als Produkt schreiben?", "options": [ { "id": "a", "text": "(x − 4)²" }, { "id": "b", "text": "(x + 4)²" }, { "id": "c", "text": "(x + 4)(x − 4)" }, { "id": "d", "text": "x · (x − 16)" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Dritte binomische Formel rückwärts: a² − b² = (a + b)(a − b) mit a = x und b = 4." }, { "id": "sl-ma-ohne-terme-ausklammern", "prompt": "Welche Umformung von x · eˣ + 2eˣ ist richtig?", "options": [ { "id": "a", "text": "eˣ · (x + 2)" }, { "id": "b", "text": "eˣ · 2x" }, { "id": "c", "text": "x · (eˣ + 2)" }, { "id": "d", "text": "3x · eˣ" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "In beiden Summanden steckt eˣ. Ausgeklammert bleibt x + 2 in der Klammer." }, { "id": "sl-ma-ohne-terme-quadrat", "prompt": "Wie viel ist −3²?", "options": [ { "id": "a", "text": "9" }, { "id": "b", "text": "−9" }, { "id": "c", "text": "6" }, { "id": "d", "text": "−6" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Das Quadrat bindet stärker als das Minus: −3² = −(3²) = −9. Nur (−3)² ist 9." } ] }, { "cardId": "sl-ma-ohne-gleichungen", "questions": [ { "id": "sl-ma-ohne-gleichungen-nullprodukt", "prompt": "Welche Lösungen hat x² = 5x?", "options": [ { "id": "a", "text": "nur x = 5" }, { "id": "b", "text": "x = 0 und x = 5" }, { "id": "c", "text": "x = −5 und x = 5" }, { "id": "d", "text": "keine" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "x² − 5x = 0, also x · (x − 5) = 0. Wer durch x teilt, verliert die Lösung x = 0." }, { "id": "sl-ma-ohne-gleichungen-efaktor", "prompt": "Welche Lösung hat (x − 3) · eˣ = 0?", "options": [ { "id": "a", "text": "x = 3" }, { "id": "b", "text": "x = 0 und x = 3" }, { "id": "c", "text": "x = ln 3" }, { "id": "d", "text": "keine" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "eˣ ist nie null, also muss x − 3 = 0 sein." }, { "id": "sl-ma-ohne-gleichungen-pq", "prompt": "Welche Lösungen hat x² − 2x − 3 = 0?", "options": [ { "id": "a", "text": "x = 1 und x = 3" }, { "id": "b", "text": "x = −1 und x = 3" }, { "id": "c", "text": "x = 1 und x = −3" }, { "id": "d", "text": "x = −1 und x = −3" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "pq-Formel: x = 1 ± √(1 + 3) = 1 ± 2. Probe mit 3: 9 − 6 − 3 = 0." }, { "id": "sl-ma-ohne-gleichungen-substitution", "prompt": "Wie viele Lösungen hat x⁴ − 5x² + 4 = 0?", "options": [ { "id": "a", "text": "zwei" }, { "id": "b", "text": "drei" }, { "id": "c", "text": "vier" }, { "id": "d", "text": "keine" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Mit z = x² wird daraus z² − 5z + 4 = 0, also z = 1 oder z = 4. Zurück: x = ±1 und x = ±2." }, { "id": "sl-ma-ohne-gleichungen-eln", "prompt": "Welche Lösung hat 3 · e^(2x) = 12?", "options": [ { "id": "a", "text": "x = ln 2" }, { "id": "b", "text": "x = ln 4" }, { "id": "c", "text": "x = 2" }, { "id": "d", "text": "x = ln 12 − 3" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "Durch 3 teilen: e^(2x) = 4. ln anwenden: 2x = ln 4, also x = (ln 4)/2 = ln 2." } ] }, { "cardId": "sl-ma-ohne-fehler", "questions": [ { "id": "sl-ma-ohne-fehler-klammer", "prompt": "Was ergibt 4 − (x² − 2x)?", "options": [ { "id": "a", "text": "4 − x² − 2x" }, { "id": "b", "text": "4 − x² + 2x" }, { "id": "c", "text": "4 + x² − 2x" }, { "id": "d", "text": "4 − x² − 2" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Das Minus vor der Klammer trifft jeden Summanden: −x² und +2x." }, { "id": "sl-ma-ohne-fehler-wurzel", "prompt": "Welche Lösungen hat x² = 9?", "options": [ { "id": "a", "text": "nur 3" }, { "id": "b", "text": "3 und −3" }, { "id": "c", "text": "81" }, { "id": "d", "text": "keine" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Auch (−3)² = 9. Wer nur die positive Wurzel nimmt, verliert eine Lösung." }, { "id": "sl-ma-ohne-fehler-frage", "prompt": "Gefragt ist der Tiefpunkt. Du hast x = 2 berechnet. Was fehlt noch?", "options": [ { "id": "a", "text": "nichts" }, { "id": "b", "text": "die y-Koordinate f(2)" }, { "id": "c", "text": "die Ableitung f′(2)" }, { "id": "d", "text": "eine Skizze" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Ein Punkt hat zwei Koordinaten. Erst mit f(2) ist der Tiefpunkt vollständig angegeben." }, { "id": "sl-ma-ohne-fehler-probe", "prompt": "Wo setzt du die Lösung bei der Probe ein?", "options": [ { "id": "a", "text": "in die letzte umgeformte Zeile" }, { "id": "b", "text": "in die Gleichung aus der Aufgabe" }, { "id": "c", "text": "in die Ableitung" }, { "id": "d", "text": "nirgends, Durchlesen reicht" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Nur die Ausgangsgleichung zeigt auch Fehler aus der Mitte der Rechnung." }, { "id": "sl-ma-ohne-fehler-innen", "prompt": "Was ist die Ableitung von e^(3x)?", "options": [ { "id": "a", "text": "e^(3x)" }, { "id": "b", "text": "3x · e^(3x)" }, { "id": "c", "text": "3 · e^(3x)" }, { "id": "d", "text": "e^3" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Die innere Ableitung von 3x ist 3 und kommt als Faktor dazu." } ] }, { "cardId": "sl-ma-an-ableiten-ohne-rechner", "questions": [ { "id": "sl-ma-an-ableiten-ohne-rechner-idee", "prompt": "f′(3) = −2. Was bedeutet das?", "options": [ { "id": "a", "text": "Der Graph schneidet bei x = 3 die x-Achse." }, { "id": "b", "text": "An der Stelle x = 3 fällt der Graph, die Tangente dort hat die Steigung −2." }, { "id": "c", "text": "Der Funktionswert an der Stelle 3 ist −2." }, { "id": "d", "text": "Der Graph hat bei x = 3 einen Tiefpunkt." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Die Ableitung gibt die Steigung an, nicht den Funktionswert. Negativ heißt: Der Graph fällt dort." }, { "id": "sl-ma-an-ableiten-ohne-rechner-produktregel", "prompt": "Welche Ableitung hat f(x) = x² · eˣ?", "options": [ { "id": "a", "text": "f′(x) = 2x · eˣ" }, { "id": "b", "text": "f′(x) = x² · eˣ" }, { "id": "c", "text": "f′(x) = eˣ · (x² + 2x)" }, { "id": "d", "text": "f′(x) = 2x · eˣ + eˣ" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Produktregel: u′ · v + u · v′ = 2x · eˣ + x² · eˣ. Ausgeklammert: eˣ · (x² + 2x)." }, { "id": "sl-ma-an-ableiten-ohne-rechner-kettenregel", "prompt": "Welche Ableitung von f(x) = e³ˣ ist richtig?", "options": [ { "id": "a", "text": "f′(x) = e³ˣ" }, { "id": "b", "text": "f′(x) = x · e³ˣ" }, { "id": "c", "text": "f′(x) = e³ˣ / 3" }, { "id": "d", "text": "f′(x) = 3 · e³ˣ" } ], "correctOptionId": "d", "explanation": "Kettenregel: Die Ableitung des Exponenten 3x ist 3. Sie kommt als Faktor davor. Wer nur e³ˣ schreibt, hat die Kettenregel vergessen." }, { "id": "sl-ma-an-ableiten-ohne-rechner-klausur-tangente", "prompt": "In der IQB-Aufgabe ist f(6) = 0 und f′(6) = 8/3. Welche Gleichung hat die Tangente im Punkt P(6 | 0)?", "options": [ { "id": "a", "text": "y = 8/3 · x" }, { "id": "b", "text": "y = 8/3 · x + 16" }, { "id": "c", "text": "y = 8/3 · x − 16" }, { "id": "d", "text": "y = 6x − 16" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Ansatz y = 8/3 · x + c. P einsetzen: 0 = 8/3 · 6 + c = 16 + c, also c = −16." }, { "id": "sl-ma-an-ableiten-ohne-rechner-operator-berechnen", "prompt": "Was verlangt der Operator „berechnen“ laut Operatorenliste?", "options": [ { "id": "a", "text": "Nur das Ergebnis, ohne Rechenweg." }, { "id": "b", "text": "Eine Skizze des Graphen." }, { "id": "c", "text": "Eine Begründung in Worten, ohne Rechnung." }, { "id": "d", "text": "Eine Rechnung, die von einem Ansatz ausgeht und dargestellt wird." } ], "correctOptionId": "d", "explanation": "In der Operatorenliste der Prüfungsanforderungen heißt berechnen: „ein Ergebnis ausgehend von einem Ansatz durch Rechnung gewinnen und den Rechenweg unter Angabe von Zwischenschritten darstellen“. Das Ergebnis allein reicht nicht." } ] }, { "cardId": "sl-ma-an-efunktion", "questions": [ { "id": "sl-ma-an-efunktion-umkehr", "prompt": "Welche Umkehrfunktion hat f(x) = 2x + 3?", "options": [ { "id": "a", "text": "(x − 3)/2" }, { "id": "b", "text": "2x − 3" }, { "id": "c", "text": "1/(2x + 3)" }, { "id": "d", "text": "(x + 3)/2" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "y = 2x + 3 nach x auflösen: x = (y − 3)/2. Dann x und y tauschen: (x − 3)/2. Probe: f((x − 3)/2) = x − 3 + 3 = x." }, { "id": "sl-ma-an-efunktion-ableiten", "prompt": "Welche Ableitung hat f(x) = 3 · e²ˣ?", "options": [ { "id": "a", "text": "3 · e²ˣ" }, { "id": "b", "text": "6 · e²ˣ" }, { "id": "c", "text": "6x · e²ˣ" }, { "id": "d", "text": "2 · e²ˣ" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Der Faktor 2 aus dem Exponenten kommt nach vorn: 3 · 2 · e²ˣ = 6 · e²ˣ." }, { "id": "sl-ma-an-efunktion-ln", "prompt": "Welche Lösung hat eˣ = 7?", "options": [ { "id": "a", "text": "x = 7/e" }, { "id": "b", "text": "x = ln(7)" }, { "id": "c", "text": "x = e⁷" }, { "id": "d", "text": "x = 7" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Der ln ist die Umkehrung der e-Funktion: Aus eˣ = 7 folgt x = ln(7), etwa 1,95." }, { "id": "sl-ma-an-efunktion-klausur-teilen", "prompt": "Aus e^(x²) = 2x · e^(x²) folgt x = 1/2. Warum darfst du durch e^(x²) teilen?", "options": [ { "id": "a", "text": "Weil e^(x²) immer 1 ist." }, { "id": "b", "text": "Weil e^(x²) nie null ist." }, { "id": "c", "text": "Weil x = 0 ist." }, { "id": "d", "text": "Man darf nicht teilen, man muss den Logarithmus nehmen." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Die e-Funktion ist immer positiv. Durch eine Zahl ungleich null darfst du teilen." }, { "id": "sl-ma-an-efunktion-klausur-wertemenge", "prompt": "Welche Wertemenge hat f(x) = e^(x²)?", "options": [ { "id": "a", "text": "ℝ" }, { "id": "b", "text": "]0; +∞[" }, { "id": "c", "text": "[1; +∞[" }, { "id": "d", "text": "[0; 1]" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "x² ist mindestens 0, also ist e^(x²) mindestens e⁰ = 1. Nach oben ist f unbeschränkt." } ] }, { "cardId": "sl-ma-an-sinus", "questions": [ { "id": "sl-ma-an-sinus-periode", "prompt": "Welche Periode hat f(x) = sin(2x)?", "options": [ { "id": "a", "text": "2" }, { "id": "b", "text": "π" }, { "id": "c", "text": "2π" }, { "id": "d", "text": "4π" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Periode p = 2π / b = 2π / 2 = π." }, { "id": "sl-ma-an-sinus-ableiten", "prompt": "Welche Ableitung hat f(x) = sin(3x)?", "options": [ { "id": "a", "text": "cos(3x)" }, { "id": "b", "text": "3 · cos(3x)" }, { "id": "c", "text": "−3 · cos(3x)" }, { "id": "d", "text": "3 · sin(3x)" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Ableitung von sin ist cos, der Faktor 3 aus dem Argument kommt nach vorn." }, { "id": "sl-ma-an-sinus-gleichung", "prompt": "Welche Lösungen hat sin(x) = 1/2 für 0 ≤ x ≤ 2π?", "options": [ { "id": "a", "text": "nur π/6" }, { "id": "b", "text": "π/6 und 5π/6" }, { "id": "c", "text": "π/6 und 7π/6" }, { "id": "d", "text": "π/3 und 2π/3" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "sin(π/6) = 1/2. Die zweite Lösung in einer Periode ist π − π/6 = 5π/6, weil sin(π − x) = sin x gilt." }, { "id": "sl-ma-an-sinus-klausur-tangente", "prompt": "f(x) = 3 − 2 sin x: Wie lautet die Tangente im Punkt (0 | f(0))?", "options": [ { "id": "a", "text": "y = −2x + 3" }, { "id": "b", "text": "y = 2x + 3" }, { "id": "c", "text": "y = −2x" }, { "id": "d", "text": "y = 3" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "f′(x) = −2 cos x, also f′(0) = −2. Mit f(0) = 3: y = −2x + 3." }, { "id": "sl-ma-an-sinus-klausur-wertebereich", "prompt": "Welchen Wertebereich hat f(x) = 3 − 2 sin x?", "options": [ { "id": "a", "text": "[−1; 1]" }, { "id": "b", "text": "[1; 5]" }, { "id": "c", "text": "[3; 5]" }, { "id": "d", "text": "[−2; 2]" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Mittellinie 3, Amplitude 2: kleinster Wert 1, größter Wert 5." } ] }, { "cardId": "sl-ma-an-extrem-steckbrief", "questions": [ { "id": "sl-ma-an-extrem-steckbrief-idee", "prompt": "Warum reicht f′(x₀) = 0 allein nicht als Nachweis für einen Hochpunkt?", "options": [ { "id": "a", "text": "An der Stelle könnte auch ein Tiefpunkt oder ein Sattelpunkt liegen." }, { "id": "b", "text": "Weil f′ an Hochpunkten immer negativ ist." }, { "id": "c", "text": "Weil man zusätzlich f(x₀) = 0 braucht." }, { "id": "d", "text": "Es reicht, f′(x₀) = 0 bedeutet immer Hochpunkt." } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "f′(x₀) = 0 heißt nur: Die Tangente ist waagerecht. Welche Art von Punkt es ist, prüfst du danach mit f″ oder dem Vorzeichenwechsel." }, { "id": "sl-ma-an-extrem-steckbrief-rand", "prompt": "f(x) = x³ − 3x hat den Hochpunkt H(−1 | 2). Welcher Wert ist der größte auf dem Intervall [−2; 3]?", "options": [ { "id": "a", "text": "2 bei x = −1" }, { "id": "b", "text": "18 bei x = 3" }, { "id": "c", "text": "−2 bei x = −2" }, { "id": "d", "text": "Es gibt keinen größten Wert." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Am Rand ist f(3) = 27 − 9 = 18, das ist mehr als der Hochpunkt mit 2. Auf einem Intervall musst du die Ränder immer mitprüfen." }, { "id": "sl-ma-an-extrem-steckbrief-steckbrief", "prompt": "Der Graph hat den Hochpunkt H(1 | 4). Welche Gleichungen liefert diese Angabe?", "options": [ { "id": "a", "text": "nur f(1) = 4" }, { "id": "b", "text": "f(1) = 4 und f′(1) = 0" }, { "id": "c", "text": "nur f′(1) = 4" }, { "id": "d", "text": "f′(1) = 4 und f″(1) = 0" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Ein Hochpunkt steckt zwei Informationen: Der Punkt liegt auf dem Graphen (f(1) = 4), und die Tangente ist dort waagerecht (f′(1) = 0)." }, { "id": "sl-ma-an-extrem-steckbrief-klausur-tiefpunkt", "prompt": "In der IQB-Aufgabe sollst du zeigen, dass bei x = √12 ein Tiefpunkt liegt. Was gehört auf das Blatt?", "options": [ { "id": "a", "text": "Nur der Satz: Laut Aufgabe liegt dort ein Tiefpunkt." }, { "id": "b", "text": "f′(√12) = 0 und f″(√12) > 0, jeweils mit Rechnung, dazu ein Antwortsatz." }, { "id": "c", "text": "Nur f′(√12) = 0." }, { "id": "d", "text": "Eine Wertetabelle mit drei Funktionswerten." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Du zeigst beides: Die Tangente ist waagerecht (f′ = 0), und der Graph ist dort nach links gekrümmt (f″ > 0). Erst beides zusammen beweist den Tiefpunkt." }, { "id": "sl-ma-an-extrem-steckbrief-operator-zeigen", "prompt": "Worin unterscheidet sich „zeigen“ von „untersuchen“?", "options": [ { "id": "a", "text": "Bei „zeigen“ steht die Aussage schon da und du bestätigst sie. Bei „untersuchen“ findest du das Ergebnis selbst heraus." }, { "id": "b", "text": "Bei „zeigen“ reicht das Ergebnis ohne Rechnung." }, { "id": "c", "text": "„Untersuchen“ heißt: nur eine Skizze anfertigen." }, { "id": "d", "text": "Es gibt keinen Unterschied." } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "Bei „zeigen“ bestätigst du eine vorgegebene Aussage „unter Darlegung gültiger Schlussregeln“. Bei „untersuchen“ findest du Eigenschaften oder Beziehungen „unter Darstellung des Vorgehens“ selbst heraus. Dein Weg gehört in beiden Fällen aufs Blatt." } ] }, { "cardId": "sl-ma-an-wendepunkte", "questions": [ { "id": "sl-ma-an-wendepunkte-idee", "prompt": "Was zeigt f″(x) > 0 auf einem Intervall?", "options": [ { "id": "a", "text": "Der Graph steigt dort." }, { "id": "b", "text": "Der Graph ist dort linksgekrümmt." }, { "id": "c", "text": "Der Graph hat dort einen Hochpunkt." }, { "id": "d", "text": "Der Graph liegt dort über der x-Achse." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "f″ misst die Krümmung. Positiv heißt linksgekrümmt, negativ heißt rechtsgekrümmt. Ob der Graph steigt, sagt f′." }, { "id": "sl-ma-an-wendepunkte-rechnung", "prompt": "Welchen Wendepunkt hat f(x) = x³ − 6x²?", "options": [ { "id": "a", "text": "W(2 | −16)" }, { "id": "b", "text": "W(0 | 0)" }, { "id": "c", "text": "W(4 | −32)" }, { "id": "d", "text": "W(2 | −8)" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "f″(x) = 6x − 12 = 0 → x = 2, und f‴(2) = 6 ≠ 0. y-Wert: f(2) = 8 − 24 = −16." }, { "id": "sl-ma-an-wendepunkte-sachkontext", "prompt": "N(t) beschreibt die Besucherzahl. Wann wächst sie am stärksten?", "options": [ { "id": "a", "text": "Wenn N(t) am größten ist." }, { "id": "b", "text": "An einer Wendestelle von N, wo N′ am größten ist." }, { "id": "c", "text": "Wenn N′(t) = 0 ist." }, { "id": "d", "text": "Am Anfang, bei t = 0." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Die stärkste Zunahme ist das Maximum der Änderungsrate N′. Das liegt an einer Wendestelle von N." }, { "id": "sl-ma-an-wendepunkte-klausur-hinreichend", "prompt": "Aufgabe mit f(x) = 1/8 · (x³ − 15x² + 50x): Warum reicht f″(5) = 0 allein nicht als Nachweis für den Wendepunkt?", "options": [ { "id": "a", "text": "Weil auch f(5) = 0 sein muss." }, { "id": "b", "text": "Weil f″(5) = 0 nur notwendig ist. Du brauchst noch f‴(5) ≠ 0 oder einen Vorzeichenwechsel von f″." }, { "id": "c", "text": "Weil man immer die Tangente braucht." }, { "id": "d", "text": "Es reicht, f″(5) = 0 beweist den Wendepunkt." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "f″(x₀) = 0 ist nur die notwendige Bedingung. Hier zeigt f‴(5) = 3/4 ≠ 0, dass wirklich ein Wendepunkt vorliegt." }, { "id": "sl-ma-an-wendepunkte-klausur-tangente", "prompt": "Wie lautet die Wendetangente im Punkt W(5 | 0)?", "options": [ { "id": "a", "text": "y = −25/8 · x + 125/8" }, { "id": "b", "text": "y = −25/8 · x" }, { "id": "c", "text": "y = 25/8 · x − 125/8" }, { "id": "d", "text": "y = 3/4 · x − 15/4" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "Steigung f′(5) = −25/8. Mit W(5 | 0): 0 = −25/8 · 5 + t, also t = 125/8." } ] }, { "cardId": "sl-ma-an-graphen", "questions": [ { "id": "sl-ma-an-graphen-idee", "prompt": "Der Graph von f′ liegt auf einem Intervall unter der x-Achse. Was folgt daraus für f?", "options": [ { "id": "a", "text": "f ist dort negativ." }, { "id": "b", "text": "f fällt dort." }, { "id": "c", "text": "f hat dort einen Wendepunkt." }, { "id": "d", "text": "f ist dort null." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "f′ ist die Steigung von f. Negative Steigung heißt: Der Graph von f fällt. Ob f selbst positiv oder negativ ist, sagt f′ nicht." }, { "id": "sl-ma-an-graphen-rechnung", "prompt": "f′ hat bei x = 2 eine Nullstelle, links davon ist f′ > 0, rechts davon f′ < 0. Was hat f bei x = 2?", "options": [ { "id": "a", "text": "Einen Tiefpunkt" }, { "id": "b", "text": "Einen Hochpunkt" }, { "id": "c", "text": "Einen Wendepunkt" }, { "id": "d", "text": "Eine Nullstelle" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Erst steigt f, dann fällt f: Das ist ein Hochpunkt." }, { "id": "sl-ma-an-graphen-falle", "prompt": "Der Graph von f′ hat bei x = 1 einen Hochpunkt. Was gilt für f bei x = 1?", "options": [ { "id": "a", "text": "f hat dort einen Hochpunkt." }, { "id": "b", "text": "f hat dort einen Wendepunkt." }, { "id": "c", "text": "f hat dort eine Nullstelle." }, { "id": "d", "text": "f ist dort waagerecht." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Extremstellen von f′ sind Wendestellen von f. An einem Hochpunkt von f′ ist die Steigung von f dort größer als in der Umgebung, f hat dort aber keinen Hochpunkt." }, { "id": "sl-ma-an-graphen-klausur-zuordnung", "prompt": "Warum kommt Graph II nicht als Graph von f′ infrage?", "options": [ { "id": "a", "text": "Er ist eine Parabel." }, { "id": "b", "text": "Seine Nullstellen liegen bei den Nullstellen von f, nicht bei den Hoch- und Tiefpunkten von f." }, { "id": "c", "text": "Er liegt ganz unter der x-Achse." }, { "id": "d", "text": "Er geht nicht durch den Ursprung." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Die Extremstellen von f müssen Nullstellen von f′ sein. Graph II hat seine Nullstellen bei −3 und 3, dort hat f Nullstellen." }, { "id": "sl-ma-an-graphen-klausur-stammfunktion", "prompt": "Wie verhält sich F im Intervall [1; 3]?", "options": [ { "id": "a", "text": "F steigt, weil f dort steigt." }, { "id": "b", "text": "F fällt, weil F′ = f dort kleiner oder gleich 0 ist." }, { "id": "c", "text": "F ist dort konstant." }, { "id": "d", "text": "F hat dort einen Wendepunkt." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Für eine Stammfunktion gilt F′ = f. Im Intervall [1; 3] liegt der Graph von f nicht über der x-Achse, also fällt F." } ] }, { "cardId": "sl-ma-an-scharen", "questions": [ { "id": "sl-ma-an-scharen-ableiten", "prompt": "Wie lautet die Ableitung von f_a(x) = x² − 2a · x?", "options": [ { "id": "a", "text": "2x − 2" }, { "id": "b", "text": "2x − 2a" }, { "id": "c", "text": "x² − 2" }, { "id": "d", "text": "−2x" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Abgeleitet wird nach x, a bleibt wie eine Zahl stehen: (x²)′ = 2x und (−2a · x)′ = −2a." }, { "id": "sl-ma-an-scharen-tiefpunkt", "prompt": "Wo liegt der Tiefpunkt von f_a(x) = x² − 2a · x?", "options": [ { "id": "a", "text": "(a | −a²)" }, { "id": "b", "text": "(−a | a²)" }, { "id": "c", "text": "(2a | 0)" }, { "id": "d", "text": "(0 | 0)" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "f_a′(x) = 2x − 2a = 0 ergibt x = a, und f_a(a) = a² − 2a² = −a²." }, { "id": "sl-ma-an-scharen-bestimmen", "prompt": "Für welches a geht der Graph von f_a(x) = x² − 2a · x durch P(2 | 0)?", "options": [ { "id": "a", "text": "a = 0" }, { "id": "b", "text": "a = 2" }, { "id": "c", "text": "a = 1" }, { "id": "d", "text": "für jedes a" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "f_a(2) = 4 − 4a = 0, also a = 1." }, { "id": "sl-ma-an-scharen-klausur-punkt", "prompt": "Für welches a liegt (1 | 6) auf dem Graphen von f_a(x) = ax³ + ax²?", "options": [ { "id": "a", "text": "a = 6" }, { "id": "b", "text": "a = 2" }, { "id": "c", "text": "a = 3" }, { "id": "d", "text": "a = 1" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "f_a(1) = a + a = 2a = 6, also a = 3." }, { "id": "sl-ma-an-scharen-klausur-flaeche", "prompt": "Welchen Inhalt hat die Fläche zwischen dem Graphen von f_a und der x-Achse?", "options": [ { "id": "a", "text": "a/12" }, { "id": "b", "text": "a/4" }, { "id": "c", "text": "7a/12" }, { "id": "d", "text": "a/3" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "Nullstellen −1 und 0, ∫ von −1 bis 0 ergibt 0 − (a/4 − a/3) = a/12." } ] }, { "cardId": "sl-ma-an-integral-flaeche", "questions": [ { "id": "sl-ma-an-integral-flaeche-idee", "prompt": "Das Integral von −1 bis 1 über f(x) = x³ ergibt 0. Was bedeutet das?", "options": [ { "id": "a", "text": "Es gibt keine Fläche zwischen Graph und x-Achse." }, { "id": "b", "text": "Die Fläche oberhalb und die Fläche unterhalb der x-Achse sind gleich groß und heben sich auf." }, { "id": "c", "text": "Der Graph liegt vollständig auf der x-Achse." }, { "id": "d", "text": "Man hat sich verrechnet, Integrale sind nie 0." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Flächen unter der x-Achse zählen im Integral negativ. Sind beide Stücke gleich groß, ergibt das Integral 0. Der Flächeninhalt ist trotzdem größer als 0." }, { "id": "sl-ma-an-integral-flaeche-substitution", "prompt": "Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = e^(2x)?", "options": [ { "id": "a", "text": "2 · e^(2x)" }, { "id": "b", "text": "e^(2x)" }, { "id": "c", "text": "½ · e^(2x)" }, { "id": "d", "text": "e^(2x) / x" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Beim Integrieren teilst du durch den Faktor vor x: Zu e^(2x) gehört ½ · e^(2x). Probe: (½ · e^(2x))′ = ½ · 2 · e^(2x) = e^(2x)." }, { "id": "sl-ma-an-integral-flaeche-vorzeichen", "prompt": "Du berechnest für einen Flächeninhalt ein Integral und erhältst −32/3. Was schreibst du als Ergebnis?", "options": [ { "id": "a", "text": "Der Flächeninhalt beträgt −32/3 Flächeneinheiten." }, { "id": "b", "text": "Der Flächeninhalt ist 0, weil Flächen nicht negativ sein können." }, { "id": "c", "text": "Die Aufgabe ist nicht lösbar." }, { "id": "d", "text": "Der Flächeninhalt beträgt 32/3 Flächeneinheiten, das Minus zeigt nur, dass die Fläche unter der x-Achse liegt." } ], "correctOptionId": "d", "explanation": "Ein Flächeninhalt ist nie negativ. Du nimmst den Betrag des Integrals." }, { "id": "sl-ma-an-integral-flaeche-klausur-grenzen", "prompt": "IQB-Aufgabe mit f(x) = x³ + 2x²: Warum integrierst du von −2 bis 0?", "options": [ { "id": "a", "text": "Weil man immer bei 0 aufhört." }, { "id": "b", "text": "Weil −2 und 0 die Nullstellen sind und die Fläche dazwischen liegt." }, { "id": "c", "text": "Weil die Aufgabe diese Grenzen ausdrücklich vorgibt." }, { "id": "d", "text": "Weil f(−2) = f(0) = 4 ist." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Gesucht ist die Fläche, die der Graph mit der x-Achse einschließt. Sie reicht von Nullstelle zu Nullstelle, hier von −2 bis 0." }, { "id": "sl-ma-an-integral-flaeche-operator-bestaetigen", "prompt": "„Bestätigen Sie, dass −2 und 0 die einzigen Nullstellen von f sind.“ Was musst du tun?", "options": [ { "id": "a", "text": "Die Zahlen −2 und 0 abschreiben." }, { "id": "b", "text": "Nur f(−2) = 0 und f(0) = 0 nachrechnen." }, { "id": "c", "text": "Die Nullstellen in eine Skizze einzeichnen." }, { "id": "d", "text": "Mit einer Rechnung zeigen, dass f(x) = 0 genau diese beiden Lösungen hat." } ], "correctOptionId": "d", "explanation": "„Bestätigen“ steht nicht in der Operatorenliste. Laut den Prüfungsanforderungen gilt dann die übliche Bedeutung des Wortes, gemeint ist wie bei „zeigen“ ein Nachweis. Einsetzen zeigt nur, dass −2 und 0 Nullstellen sind, aber nicht, dass es keine weiteren gibt. Das zeigst du durch Lösen der Gleichung: x² · (x + 2) = 0." } ] }, { "cardId": "sl-ma-an-flaeche-zwischen", "questions": [ { "id": "sl-ma-an-flaeche-zwischen-idee", "prompt": "Was integrierst du für die Fläche zwischen den Graphen von f und g?", "options": [ { "id": "a", "text": "f + g" }, { "id": "b", "text": "obere minus untere Funktion" }, { "id": "c", "text": "f · g" }, { "id": "d", "text": "nur die obere Funktion" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Die Höhe der Fläche an jeder Stelle ist der Abstand der Graphen: obere minus untere Funktion." }, { "id": "sl-ma-an-flaeche-zwischen-rechnung", "prompt": "Wie groß ist die Fläche zwischen f(x) = x² und g(x) = 2x?", "options": [ { "id": "a", "text": "4/3" }, { "id": "b", "text": "8/3" }, { "id": "c", "text": "4" }, { "id": "d", "text": "2/3" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "Schnittstellen: x² = 2x → x = 0 und x = 2. Oben liegt g. Integral von 2x − x² von 0 bis 2: 4 − 8/3 = 4/3." }, { "id": "sl-ma-an-flaeche-zwischen-falle", "prompt": "Die Graphen schneiden sich zwischen den Grenzen noch einmal. Was tust du?", "options": [ { "id": "a", "text": "Nichts, einmal integrieren reicht." }, { "id": "b", "text": "Das Intervall am Schnittpunkt teilen und jedes Stück mit oben minus unten rechnen." }, { "id": "c", "text": "Das Ergebnis halbieren." }, { "id": "d", "text": "Die Grenzen tauschen." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Sonst heben sich die Teilflächen gegenseitig ganz oder teilweise auf, und das Ergebnis ist zu klein." }, { "id": "sl-ma-an-flaeche-zwischen-klausur-oben", "prompt": "g(x) = x² − 3 und h(x) = −x² + 2x + 1: Welche Differenz integrierst du von −1 bis 2?", "options": [ { "id": "a", "text": "g(x) − h(x)" }, { "id": "b", "text": "h(x) − g(x)" }, { "id": "c", "text": "g(x) + h(x)" }, { "id": "d", "text": "nur h(x)" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Bei x = 0 ist h(0) = 1 größer als g(0) = −3. Also liegt h oben: h − g = −2x² + 2x + 4." }, { "id": "sl-ma-an-flaeche-zwischen-klausur-ergebnis", "prompt": "Wie groß ist die Fläche, die die Graphen von g und h einschließen?", "options": [ { "id": "a", "text": "9" }, { "id": "b", "text": "−9" }, { "id": "c", "text": "4,5" }, { "id": "d", "text": "12" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "Integral von −2x² + 2x + 4 von −1 bis 2 ergibt 9. Ein Flächeninhalt ist immer positiv." } ] }, { "cardId": "sl-ma-an-bestand", "questions": [ { "id": "sl-ma-an-bestand-idee", "prompt": "r(t) ist die Zuflussrate in Litern pro Minute. Was gibt das Integral von r von 0 bis 5 an?", "options": [ { "id": "a", "text": "Wie schnell es nach 5 Minuten zufließt." }, { "id": "b", "text": "Wie viele Liter in den ersten 5 Minuten dazukommen." }, { "id": "c", "text": "Wie viele Liter nach 5 Minuten insgesamt da sind." }, { "id": "d", "text": "Die durchschnittliche Rate." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Das Integral der Rate ist die Änderung des Bestands. Für den Gesamtbestand addierst du noch den Anfangsbestand." }, { "id": "sl-ma-an-bestand-rechnung", "prompt": "Zuflussrate r(t) = 6 − 2t (Kubikmeter pro Stunde). Wie viel kommt von t = 0 bis t = 3 dazu?", "options": [ { "id": "a", "text": "9 Kubikmeter" }, { "id": "b", "text": "6 Kubikmeter" }, { "id": "c", "text": "18 Kubikmeter" }, { "id": "d", "text": "0 Kubikmeter" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "Stammfunktion 6t − t². Von 0 bis 3: 18 − 9 = 9." }, { "id": "sl-ma-an-bestand-maximum", "prompt": "Wann ist der Bestand am größten?", "options": [ { "id": "a", "text": "Wenn die Rate am größten ist." }, { "id": "b", "text": "Wenn die Rate von positiv zu negativ wechselt." }, { "id": "c", "text": "Immer am Ende des Zeitraums." }, { "id": "d", "text": "Wenn die Rate null ist, egal ob sie danach steigt oder fällt." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Solange die Rate positiv ist, wächst der Bestand. Wechselt sie zu negativ, nimmt er ab. Dazwischen liegt der größte Bestand." }, { "id": "sl-ma-an-bestand-klausur-gleichung", "prompt": "Behälter mit 2 Litern, Zuflussrate f(t) = −t · (t − 4). Welche Gleichung beschreibt „Der Behälter enthält 7 Liter“?", "options": [ { "id": "a", "text": "∫₀ᵗ f(x) dx = 7" }, { "id": "b", "text": "2 + ∫₀ᵗ f(x) dx = 7" }, { "id": "c", "text": "f(t) = 7" }, { "id": "d", "text": "2 + f(t) = 7" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Das Integral der Rate liefert nur den Zufluss. Dazu kommt der Anfangsbestand von 2 Litern." }, { "id": "sl-ma-an-bestand-operator-angeben", "prompt": "„Geben Sie eine Gleichung an …“ Was verlangt das?", "options": [ { "id": "a", "text": "Die Gleichung lösen und das Ergebnis begründen." }, { "id": "b", "text": "Nur die Gleichung hinschreiben." }, { "id": "c", "text": "Die Gleichung herleiten und grafisch darstellen." }, { "id": "d", "text": "Eine Tabelle anlegen." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "„Angeben“ heißt: das Ergebnis hinschreiben, ohne Begründung und ohne weitere Rechnung." } ] }, { "cardId": "sl-ma-raum-vektoren", "questions": [ { "id": "sl-ma-raum-vektoren-idee", "prompt": "Was beschreibt der Vektor AB→?", "options": [ { "id": "a", "text": "Den Weg von A nach B: wie weit in x-, y- und z-Richtung." }, { "id": "b", "text": "Die Lage des Punktes A im Koordinatensystem." }, { "id": "c", "text": "Den Mittelpunkt zwischen A und B." }, { "id": "d", "text": "Die Länge der Strecke AB als einzelne Zahl." } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "Ein Vektor ist eine Wegbeschreibung. Du rechnest „Ziel minus Start“: AB→ = B − A." }, { "id": "sl-ma-raum-vektoren-laenge", "prompt": "A(1 | 2 | 3) und B(4 | 2 | −1). Wie lang ist AB→?", "options": [ { "id": "a", "text": "7" }, { "id": "b", "text": "5" }, { "id": "c", "text": "√7" }, { "id": "d", "text": "25" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "AB→ hat die Einträge 3, 0 und −4. Länge: √(9 + 0 + 16) = √25 = 5." }, { "id": "sl-ma-raum-vektoren-kollinear", "prompt": "A(1 | 0 | 0), B(3 | 2 | 4), C(4 | 3 | 6). Liegen die drei Punkte auf einer Geraden?", "options": [ { "id": "a", "text": "Ja, weil AC→ = 1,5 · AB→ gilt." }, { "id": "b", "text": "Nein, weil AB→ und AC→ verschieden lang sind." }, { "id": "c", "text": "Ja, weil alle Koordinaten positiv sind." }, { "id": "d", "text": "Nein, weil es kein r mit AC→ = r · AB→ gibt." } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "AB→ = (2 | 2 | 4) und AC→ = (3 | 3 | 6) = 1,5 · AB→. Die Vektoren sind kollinear und haben den Punkt A gemeinsam, also liegen A, B und C auf einer Geraden." }, { "id": "sl-ma-raum-vektoren-klausur-raute", "prompt": "Kirchturm-Aufgabe: CF→ = GS→ und |CG→| = |CF→| = √52. Was folgt daraus für das Viereck CGSF?", "options": [ { "id": "a", "text": "Es ist ein Quadrat." }, { "id": "b", "text": "Es ist ein Trapez, aber kein Parallelogramm." }, { "id": "c", "text": "Es ist ein Parallelogramm mit gleich langen Nachbarseiten, also eine Raute." }, { "id": "d", "text": "Daraus folgt noch nichts, man muss alle vier Seiten einzeln berechnen." } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "CF→ = GS→ zeigt: gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang, also ein Parallelogramm. Gleich lange Nachbarseiten machen daraus eine Raute. Für ein Quadrat bräuchte man zusätzlich einen rechten Winkel." }, { "id": "sl-ma-raum-vektoren-operator-nachweisen", "prompt": "Was heißt „Weisen Sie nach, dass …“?", "options": [ { "id": "a", "text": "Die Aussage durch eine nachvollziehbare Rechnung oder Begründung bestätigen." }, { "id": "b", "text": "Nur das Ergebnis nennen." }, { "id": "c", "text": "Eine möglichst genaue Zeichnung anfertigen." }, { "id": "d", "text": "Die Aussage mit eigenen Worten wiederholen." } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "In der Operatorenliste stehen „nachweisen“ und „zeigen“ zusammen: „eine Aussage unter Darlegung gültiger Schlussregeln logisch verifizieren“. Die Schlüsse gehören aufs Blatt." } ] }, { "cardId": "sl-ma-raum-skalarprodukt", "questions": [ { "id": "sl-ma-raum-skalarprodukt-winkel-ebene", "prompt": "Für den Winkel zwischen einer Geraden (Richtung u→) und einer Ebene (Normalenvektor n→) nimmst du …", "options": [ { "id": "a", "text": "cos α = |u→ · n→| / (|u→| · |n→|)" }, { "id": "b", "text": "sin α = |u→ · n→| / (|u→| · |n→|)" }, { "id": "c", "text": "tan α = u→ · n→" }, { "id": "d", "text": "α = u→ · n→" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "n→ steht senkrecht auf der Ebene. Der Winkel zwischen u→ und n→ ergänzt den gesuchten Winkel zu 90°, deshalb steht hier der Sinus." }, { "id": "sl-ma-raum-skalarprodukt-parameter", "prompt": "Für welches t stehen die Vektoren mit den Einträgen (2 | t | 1) und (3 | −2 | 4) senkrecht aufeinander?", "options": [ { "id": "a", "text": "t = 5" }, { "id": "b", "text": "t = −5" }, { "id": "c", "text": "t = 3" }, { "id": "d", "text": "t = 0" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "2 · 3 + t · (−2) + 1 · 4 = 10 − 2t. Gleich 0 setzen: t = 5." }, { "id": "sl-ma-raum-skalarprodukt-ecke", "prompt": "Das Dreieck OAB soll im Punkt B rechtwinklig sein. Welches Skalarprodukt setzt du gleich 0?", "options": [ { "id": "a", "text": "OA→ · OB→" }, { "id": "b", "text": "BO→ · BA→" }, { "id": "c", "text": "AB→ · AO→" }, { "id": "d", "text": "OA→ · AB→" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Rechtwinklig in B heißt: Die beiden Seiten, die in B zusammenkommen, stehen senkrecht. Beide Vektoren müssen also in B starten." }, { "id": "sl-ma-raum-skalarprodukt-klausur-rechtwinklig", "prompt": "IQB-Aufgabe: Das Skalarprodukt BO→ · BA→ ergibt 35 − 5a. Für welches a ist das Dreieck OAB in B rechtwinklig?", "options": [ { "id": "a", "text": "a = 5" }, { "id": "b", "text": "a = −7" }, { "id": "c", "text": "a = 35" }, { "id": "d", "text": "a = 7" } ], "correctOptionId": "d", "explanation": "Rechtwinklig heißt Skalarprodukt 0: 35 − 5a = 0, also a = 7." }, { "id": "sl-ma-raum-skalarprodukt-operator-ermitteln", "prompt": "Was verlangt „ermitteln“ laut Operatorenliste?", "options": [ { "id": "a", "text": "Nur das Ergebnis." }, { "id": "b", "text": "Der Weg ist frei wählbar, muss aber dargestellt werden." }, { "id": "c", "text": "Die Lösung muss grafisch erfolgen." }, { "id": "d", "text": "Es muss eine bestimmte Formel benutzt werden." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "„Bestimmen“ und „ermitteln“ stehen in der Operatorenliste zusammen: ein Ergebnis „bei freier Wahl des Verfahrens gewinnen“, auch aus einem Diagramm, und den Lösungsweg mit Zwischenschritten darstellen." } ] }, { "cardId": "sl-ma-raum-geraden", "questions": [ { "id": "sl-ma-raum-geraden-idee", "prompt": "Was legt eine Geradengleichung x→ = OA→ + t · u→ fest?", "options": [ { "id": "a", "text": "Zwei Punkte, zwischen denen die Gerade endet." }, { "id": "b", "text": "Nur die Richtung, der Ort ist beliebig." }, { "id": "c", "text": "Einen Punkt der Geraden (A) und ihre Richtung (u→)." }, { "id": "d", "text": "Einen Punkt und die Länge der Geraden." } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Stützpunkt A und Richtungsvektor u→ legen die Gerade fest. Jeder Wert von t liefert einen Punkt, die Gerade ist unendlich lang." }, { "id": "sl-ma-raum-geraden-lage", "prompt": "Die Richtungsvektoren zweier Geraden sind keine Vielfachen voneinander. Das Gleichsetzen führt auf einen Widerspruch. Wie liegen die Geraden?", "options": [ { "id": "a", "text": "parallel" }, { "id": "b", "text": "identisch" }, { "id": "c", "text": "Sie schneiden sich." }, { "id": "d", "text": "windschief" } ], "correctOptionId": "d", "explanation": "Nicht parallel und kein gemeinsamer Punkt: Das gibt es nur im Raum und heißt windschief." }, { "id": "sl-ma-raum-geraden-punktprobe", "prompt": "Du prüfst, ob P auf g liegt. Aus der ersten Zeile folgt t = 2, aus der zweiten t = 2, aus der dritten t = 3. Was folgt?", "options": [ { "id": "a", "text": "P liegt nicht auf g." }, { "id": "b", "text": "P liegt auf g, zwei von drei Zeilen reichen." }, { "id": "c", "text": "P liegt auf g, und zwar bei t = 2,5." }, { "id": "d", "text": "g und P sind windschief." } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "Ein Punkt liegt nur dann auf der Geraden, wenn ein und dasselbe t alle drei Zeilen erfüllt." }, { "id": "sl-ma-raum-geraden-klausur-stuetze", "prompt": "Kirchturm-Aufgabe: Die Stütze vom Mittelpunkt M zum Balken SF soll möglichst kurz sein. Welche Bedingung nutzt du für den Punkt R?", "options": [ { "id": "a", "text": "MR→ ist parallel zu SF→." }, { "id": "b", "text": "R ist der Mittelpunkt von SF." }, { "id": "c", "text": "MR→ steht senkrecht auf SF→, also MR→ · SF→ = 0." }, { "id": "d", "text": "|MR→| = |SF→|" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Die kürzeste Verbindung von einem Punkt zu einer Geraden trifft die Gerade im rechten Winkel. Deshalb setzt du das Skalarprodukt gleich 0." }, { "id": "sl-ma-raum-geraden-operator-beschreiben", "prompt": "„Beschreiben Sie, wie man die Koordinaten von R ermitteln könnte.“ Was wird erwartet?", "options": [ { "id": "a", "text": "Die Koordinaten von R ausrechnen und angeben." }, { "id": "b", "text": "Den Lösungsweg in Worten mit den richtigen Fachbegriffen darstellen." }, { "id": "c", "text": "Nur das Ergebnis ohne Begründung." }, { "id": "d", "text": "Eine maßstabsgetreue Zeichnung." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "„Beschreiben“ heißt laut Operatorenliste: Verfahren oder Zusammenhänge „sprachlich angemessen, strukturiert und unter korrekter Verwendung der Fachsprache ohne Begründung wiedergeben“. Die Koordinaten von R musst du nicht ausrechnen." } ] }, { "cardId": "sl-ma-raum-ebenen", "questions": [ { "id": "sl-ma-raum-ebenen-schnitt", "prompt": "Die Normalenvektoren zweier Ebenen sind keine Vielfachen voneinander. Was folgt?", "options": [ { "id": "a", "text": "Die Ebenen sind parallel." }, { "id": "b", "text": "Die Ebenen sind identisch." }, { "id": "c", "text": "Die Ebenen schneiden sich in einer Geraden." }, { "id": "d", "text": "Die Ebenen schneiden sich in einem Punkt." } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Nur bei Vielfachen sind sie parallel oder identisch. Sonst haben zwei Ebenen eine gemeinsame Schnittgerade, nie nur einen einzelnen Punkt." }, { "id": "sl-ma-raum-ebenen-punktprobe", "prompt": "Welcher Punkt liegt in der Ebene 2x + y − z = 5?", "options": [ { "id": "a", "text": "(1 | 1 | 1)" }, { "id": "b", "text": "(2 | 1 | 1)" }, { "id": "c", "text": "(1 | 4 | 1)" }, { "id": "d", "text": "(0 | 5 | 1)" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Einsetzen: 2 · 1 + 4 − 1 = 5. Die Gleichung stimmt. Bei den anderen Punkten kommt 2 oder 4 heraus." }, { "id": "sl-ma-raum-ebenen-normalenvektor", "prompt": "Welcher Normalenvektor gehört zur Ebene 3x − 2y = 0?", "options": [ { "id": "a", "text": "(3 | −2)" }, { "id": "b", "text": "(3 | −2 | 1)" }, { "id": "c", "text": "(0 | 0 | 1)" }, { "id": "d", "text": "(3 | −2 | 0)" } ], "correctOptionId": "d", "explanation": "Im Raum hat der Normalenvektor drei Einträge. z kommt in der Gleichung nicht vor, also steht dort eine 0." }, { "id": "sl-ma-raum-ebenen-klausur-senkrecht", "prompt": "IQB-Aufgabe: Für welches r steht F: 2x + r·y + z = 4 senkrecht zu E: 3x − 2y = 0?", "options": [ { "id": "a", "text": "r = 3" }, { "id": "b", "text": "r = −3" }, { "id": "c", "text": "r = 2" }, { "id": "d", "text": "r = 6" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "Normalenvektoren (3 | −2 | 0) und (2 | r | 1). Skalarprodukt: 6 − 2r = 0, also r = 3." }, { "id": "sl-ma-raum-ebenen-operator-beschreiben", "prompt": "„Beschreiben Sie die besondere Lage von E im Koordinatensystem.“ Was reicht als Antwort?", "options": [ { "id": "a", "text": "Eine ausführliche Begründung mit Rechnung." }, { "id": "b", "text": "Die Gleichung von E noch einmal abschreiben." }, { "id": "c", "text": "Eine Wertetabelle." }, { "id": "d", "text": "Ein klarer Satz mit Fachbegriffen, zum Beispiel: „E enthält die z-Achse.“" } ], "correctOptionId": "d", "explanation": "„Beschreiben“ heißt laut Operatorenliste: sprachlich angemessen und strukturiert mit korrekter Fachsprache wiedergeben, ohne Begründung. Ein klarer Satz wie „E enthält die z-Achse.“ erfüllt das." } ] }, { "cardId": "sl-ma-raum-abstaende", "questions": [ { "id": "sl-ma-raum-abstaende-formel", "prompt": "E: 2x + y + 2z = 6, P(3 | 1 | 4). Wie groß ist der Abstand von P zu E?", "options": [ { "id": "a", "text": "9" }, { "id": "b", "text": "3" }, { "id": "c", "text": "1" }, { "id": "d", "text": "27" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "|2 · 3 + 1 + 2 · 4 − 6| = 9, geteilt durch die Länge von n = (2; 1; 2), also √9 = 3. Abstand 3." }, { "id": "sl-ma-raum-abstaende-parallel", "prompt": "E₁: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 und E₂: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 15. Wie groß ist ihr Abstand?", "options": [ { "id": "a", "text": "9" }, { "id": "b", "text": "3" }, { "id": "c", "text": "1" }, { "id": "d", "text": "√9 + 3" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Punkt (0 | 6 | 0) von E₁ in die Formel für E₂: |6 − 15| / √(4 + 1 + 4) = 9 / 3 = 3." }, { "id": "sl-ma-raum-abstaende-punkte", "prompt": "Wie groß ist der Abstand von A(1 | 2 | 3) und B(3 | 5 | 9)?", "options": [ { "id": "a", "text": "7" }, { "id": "b", "text": "49" }, { "id": "c", "text": "11" }, { "id": "d", "text": "√11" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "AB = (2; 3; 6), |AB| = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7." }, { "id": "sl-ma-raum-abstaende-klausur-normale", "prompt": "Wie zeigst du, dass (4; 3; 0) senkrecht auf der Ebene steht?", "options": [ { "id": "a", "text": "Den Vektor in die Ebenengleichung einsetzen." }, { "id": "b", "text": "Das Skalarprodukt mit beiden Spannvektoren ist jeweils 0." }, { "id": "c", "text": "Die Länge des Vektors ist 5." }, { "id": "d", "text": "Der Vektor hat eine 0 als dritte Koordinate." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Senkrecht zur Ebene heißt senkrecht zu beiden Spannvektoren. Beide Skalarprodukte sind hier 0." }, { "id": "sl-ma-raum-abstaende-klausur-abstand", "prompt": "Warum reicht in Teil b) ein Punkt mit Abstand 10 von der Ebene?", "options": [ { "id": "a", "text": "Weil |n| = 10 ist." }, { "id": "b", "text": "Weil P und sein Spiegelpunkt beide den Abstand 10 von E haben, zusammen also 20." }, { "id": "c", "text": "Weil die Ebene durch den Ursprung geht." }, { "id": "d", "text": "Weil 20 durch 4 teilbar ist." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Beim Spiegeln liegt die Ebene genau in der Mitte zwischen P und seinem Bildpunkt." } ] }, { "cardId": "sl-ma-zufall-baum-bedingt", "questions": [ { "id": "sl-ma-zufall-baum-bedingt-unabhaengig", "prompt": "P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 und P(A ∩ B) = 0,2. Was gilt?", "options": [ { "id": "a", "text": "A und B sind unvereinbar." }, { "id": "b", "text": "A und B sind stochastisch unabhängig." }, { "id": "c", "text": "A und B sind abhängig, weil P(A ∩ B) kleiner als P(A) ist." }, { "id": "d", "text": "Man kann es ohne Baumdiagramm nicht entscheiden." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "P(A) · P(B) = 0,5 · 0,4 = 0,2 = P(A ∩ B). Genau das ist die Bedingung für stochastische Unabhängigkeit. Unvereinbar hieße P(A ∩ B) = 0." }, { "id": "sl-ma-zufall-baum-bedingt-rechnung", "prompt": "40 % kommen mit dem Bus, davon 25 % zu spät. Von den anderen kommen 10 % zu spät. Wie groß ist P(zu spät)?", "options": [ { "id": "a", "text": "0,35" }, { "id": "b", "text": "0,16" }, { "id": "c", "text": "0,10" }, { "id": "d", "text": "0,25" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Zwei Pfade führen zu „zu spät“: 0,4 · 0,25 + 0,6 · 0,1 = 0,10 + 0,06 = 0,16." }, { "id": "sl-ma-zufall-baum-bedingt-umkehrung", "prompt": "Bus-Beispiel: B heißt „mit dem Bus gekommen“, S heißt „zu spät“. Was ist der Unterschied zwischen P(S | B) und P(B | S)?", "options": [ { "id": "a", "text": "Es gibt keinen, beide sind gleich groß." }, { "id": "b", "text": "P(B | S) ist immer halb so groß wie P(S | B)." }, { "id": "c", "text": "P(S | B) ist die Wahrscheinlichkeit für B und S zugleich." }, { "id": "d", "text": "P(S | B) ist der Anteil der Zuspätkommer unter den Busfahrern, P(B | S) der Anteil der Busfahrer unter den Zuspätkommern." } ], "correctOptionId": "d", "explanation": "Die Bedingung steht hinter dem Strich. Im Beispiel ist P(S | B) = 25 %, aber P(B | S) = 62,5 %. Wer sie verwechselt, rechnet an der Frage vorbei." }, { "id": "sl-ma-zufall-baum-bedingt-klausur-term", "prompt": "Heuschnupfen-Aufgabe: Was gibt der Term (0,15 · 0,9) / (0,15 · 0,9 + 0,85 · 0,02) an?", "options": [ { "id": "a", "text": "Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test bei einer Person mit Heuschnupfen positiv ist." }, { "id": "b", "text": "Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit positivem Test wirklich Heuschnupfen hat." }, { "id": "c", "text": "Die Wahrscheinlichkeit für einen positiven Test." }, { "id": "d", "text": "Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person Heuschnupfen hat." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Oben steht „Heuschnupfen und positiv“, unten „positiv“ insgesamt. Der Bruch ist also die Wahrscheinlichkeit für Heuschnupfen unter der Bedingung, dass der Test positiv ist." }, { "id": "sl-ma-zufall-baum-bedingt-operator-deuten", "prompt": "Was verlangt „Deuten Sie den Term im Sachzusammenhang“?", "options": [ { "id": "a", "text": "Den Term ausrechnen und das Ergebnis nennen." }, { "id": "b", "text": "Den Term vereinfachen." }, { "id": "c", "text": "In Worten sagen, welche Wahrscheinlichkeit der Term in der Situation angibt." }, { "id": "d", "text": "Ein Baumdiagramm zeichnen und nichts dazuschreiben." } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "„Deuten“ heißt laut Operatorenliste: Zusammenhänge, zum Beispiel zwischen einem Sachverhalt und einem Term, „untersuchen und abwägend darstellen“. Du sagst, was der Term in der Situation bedeutet, nicht wie groß er ist." } ] }, { "cardId": "sl-ma-zufall-zufallsgroesse", "questions": [ { "id": "sl-ma-zufall-zufallsgroesse-ausgleich", "prompt": "Spieler A zahlt mit Wahrscheinlichkeit 3/16 den Betrag x, Spieler B mit Wahrscheinlichkeit 9/16 den Betrag y. Wann gleicht sich das auf lange Sicht aus?", "options": [ { "id": "a", "text": "x = y" }, { "id": "b", "text": "x = 3y" }, { "id": "c", "text": "y = 3x" }, { "id": "d", "text": "x + y = 1" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Ausgleich heißt: (3/16) · x = (9/16) · y, also x = 3y." }, { "id": "sl-ma-zufall-zufallsgroesse-rechnung", "prompt": "X nimmt die Werte 1, 2 und 3 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,2; 0,5 und 0,3 an. Wie groß ist E(X)?", "options": [ { "id": "a", "text": "2" }, { "id": "b", "text": "2,1" }, { "id": "c", "text": "1,9" }, { "id": "d", "text": "6" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "E(X) = 1 · 0,2 + 2 · 0,5 + 3 · 0,3 = 0,2 + 1 + 0,9 = 2,1." }, { "id": "sl-ma-zufall-zufallsgroesse-fair", "prompt": "Ein Dreh kostet 2 €, der Erwartungswert der Auszahlung ist 1,30 €. Was folgt?", "options": [ { "id": "a", "text": "Das Spiel ist fair." }, { "id": "b", "text": "Im Mittel verliert man 0,70 € pro Spiel." }, { "id": "c", "text": "Im Mittel gewinnt man 0,70 € pro Spiel." }, { "id": "d", "text": "Man verliert immer 0,70 €." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Fair wäre ein Einsatz von 1,30 €. Bei 2 € Einsatz bleiben im Mittel 1,30 − 2 = −0,70 € pro Spiel." }, { "id": "sl-ma-zufall-zufallsgroesse-klausur-x4", "prompt": "X hat die Werte 1, 3, 4, x₄ mit 1/2, 5/18, 1/6, 1/18 und E(X) = 3. Wie groß ist x₄?", "options": [ { "id": "a", "text": "6" }, { "id": "b", "text": "18" }, { "id": "c", "text": "9" }, { "id": "d", "text": "3" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Die ersten drei Summanden ergeben 2. Aus 2 + x₄/18 = 3 folgt x₄ = 18." }, { "id": "sl-ma-zufall-zufallsgroesse-klausur-abschaetzung", "prompt": "Warum reicht in Teil b) der Summand für y = 2, um σ(Y) > 1 zu zeigen?", "options": [ { "id": "a", "text": "Weil die anderen Summanden null sind." }, { "id": "b", "text": "Weil alle Summanden der Varianz nicht negativ sind, die Varianz also mindestens 9/4 ist." }, { "id": "c", "text": "Weil die Standardabweichung immer größer als 1 ist." }, { "id": "d", "text": "Weil E(Y) = 5 ist." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Weitere Summanden können die Varianz nur vergrößern. Schon 9/4 ergibt σ ≥ 1,5." } ] }, { "cardId": "sl-ma-zufall-binomial", "questions": [ { "id": "sl-ma-zufall-binomial-sigma", "prompt": "Eine faire Münze wird 100-mal geworfen (μ = 50, σ = 5). In welchem Bereich liegt die Zahl „Kopf“ mit etwa 95 % Wahrscheinlichkeit?", "options": [ { "id": "a", "text": "45 bis 55" }, { "id": "b", "text": "41 bis 59" }, { "id": "c", "text": "30 bis 70" }, { "id": "d", "text": "48 bis 52" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "1,96 · σ = 9,8, also 50 ± 9,8: die ganzen Zahlen von 41 bis 59. Der Bereich 45 bis 55 ist nur μ ± σ, das sind etwa 68 %." }, { "id": "sl-ma-zufall-binomial-mindestens-einer", "prompt": "Wie berechnest du P(X ≥ 1) bei n = 10 und p = 0,25?", "options": [ { "id": "a", "text": "0,25¹⁰" }, { "id": "b", "text": "1 − 0,25¹⁰" }, { "id": "c", "text": "1 − 0,75¹⁰" }, { "id": "d", "text": "10 · 0,25" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "„Mindestens einer“ ist das Gegenereignis von „keiner“. P(X = 0) = 0,75¹⁰, also P(X ≥ 1) = 1 − 0,75¹⁰." }, { "id": "sl-ma-zufall-binomial-gegenereignis", "prompt": "Wie schreibst du „mindestens 3 Treffer“ mit dem Gegenereignis?", "options": [ { "id": "a", "text": "1 − P(X ≤ 3)" }, { "id": "b", "text": "1 − P(X ≤ 2)" }, { "id": "c", "text": "P(X ≤ 3)" }, { "id": "d", "text": "1 − P(X = 3)" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Das Gegenteil von „mindestens 3“ ist „höchstens 2“. Mit 1 − P(X ≤ 3) würdest du die 3 fälschlich herausnehmen." }, { "id": "sl-ma-zufall-binomial-klausur-histogramm", "prompt": "IQB-Aufgabe: X ist binomialverteilt mit n = 36 und p = 25/36. Wo müssen die höchsten Säulen des Histogramms liegen?", "options": [ { "id": "a", "text": "bei 18" }, { "id": "b", "text": "bei 36" }, { "id": "c", "text": "bei 25/36" }, { "id": "d", "text": "bei 25" } ], "correctOptionId": "d", "explanation": "Der Erwartungswert ist n · p = 36 · 25/36 = 25. In seiner Nähe liegen die höchsten Säulen." }, { "id": "sl-ma-zufall-binomial-operator-begruenden", "prompt": "„Begründen Sie für jede Abbildung, dass sie nicht die Verteilung von X zeigt.“ Was reicht?", "options": [ { "id": "a", "text": "Für jede Abbildung ein konkreter Grund, zum Beispiel: „Die höchste Säule liegt bei 20 statt bei 25.“" }, { "id": "b", "text": "Der Satz: „Die Abbildungen sehen falsch aus.“" }, { "id": "c", "text": "Die richtige Verteilung vollständig ausrechnen." }, { "id": "d", "text": "Eine Abbildung begründen, die anderen folgen daraus." } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "Begründen heißt laut Operatorenliste: Sachverhalte „verbal oder formal unter Darlegung des Vorgehens auf bekannte Sätze, Regeln oder Eigenschaften zurückführen“. Pro Abbildung genügt ein treffender Grund, aber er muss konkret sein." } ] }, { "cardId": "sl-ma-zufall-normalverteilung", "questions": [ { "id": "sl-ma-zufall-normalverteilung-flaeche", "prompt": "X ist normalverteilt mit μ = 500 und σ = 4. Was ist P(X = 500)?", "options": [ { "id": "a", "text": "Etwa 0,0997, die Höhe der Glocke." }, { "id": "b", "text": "0" }, { "id": "c", "text": "0,5" }, { "id": "d", "text": "Etwa 0,683" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Bei einer stetigen Zufallsgröße hat ein einzelner Wert die Wahrscheinlichkeit 0. Wahrscheinlichkeiten sind Flächen, die Höhe der Glocke ist keine." }, { "id": "sl-ma-zufall-normalverteilung-sigma", "prompt": "Wie groß ist P(μ − 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) bei einer Normalverteilung ungefähr?", "options": [ { "id": "a", "text": "0,683" }, { "id": "b", "text": "0,954" }, { "id": "c", "text": "0,997" }, { "id": "d", "text": "0,5" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Das ist die 2σ-Regel: etwa 95,4 % liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen um μ." }, { "id": "sl-ma-zufall-normalverteilung-dichte", "prompt": "Die Dichtefunktion ist φ(x) = 1/(2 · √(2π)) · e^(−(x − 7)²/8). Welche Werte haben μ und σ?", "options": [ { "id": "a", "text": "μ = 7, σ = 2" }, { "id": "b", "text": "μ = 7, σ = 8" }, { "id": "c", "text": "μ = −7, σ = 4" }, { "id": "d", "text": "μ = 2, σ = 7" } ], "correctOptionId": "a", "explanation": "Im Exponenten steht (x − μ)², also μ = 7. Der Nenner 8 ist 2σ², also σ² = 4 und σ = 2. Das passt zum Faktor 1/(σ · √(2π))." }, { "id": "sl-ma-zufall-normalverteilung-klausur-symmetrie", "prompt": "In der IQB-Aufgabe liegen etwa 68 % der Werte von A in [6; 10]. Wie groß ist P(A > 10)?", "options": [ { "id": "a", "text": "32 %" }, { "id": "b", "text": "16 %" }, { "id": "c", "text": "68 %" }, { "id": "d", "text": "34 %" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Außerhalb liegen 32 %, wegen der Symmetrie zu x = 8 die Hälfte rechts: 16 %." }, { "id": "sl-ma-zufall-normalverteilung-klausur-sigma", "prompt": "Was gilt für den Graphen der Dichtefunktion von B (gleicher Erwartungswert, größere Standardabweichung als A)?", "options": [ { "id": "a", "text": "Er ist schmaler und höher." }, { "id": "b", "text": "Er ist nach rechts verschoben." }, { "id": "c", "text": "Er ist breiter und flacher, symmetrisch zu x = 8." }, { "id": "d", "text": "Er hat eine größere Fläche als 1." } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Größeres σ macht die Glocke breiter. Weil die Fläche 1 bleibt, wird sie flacher. Der Erwartungswert und damit die Symmetrieachse bleiben gleich." } ] }, { "cardId": "sl-ma-zufall-hypothesentest", "questions": [ { "id": "sl-ma-zufall-hypothesentest-seite", "prompt": "H₀: p ≤ 0,1 (höchstens 10 % Ausschuss). Wo liegt der Ablehnungsbereich?", "options": [ { "id": "a", "text": "Links, bei wenigen defekten Teilen." }, { "id": "b", "text": "Rechts, bei vielen defekten Teilen." }, { "id": "c", "text": "Auf beiden Seiten." }, { "id": "d", "text": "Genau bei n · p." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Gegen H₀ sprechen viele defekte Teile. Deshalb liegt der Ablehnungsbereich rechts: {k; …; n}." }, { "id": "sl-ma-zufall-hypothesentest-k", "prompt": "X ~ B(50; 0,1), α = 5 %. Es gilt P(X ≥ 9) ≈ 0,058 und P(X ≥ 10) ≈ 0,025. Welcher Ablehnungsbereich gilt?", "options": [ { "id": "a", "text": "{9; …; 50}" }, { "id": "b", "text": "{10; …; 50}" }, { "id": "c", "text": "{5; …; 50}" }, { "id": "d", "text": "{0; …; 9}" } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Gesucht ist das kleinste k mit P(X ≥ k) ≤ 0,05. Für k = 9 ist die Wahrscheinlichkeit noch zu groß, für k = 10 nicht mehr." }, { "id": "sl-ma-zufall-hypothesentest-fehler", "prompt": "Was ist ein Fehler 1. Art?", "options": [ { "id": "a", "text": "H₀ wird beibehalten, obwohl sie falsch ist." }, { "id": "b", "text": "H₀ wird verworfen, obwohl sie stimmt." }, { "id": "c", "text": "Die Stichprobe ist zu klein." }, { "id": "d", "text": "Der Ablehnungsbereich liegt auf der falschen Seite." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Fehler 1. Art: H₀ wird zu Unrecht verworfen. Seine Wahrscheinlichkeit ist höchstens α. Den Fehler 2. Art macht man, wenn man H₀ beibehält, obwohl sie falsch ist." }, { "id": "sl-ma-zufall-hypothesentest-klausur-regel", "prompt": "IQB-Aufgabe: X ~ B(200; 0,1), P(X ≥ 27) ≈ 6,7 %, P(X ≥ 28) ≈ 4,3 %, α = 5 %. Ab wie vielen Nichterscheinenden wird H₀ abgelehnt?", "options": [ { "id": "a", "text": "ab 20" }, { "id": "b", "text": "ab 27" }, { "id": "c", "text": "ab 28" }, { "id": "d", "text": "ab 64" } ], "correctOptionId": "c", "explanation": "Gesucht ist das kleinste k mit P(X ≥ k) ≤ 5 %. Für 27 sind es noch 6,7 %, für 28 nur 4,3 %." }, { "id": "sl-ma-zufall-hypothesentest-klausur-fehler2", "prompt": "Was ist in der Aufgabe der Fehler zweiter Art?", "options": [ { "id": "a", "text": "Das Unternehmen erhöht die Reservierungen, obwohl höchstens 10 % nicht erscheinen." }, { "id": "b", "text": "Das Unternehmen bleibt bei 64 Reservierungen, obwohl in Wirklichkeit mehr als 10 % nicht erscheinen." }, { "id": "c", "text": "Die Stichprobe ist zu klein." }, { "id": "d", "text": "Es erscheinen mehr als 60 Personen." } ], "correctOptionId": "b", "explanation": "Fehler zweiter Art: H₀ wird beibehalten, obwohl sie falsch ist. Hier bleibt das Unternehmen bei der bisherigen Zahl, obwohl der Anteil der Nichterscheinenden gestiegen ist." } ] } ] }