WissenMechanik
\nIn der Prüfung bekommst du eine Bewegung als Text, Diagramm oder Messreihe und sollst rechnen und deuten; Punkte gibt es für die passende Formel, Einheiten und einen nachvollziehbaren Weg, nicht nur fürs Ergebnis. Die Kinematik beschreibt Bewegungen mit drei Größen: Ort s, Geschwindigkeit v und Beschleunigung a. Bei der gleichförmigen Bewegung bleibt v gleich, dann gilt s = v·t. Bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung bleibt a gleich, dann gilt v = a·t + v₀ und s = ½·a·t² + v₀·t. Im v(t)-Diagramm ist die Steigung die Beschleunigung und die Fläche unter der Kurve der Weg. Ein Wurf ist die Überlagerung zweier Bewegungen, die sich nicht stören: waagerecht gleichförmig, senkrecht freier Fall.
Leistungskurs 11, Lernbereich „Kinematik und Dynamik – Praktikum“: Bewegungen experimentell und rechnergestützt untersuchen, v(t) = ds/dt, a(t) = dv/dt, waagerechter Wurf als Überlagerung x(t) = v₀·t und y(t) = −½·g·t² + y₀. Im Grundkurs gehört die dynamische Betrachtung geradliniger Bewegungen zum Lernbereich „Mechanische Grundlagen“.
Quellen: Lehrplan Gymnasium Physik (Sächsischer Bildungsserver)
Ein Auto fährt an, rollt gleichmäßig, bremst. Ein Ball fliegt in einem Bogen. Die KinematikLehre von der Beschreibung von Bewegungen, ohne nach den Kräften zu fragen beschreibt solche Bewegungen, ohne zu fragen, welche Kräfte dahinterstecken; das macht die Dynamik.
\nDazu betrachtet man den Körper als PunktmasseModell: die ganze Masse in einem Punkt, Form und Drehung spielen keine Rolle. Die Geschwindigkeitwie schnell sich der Ort ändert: v = Δs/Δt, Einheit m/s sagt, wie schnell sich der Ort ändert, die Beschleunigungwie schnell sich die Geschwindigkeit ändert: a = Δv/Δt, Einheit m/s², wie schnell sich die Geschwindigkeit ändert. 1 m/s² heißt: In jeder Sekunde wird der Körper um 1 m/s schneller.
\nv(t)-Diagramm einer Autofahrt · Die Steigung ist die Beschleunigung, die Fläche unter der Kurve der Weg.
\n\n\n\nIm v(t)-Diagramm steckt alles: Die Steigung eines Abschnitts ist die Beschleunigung, die Fläche unter der Kurve ist der zurückgelegte Weg. Hier: 25 m beim Anfahren, 30 m bei konstanter Fahrt, 10 m beim Bremsen. Im s(t)-Diagramm ist die Steigung die Geschwindigkeit; eine gekrümmte Kurve heißt, die Geschwindigkeit ändert sich.
\n\nWaagerechter Wurf · Die Bahn setzt sich aus gleichförmiger Bewegung waagerecht und freiem Fall senkrecht zusammen.
\n\n\n\nBeim waagerechten Wurf laufen zwei Bewegungen gleichzeitig ab, ohne sich zu stören (SuperpositionÜberlagerung zweier Bewegungen, die unabhängig voneinander ablaufen): waagerecht gleichförmig mit v₀, senkrecht freier Fall mit g = 9,81 m/s².
\nBeim senkrechten Wurf nach oben gilt v(t) = v₀ − g·t. Am höchsten Punkt ist v = 0, also nach t = v₀/g. Die Wurfhöhe ist h = v₀²/(2·g). Luftwiderstand lässt man in diesen Modellen weg.
\n\nEine Kugel rollt über die Kante eines 0,80 m hohen Tisches und landet 1,20 m vom Tisch entfernt auf dem Boden. Berechnen Sie ihre Geschwindigkeit an der Kante und beim Aufprall.
\nFlugzeit aus der Fallhöhe: t = √(2·h/g) = √(2 · 0,80 m / 9,81 m/s²) ≈ 0,404 s.
\nWaagerecht gleichförmig: v₀ = x/t = 1,20 m / 0,404 s ≈ 2,97 m/s.
\nBeim Aufprall: vy = g·t ≈ 3,96 m/s, also v = √((2,97 m/s)² + (3,96 m/s)²) ≈ 4,95 m/s.
\nWelche Punkte dein Kurs braucht, steht im Kasten deines Landes oben.
\nThema: Wagen auf der schiefen Fahrbahn. Ein Wagen startet aus der Ruhe und rollt eine geneigte Fahrbahn hinab. Lichtschranken messen, wann er bestimmte Stellen erreicht.
\n| t in s | 0 | 0,50 | 1,00 | 1,50 | 2,00 |
|---|---|---|---|---|---|
| s in m | 0 | 0,11 | 0,39 | 0,91 | 1,59 |
1 Begründen Sie mit allen Messwerten, dass es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt, und bestimmen Sie die Beschleunigung. (6 BE)
\n2 Berechnen Sie die Geschwindigkeit nach 2,00 s und skizzieren Sie das v(t)-Diagramm. (4 BE)
\n3 Die Fahrbahn ist 2,50 m lang. Ermitteln Sie, wann der Wagen das Ende erreicht und wie schnell er dann ist. (4 BE)
\n4 Ein Mitschüler meint, man könne die Geschwindigkeit nach 2,00 s einfach als 1,59 m / 2,00 s berechnen. Beurteilen Sie das. (3 BE)
\nÜbungsaufgabe von uns erstellt nach dem Muster der Abituraufgaben; Messwerte ausgedacht. BE heißt Bewertungseinheiten.
\nZu 1 (AFB II): Bei Start aus der Ruhe gilt s = ½·a·t², also muss s/t² konstant sein. s/t² = 0,44; 0,39; 0,404; 0,398 m/s². Die Quotienten sind im Rahmen der Messgenauigkeit gleich, Mittelwert ≈ 0,41 m/s². Also gleichmäßig beschleunigt mit a = 2 · 0,41 m/s² ≈ 0,82 m/s².
\nZu 2 (AFB I und II): v = a·t = 0,82 m/s² · 2,00 s ≈ 1,6 m/s. Das v(t)-Diagramm ist eine Ursprungsgerade mit der Steigung 0,82 m/s².
\nZu 3 (AFB II): t = √(2·s/a) = √(2 · 2,50 m / 0,816 m/s²) ≈ 2,5 s. v = a·t ≈ 0,816 m/s² · 2,48 s ≈ 2,0 m/s (oder v = √(2·a·s) ≈ 2,0 m/s).
\nZu 4 (AFB III): 1,59 m / 2,00 s ≈ 0,80 m/s ist die mittlere Geschwindigkeit in den ersten zwei Sekunden, nicht die Geschwindigkeit nach 2,00 s. Weil der Wagen gleichmäßig schneller wird, ist die Endgeschwindigkeit doppelt so groß wie die mittlere: etwa 1,6 m/s. Die Aussage ist also falsch.
\nWas die Korrektur erwartet: In 1 eine Prüfung aller Wertepaare mit Ansatz, in 3 und 4 klare Begründungen mit Formeln und Einheiten.
\nEin Auto fährt mit 50 km/h. Die Fahrerin reagiert nach 1,0 s und bremst dann mit a = −6,0 m/s² bis zum Stillstand.
\na) Berechne den Anhalteweg.
\nb) Wie lang ist er bei 60 km/h?
\na) v₀ = 50 km/h ≈ 13,9 m/s. Reaktionsweg (gleichförmig): 13,9 m/s · 1,0 s ≈ 13,9 m. Bremsweg aus v² = v₀² + 2·a·s mit v = 0: s = v₀²/(2 · 6,0 m/s²) ≈ 16,1 m. Anhalteweg ≈ 30 m.
\nb) v₀ ≈ 16,7 m/s: Reaktionsweg 16,7 m, Bremsweg ≈ 23,1 m, zusammen ≈ 40 m. Der Bremsweg wächst mit v², deshalb bringen schon 10 km/h mehr fast 10 m.
\nWissenMechanik
\nDie Dynamik fragt, warum sich Bewegungen ändern: wegen Kräften. Ohne resultierende Kraft bleibt ein Körper in Ruhe oder bewegt sich gleichförmig weiter (Trägheitsprinzip). Wirkt eine resultierende Kraft, beschleunigt sie den Körper: F = m·a. Kräfte treten immer paarweise auf, gleich groß und entgegengesetzt, aber an zwei verschiedenen Körpern. Mit einer Kräftebilanz löst du fast jede Aufgabe: Körper freistellen, Kräfte einzeichnen, Richtung festlegen, addieren, nach der gesuchten Größe umstellen.
Leistungskurs 11, Lernbereich „Kräfte“: Reibung FR = μ·FN und Luftreibung, Zerlegung von Kräften an der geneigten Ebene, Grundgesetz der Mechanik ΣF = m·a = dp/dt, Wechselwirkungsgesetz. Grundkurs 11, „Mechanische Grundlagen“: Superposition der Kräfte, F = m·a, Reibung und Bewegung auf horizontaler und geneigter Ebene.
Quellen: Lehrplan Gymnasium Physik (Sächsischer Bildungsserver)
Ein Puck auf dem Eis gleitet fast endlos weiter, ein Buch auf dem Tisch bleibt nach einem Schubs schnell liegen. Früher dachte man, Bewegung brauche immer eine Kraft. Isaac Newton zeigte: Nicht die Bewegung braucht eine Kraft, sondern ihre Änderung. Das Buch bleibt liegen, weil die Reibung es bremst.
\nEine KraftUrsache dafür, dass sich die Bewegung eines Körpers ändert oder er sich verformt; Einheit Newton, 1 N = 1 kg·m/s² hat Betrag und Richtung, sie ist ein Pfeil (Vektor). Wirken mehrere Kräfte, zählt ihre Summe, die resultierende Kraftdie Summe aller Kräfte auf einen Körper, als Pfeile addiert. Kräfte zerlegst und addierst du wie Pfeile.
\nZerlegung der Gewichtskraft auf der schiefen Ebene · Die Gewichtskraft teilt sich in Hangabtriebskraft und Normalkomponente; daran erkennst du, was den Klotz bergab zieht.
\n\n\n\nAuf einer Ebene mit Neigungswinkel α teilst du die Gewichtskraft in einen Teil entlang der Ebene und einen senkrecht dazu:
\nEin Schlitten (20 kg) gleitet einen Hang mit α = 30° hinunter, Reibungszahl μ = 0,10. Berechnen Sie seine Beschleunigung.
\nFG = 20 kg · 9,81 m/s² = 196,2 N. FH = 196,2 N · sin 30° = 98,1 N. FN = 196,2 N · cos 30° ≈ 169,9 N.
\nFR = 0,10 · 169,9 N ≈ 17,0 N. Fres = 98,1 N − 17,0 N ≈ 81,1 N hangabwärts.
\na = Fres/m = 81,1 N / 20 kg ≈ 4,06 m/s².
\nWelche Punkte dein Kurs braucht, steht im Kasten deines Landes oben.
\nThema: das Grundgesetz F = m·a auf der Fahrbahn prüfen. Ein Wagen rollt reibungsarm auf einer waagerechten Fahrbahn und wird über einen Faden und eine Umlenkrolle von einem fallenden Massestück gezogen. Für jede Messung werden Massestücke vom Wagen an den Faden umgehängt; die Gesamtmasse von Wagen und Anhängemasse bleibt 0,55 kg.
\n| Anhängemasse m in g | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|
| a in m/s² | 0,18 | 0,35 | 0,54 | 0,72 | 0,88 |
1 Erklären Sie, warum die Massestücke umgehängt werden, statt neue hinzuzunehmen. (3 BE)
\n2 Zeigen Sie mit allen Messwerten, dass die Beschleunigung proportional zur antreibenden Kraft ist, und bestimmen Sie daraus die bewegte Gesamtmasse. (6 BE)
\n3 In Wirklichkeit gibt es eine kleine Reibung. Beschreiben Sie, wie sie sich im a(F)-Diagramm zeigen würde. (3 BE)
\n4 Bei m = 50 g: Berechnen Sie die Kraft im Faden einmal für den Wagen (0,50 kg) und einmal für das Massestück. Deuten Sie das Ergebnis. (5 BE)
\nÜbungsaufgabe von uns erstellt nach dem Muster der Abituraufgaben; Messwerte ausgedacht. BE heißt Bewertungseinheiten.
\nZu 1 (AFB II): Angetrieben wird das ganze System aus Wagen und Anhängemasse, also gilt F = mges·a mit F = m·g. Damit man nur den Einfluss der Kraft sieht, muss die bewegte Masse mges gleich bleiben. Neue Massestücke würden Kraft und Masse zugleich erhöhen.
\nZu 2 (AFB II): F = m·g = 0,098; 0,196; 0,294; 0,392; 0,491 N. Quotientengleichheit F/a = 0,545; 0,561; 0,545; 0,545; 0,557 kg. Die Quotienten sind im Rahmen der Messgenauigkeit gleich, also gilt a ~ F. Der Mittelwert ≈ 0,55 kg ist die bewegte Gesamtmasse und stimmt mit den 0,55 kg überein.
\nZu 3 (AFB II): Die Reibung bremst mit einer etwa konstanten Kraft FR. Es gilt dann a = (F − FR)/mges: eine Gerade, die die F-Achse nicht im Ursprung, sondern bei FR schneidet. Unterhalb dieser Kraft fährt der Wagen gar nicht los.
\nZu 4 (AFB III): Wagen: Die Fadenkraft ist die einzige waagerechte Kraft, FFaden = 0,50 kg · 0,88 m/s² ≈ 0,44 N. Massestück: m·g − FFaden = m·a, also FFaden = 0,050 kg · (9,81 − 0,88) m/s² ≈ 0,45 N. Beide Werte stimmen im Rahmen der Genauigkeit überein: Der Faden zieht beide Körper mit derselben Kraft. Sie ist kleiner als die Gewichtskraft des Massestücks (0,49 N), weil es selbst beschleunigt wird.
\nWas die Korrektur erwartet: In 2 Ansatz und alle Messwerte, in 4 zwei getrennte Kräftebilanzen mit gewählter Richtung. Andere richtige Wege zählen gleich, etwa eine Ausgleichsgerade im a(F)-Diagramm.
\nEine Person (70 kg) steht in einem Aufzug auf einer Personenwaage. Der Aufzug fährt an und beschleunigt mit 1,5 m/s² nach oben. Welche Kraft übt die Waage auf die Person aus, und welche „Masse“ zeigt sie an?
\nKräftebilanz, nach oben positiv: FN − m·g = m·a, also FN = m·(g + a) = 70 kg · 11,31 m/s² ≈ 792 N.
\nDie Waage rechnet mit g: 792 N / 9,81 m/s² ≈ 81 kg. Im beschleunigten Aufzug fühlst du dich schwerer.
\nWissenMechanik
\nEnergie und Impuls sind die beiden großen Erhaltungsgrößen der Mechanik. Energie kann ihre Form wechseln, etwa von Lageenergie m·g·h zu Bewegungsenergie ½·m·v², aber in einem abgeschlossenen System geht keine verloren; Reibung macht aus mechanischer Energie Wärme. Der Impuls p = m·v hat eine Richtung und bleibt bei jedem Stoß erhalten, auch wenn dabei Bewegungsenergie verloren geht. Mit Bilanzen, „vorher gleich nachher“, löst du viele Aufgaben, ohne die Kräfte im Einzelnen zu kennen.
Leistungskurs 11, Lernbereich „Erhaltungssätze und ihre Anwendungen“: Energieerhaltung in abgeschlossenen Systemen, Arbeit W = F·s·cos α auch grafisch, Herleitung von Ekin, Epot und Esp, Impuls, zentrale elastische und unelastische Stöße, Kraftstoß. Grundkurs 11: Energieerhaltungssatz für reibungsfreie mechanische Systeme.
Quellen: Lehrplan Gymnasium Physik (Sächsischer Bildungsserver)
Eine Achterbahn wird einmal auf den höchsten Punkt gezogen und rollt dann ohne Antrieb durch alle Täler und Kurven. Woher weiß man, wie schnell sie unten ist? Man muss nicht jede Kraft auf jedem Bahnstück kennen: Es reicht, Energie am Anfang und Energie am Ende zu vergleichen.
\nÄhnlich bei Zusammenstößen: Was während des Aufpralls genau passiert, ist kompliziert. Aber der Gesamtimpuls vorher ist derselbe wie nachher. Solche ErhaltungssätzeGesetze, nach denen eine Größe in einem abgeschlossenen System gleich bleibt, etwa Energie oder Impuls gehören zu den mächtigsten Werkzeugen der Physik.
\nWirkt eine Kraft F längs eines Weges s in Wegrichtung, verrichtet sie die ArbeitKraft mal Weg in Kraftrichtung, W = F·s; Einheit Joule, 1 J = 1 N·m W = F·s. Ist F nicht konstant, ist W die Fläche unter der Kurve im F(s)-Diagramm. Arbeit ändert die Energie eines Körpers:
\nIn einem abgeschlossenen SystemSystem, das mit der Umgebung weder Energie noch Impuls austauscht ohne Reibung bleibt die mechanische Energie gleich: Epot + Ekin + ESpann = konstant. Mit Reibung bleibt die Gesamtenergie trotzdem erhalten, nur ein Teil steckt danach als Wärme in Körper und Umgebung. So stellst du eine Bilanz auf:
\nEnergie am Anfang = Energie am Ende + Reibungsarbeit
Beispiel: Fällt ein Körper reibungsfrei aus der Höhe h, gilt m·g·h = ½·m·v², also v = √(2·g·h). Die Masse kürzt sich.
\n\nElastischer Stoß vorher und nachher · Gesamtimpuls und Bewegungsenergie sind vorher und nachher gleich; so prüfst du deine Rechnung.
\n\n\n\nDer ImpulsMasse mal Geschwindigkeit, p = m·v; hat eine Richtung, Einheit kg·m/s ist p = m·v, ein Pfeil mit Richtung. Eine Kraft, die die Zeit Δt wirkt, ändert ihn: F·Δt = Δp (KraftstoßKraft mal Einwirkzeit; gleich der Impulsänderung). Deshalb schützt ein Airbag: Er verlängert die Bremszeit, bei gleicher Impulsänderung wird die Kraft kleiner.
\nIn einem abgeschlossenen System bleibt der Gesamtimpuls erhalten. Auch der Rückstoß folgt daraus: Springst du von einem ruhenden Boot nach vorn, rollt das Boot nach hinten, und die Impulse heben sich auf. Eine Rakete stößt Gas nach hinten aus und bekommt gleich viel Impuls nach vorn.
\n\nEin Auto (1200 kg, 15 m/s) fährt auf ein stehendes Auto (800 kg) auf. Beide verhaken sich. Berechnen Sie die gemeinsame Geschwindigkeit und die Energie, die in Verformung und Wärme geht.
\nImpulserhaltung: 1200 kg · 15 m/s = 2000 kg · v′, also v′ = 9,0 m/s.
\nEkin vorher = ½ · 1200 kg · (15 m/s)² = 135 kJ. Nachher = ½ · 2000 kg · (9,0 m/s)² = 81 kJ.
\n54 kJ, also 40 % der Bewegungsenergie, stecken danach in Verformung und Wärme.
\nWelche Punkte dein Kurs braucht, steht im Kasten deines Landes oben.
\nThema: Geschwindigkeit eines Geschosses mit dem ballistischen Pendel. Ein Geschoss (5,0 g) fliegt waagerecht in einen Holzklotz (1,000 kg), der an langen Fäden hängt, und bleibt darin stecken. Der Klotz schwingt aus und steigt dabei um 5,0 cm.
\n1 Beschreiben Sie die Energie- und Impulsumwandlungen in den zwei Phasen „Einschlag“ und „Ausschwingen“. (4 BE)
\n2 Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Klotzes direkt nach dem Einschlag und daraus die Geschwindigkeit des Geschosses. (6 BE)
\n3 Bestimmen Sie, welcher Anteil der Bewegungsenergie des Geschosses beim Einschlag in Wärme und Verformung geht. (3 BE)
\n4 Ein Schüler rechnet direkt ½·mGeschoss·v² = (mGeschoss + mKlotz)·g·h. Beurteilen Sie diesen Ansatz. (4 BE)
\nÜbungsaufgabe von uns erstellt nach dem Muster der Abituraufgaben. BE heißt Bewertungseinheiten.
\nZu 1 (AFB I und II): Einschlag: vollkommen unelastischer Stoß. Der Impuls bleibt erhalten, ein großer Teil der Bewegungsenergie wird zu Wärme und Verformung. Ausschwingen: Ohne Reibung wird die Bewegungsenergie von Klotz und Geschoss ganz zu Lageenergie; der Impuls bleibt dabei nicht erhalten, weil Fäden und Gewichtskraft von außen wirken.
\nZu 2 (AFB II): Ausschwingen: ½·M·v′² = M·g·h mit M = 1,005 kg, also v′ = √(2·g·h) = √(2 · 9,81 m/s² · 0,050 m) ≈ 0,99 m/s. Einschlag: m·v = M·v′, also v = M·v′/m = 1,005 kg · 0,990 m/s / 0,0050 kg ≈ 2,0·10² m/s.
\nZu 3 (AFB II): Vorher: ½ · 0,0050 kg · (199 m/s)² ≈ 99 J. Nachher: ½ · 1,005 kg · (0,990 m/s)² ≈ 0,49 J. Es gehen also gut 99,5 % in Wärme und Verformung.
\nZu 4 (AFB III): Der Ansatz ist falsch. Er setzt voraus, dass die Bewegungsenergie des Geschosses ganz zu Lageenergie wird. Beim Einschlag geht aber fast alle Energie in Wärme und Verformung. Über diesen Schritt hilft nur die Impulserhaltung. Mit dem falschen Ansatz käme v = √(2·M·g·h/m) ≈ 14 m/s heraus, rund ein Vierzehntel des richtigen Werts.
\nWas die Korrektur erwartet: Die zwei Phasen getrennt, für jede der passende Erhaltungssatz mit Begründung, Rechnung mit Einheiten. Andere richtige Wege zählen gleich.
\nEin Klotz (0,50 kg) gleitet aus 1,25 m Höhe eine Bahn hinunter.
\na) Wie schnell wäre er unten ohne Reibung?
\nb) Gemessen werden 4,0 m/s. Wie viel Energie ist durch Reibung in Wärme umgewandelt worden?
\na) m·g·h = ½·m·v², also v = √(2·g·h) = √(2 · 9,81 m/s² · 1,25 m) ≈ 4,95 m/s. Die Masse kürzt sich.
\nb) Am Anfang Epot = 0,50 kg · 9,81 m/s² · 1,25 m ≈ 6,13 J, am Ende Ekin = ½ · 0,50 kg · (4,0 m/s)² = 4,0 J. Differenz ≈ 2,1 J.
\n