Abstand Punkt–Ebene: Aufgaben mit Lösungen als PDF
Drei Arbeitsblätter zum Abstand Punkt–Ebene, jedes als PDF mit Lösungen auf Seite 2: erst mit der Hesseschen Normalform, dann mit Lotfußpunkt und Spiegelpunkt, zum Schluss Anwendungen. Alle Zahlen sind so gewählt, dass glatte Ergebnisse herauskommen, und doppelt nachgerechnet.
- Thema
- Abstand Punkt–Ebene
- Einsatz
- Oberstufe, Abitur (alle Länder)
- Umfang
- 3 Arbeitsblätter, je ein PDF mit Lösungshinweisen
- Lizenz
- CC BY 4.0, Eigene Aufgaben, alle Ergebnisse doppelt nachgerechnet
Alle Arbeitsblätter als PDF
Arbeitsblatt 1: Abstand mit der Hesseschen Normalform
📄 Arbeitsblatt 1 als PDF herunterladen (Seite 2: Lösungshinweise)
Für eine Ebene E: n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d und einen Punkt P gilt: Abstand = |n₁p₁ + n₂p₂ + n₃p₃ − d| geteilt durch die Länge des Normalenvektors |n|.
Aufgaben
- Berechnen Sie den Abstand von P(3|4|5) zur Ebene E: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 6.
- Berechnen Sie den Abstand von P(4|−1|2) zur Ebene E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 3.
- Berechnen Sie den Abstand von P(5|4|3) zur Ebene E: 2x₁ + 3x₂ + 6x₃ = 12.
- Berechnen Sie den Abstand von P(1|1|1) zur Ebene E: 4x₁ + 4x₂ + 7x₃ = 0.
- Prüfen Sie, ob P(2|2|0) in der Ebene E: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 6 liegt, und geben Sie den Abstand an.
Lösungshinweise anzeigen
- |n| = √(1+4+4) = 3. Abstand = |3 + 8 + 10 − 6| / 3 = 15/3 = 5.
- |n| = √(4+1+4) = 3. Abstand = |8 + 1 + 4 − 3| / 3 = 10/3 ≈ 3,33.
- |n| = √(4+9+36) = 7. Abstand = |10 + 12 + 18 − 12| / 7 = 28/7 = 4.
- |n| = √(16+16+49) = 9. Abstand = |4 + 4 + 7 − 0| / 9 = 15/9 = 5/3 ≈ 1,67.
- 2 + 4 + 0 = 6, also liegt P in E. Der Abstand ist 0.
Arbeitsblatt 2: Lotfußpunkt und Spiegelpunkt
📄 Arbeitsblatt 2 als PDF herunterladen (Seite 2: Lösungshinweise)
Gegeben ist die Ebene E durch den Punkt A(2|0|1) mit den Spannvektoren u = (2|−1|0) und v = (0|1|−1) sowie der Punkt P(4|5|3).
Aufgaben
- Bestimmen Sie einen Normalenvektor von E und eine Koordinatengleichung von E.
- Berechnen Sie den Abstand von P zu E.
- Bestimmen Sie den Lotfußpunkt F, also den Punkt von E, der P am nächsten liegt.
- Bestimmen Sie den Spiegelpunkt P′ von P an der Ebene E.
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- n = u × v = (1|2|2). Mit A: 1·2 + 2·0 + 2·1 = 4, also E: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 4.
- |n| = 3. Abstand = |4 + 10 + 6 − 4| / 3 = 16/3 ≈ 5,33.
- Lotgerade g: x = (4|5|3) + t·(1|2|2) in E einsetzen: (4 + t) + 2(5 + 2t) + 2(3 + 2t) = 4 ergibt 20 + 9t = 4, also t = −16/9. F = (4 − 16/9 | 5 − 32/9 | 3 − 32/9) = (20/9 | 13/9 | −5/9). Probe: 20/9 + 26/9 − 10/9 = 36/9 = 4.
- P′ liegt auf dem Lot doppelt so weit: t = −32/9, also P′ = (4 − 32/9 | 5 − 64/9 | 3 − 64/9) = (4/9 | −19/9 | −37/9).
Arbeitsblatt 3: Anwendungen: Lampe, parallele Ebenen
📄 Arbeitsblatt 3 als PDF herunterladen (Seite 2: Lösungshinweise)
Eine schräge Dachfläche liegt in der Ebene E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 12 (Längen in Metern).
Aufgaben
- Eine Lampe hängt im Punkt L(1|1|1). Berechnen Sie ihren Abstand zur Dachfläche.
- Eine zweite Ebene F: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 3 verläuft parallel zu E. Begründen Sie, dass E und F parallel sind, und berechnen Sie ihren Abstand.
- Prüfen Sie Ihr Ergebnis aus Aufgabe 2 mit dem Punkt Q(0|3|0) von F.
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- |n| = √(4+1+4) = 3. Abstand = |2 + 1 + 2 − 12| / 3 = 7/3 ≈ 2,33 m.
- Beide Ebenen haben denselben Normalenvektor (2|1|2), die rechten Seiten sind verschieden, also sind sie parallel und verschieden. Abstand = |12 − 3| / 3 = 3 m.
- Q liegt in F: 0 + 3 + 0 = 3. Abstand von Q zu E: |0 + 3 + 0 − 12| / 3 = 9/3 = 3 m, wie in Aufgabe 2.
Lizenz und Nennung
Arbeitsblätter, Aufgaben, Lösungshinweise und Grafiken stehen unter CC BY 4.0. Sie dürfen sie kopieren, verändern und weitergeben, auch in Lernplattformen, wenn Sie die Quelle nennen, zum Beispiel: Arbeitsblatt: abitur-vorbereitung-online.de, CC BY 4.0. Eigene Aufgaben, alle Ergebnisse doppelt nachgerechnet.
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