Binomialverteilung: Aufgaben mit Lösungen als PDF
Zwei Arbeitsblätter zur Binomialverteilung, jedes als PDF mit Lösungsweg auf Seite 2: Bernoulli-Formel, kumulierte Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswert und Standardabweichung, dazu die typische „mindestens einmal“-Aufgabe. Alle Werte sind nachgerechnet (gerundet auf vier Nachkommastellen).
- Thema
- Binomialverteilung
- Einsatz
- Oberstufe, Abitur (alle Länder)
- Umfang
- 2 Arbeitsblätter, je ein PDF mit Lösungshinweisen
- Lizenz
- CC BY 4.0, Eigene Aufgaben, alle Ergebnisse doppelt nachgerechnet
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Arbeitsblatt 1: Bernoulli-Formel und Kennzahlen
📄 Arbeitsblatt 1 als PDF herunterladen (Seite 2: Lösungshinweise)
Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 0,3. Es gilt P(X = k) = (n über k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Aufgaben
- Berechnen Sie P(X = 3).
- Berechnen Sie P(X ≤ 2).
- Berechnen Sie P(X ≥ 1).
- Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung von X.
Lösungshinweise anzeigen
- P(X = 3) = (10 über 3) · 0,3³ · 0,7⁷ = 120 · 0,027 · 0,0823543 ≈ 0,2668.
- P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) ≈ 0,0282 + 0,1211 + 0,2335 ≈ 0,3828.
- Gegenereignis: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,7¹⁰ ≈ 1 − 0,0282 = 0,9718.
- E(X) = n · p = 3. σ = √(n · p · (1 − p)) = √2,1 ≈ 1,449.
Arbeitsblatt 2: Würfeln: Anwendung und „mindestens einmal“
📄 Arbeitsblatt 2 als PDF herunterladen (Seite 2: Lösungshinweise)
Ein fairer Würfel wird geworfen. X zählt die Sechsen.
Aufgaben
- Der Würfel wird 20-mal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für genau vier Sechsen.
- Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für mindestens fünf Sechsen bei 20 Würfen.
- Geben Sie die erwartete Anzahl Sechsen bei 20 Würfen an.
- Bestimmen Sie, wie oft man mindestens würfeln muss, damit mit mindestens 90 % Wahrscheinlichkeit wenigstens eine Sechs fällt.
Lösungshinweise anzeigen
- n = 20, p = 1/6: P(X = 4) = (20 über 4) · (1/6)⁴ · (5/6)¹⁶ ≈ 0,2022.
- P(X ≥ 5) = 1 − P(X ≤ 4) ≈ 1 − 0,7687 = 0,2313.
- E(X) = 20 · 1/6 = 10/3 ≈ 3,33.
- 1 − (5/6)ⁿ ≥ 0,9 ⇔ (5/6)ⁿ ≤ 0,1 ⇔ n ≥ ln 0,1 / ln(5/6) ≈ 12,63. Also mindestens 13 Würfe (Probe: n = 12 ergibt ≈ 0,8878, n = 13 ergibt ≈ 0,9065).
Lizenz und Nennung
Arbeitsblätter, Aufgaben, Lösungshinweise und Grafiken stehen unter CC BY 4.0. Sie dürfen sie kopieren, verändern und weitergeben, auch in Lernplattformen, wenn Sie die Quelle nennen, zum Beispiel: Arbeitsblatt: abitur-vorbereitung-online.de, CC BY 4.0. Eigene Aufgaben, alle Ergebnisse doppelt nachgerechnet.
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