Das Wort klingt nach Klausur-Panik. Dahinter steckt ein einfaches Bild: Du wiederholst denselben Versuch mit zwei Ausgängen und zählst die Treffer.
Du wirfst dreimal eine faire Münze und zählst, wie oft Kopf kommt. Jeder Wurf ist gleich, es gibt nur Kopf oder Zahl, und ein Wurf beeinflusst den nächsten nicht. Genau solche Situationen meint die Binomialverteilung. Passt eine Bedingung nicht, ist sie die falsche Schublade. Dann hilft ein Baumdiagramm, nicht die Formel.
Binomialverteilung üben, mit Lernkarten
Dieselbe Prüfung der Bedingungen, danach an einer Klausuraufgabe. Du wählst dein Bundesland.
Bundesland wählen →Vier Bedingungen, bevor du rechnest
- Feste Anzahl. Du weißt vorher, wie oft du wirfst. Das ist n.
- Nur Treffer oder nicht. Pro Versuch gibt es zwei Möglichkeiten, zum Beispiel Kopf oder Zahl.
- Gleiche Chance. Die Trefferwahrscheinlichkeit p ändert sich nicht von Versuch zu Versuch.
- Unabhängig. Ein Versuch verrät nichts über den nächsten.
Ziehen ohne Zurücklegen verletzt die dritte Bedingung: nach der ersten Kugel ist p ein anderes. Dafür ist die Binomialverteilung nicht gemacht.
Was n, p, k und X bedeuten
- n: wie oft du das Experiment wiederholst
- p: Chance auf Treffer bei einem Versuch
- k: eine konkrete Trefferzahl
- X: die Zufallsgröße „Anzahl der Treffer“
Die Formel für genau k Treffer:
P(X = k) = (n über k) · pk · (1 − p)n − k
„n über k“ zählt, auf wie vielen Wegen genau k Treffer in n Versuchen entstehen. Im zweiten Prüfungsteil liefert den Binomialkoeffizienten der Taschenrechner. Ohne Taschenrechner kommen kleine Fälle vor. „3 über 2“ ist 3, weil zwei Köpfe in drei Würfen so entstehen: KKZ, KZK, ZKK.
Mini-Rechnung: Faire Münze, n = 3, X = Anzahl Kopf. P(X = 2)?
- Bedingungen: n = 3 fest, Kopf oder nicht, p = 1/2 bleibt gleich, die Würfe sind unabhängig. Passt.
- P(X = 2) = (3 über 2) · (1/2)² · (1/2)¹ = 3 · 1/8 = 3/8.
- Zum Vergleich: P(X = 0) = 1/8 und P(X = 3) = 1/8, P(X = 1) = 3/8. Summe 1.
Mindestens, höchstens, mehr als
„Mindestens einer“ rechnest du über das Gegenereignis: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0). Der Haken sitzt bei der Grenze.
Dieselbe Münze, n = 3. Gesucht ist P(X ≥ 2), also mindestens zwei Köpfe.
- Mindestens 2 heißt: 2 oder 3. Das Gegenereignis ist 0 oder 1, also X ≤ 1.
- P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 1/8 + 3/8 = 1/2.
- P(X ≥ 2) = 1 − 1/2 = 1/2.
Falsch wäre 1 − P(X ≤ 2). Das lässt die 2 weg und liefert nur P(X = 3) = 1/8. Das ist „mindestens 3“ oder „mehr als 2“, nicht „mindestens 2“.
So liest du die Grenze: mindestens k heißt 1 − P(X ≤ k − 1). Höchstens k ist P(X ≤ k). Mehr als k ist 1 − P(X ≤ k).
Die Grenze bei mindestens an einer Klausuraufgabe
Die Lernkarte stellt genau diese Falle an einer Abituraufgabe, nicht nur am Münzwurf.
Zu den Lernkarten →Erwartungswert und Histogramm
E(X) = n · p ist die Trefferzahl, die du im Schnitt erwartest. Bei der Münze mit n = 3 ist E(X) = 3 · 1/2 = 1,5. Die höchsten Säulen liegen bei 1 und bei 2, also um 1,5 herum.
Die Streuung σ = √(n · p · (1 − p)) sagt, wie breit die Säulen um diesen Gipfel liegen. Bei der Münze ist σ = √(3 · 1/2 · 1/2) = √(3/4). In der Klausur musst du die Wurzel oft stehen lassen. Ein Histogramm „ungefähr richtig“ nennen, obwohl der Gipfel woanders sitzt oder die Säulen sich nicht zu 1 addieren, gibt keine Punkte.
Typische Fehler
Die Formel ansetzen, obwohl p sich ändert, zum Beispiel beim Ziehen ohne Zurücklegen.
„Mindestens 3“ als 1 − P(X ≤ 3) rechnen. Richtig ist 1 − P(X ≤ 2).
n und k vertauschen. n ist die Länge der Serie, k die Trefferzahl, nach der gefragt ist.
(1 − p) mit der Hochzahl k statt n − k versehen. Die Nicht-Treffer sind die restlichen Versuche.
Häufige Fragen
Ist jeder Münzwurf binomialverteilt?
Die Anzahl der Köpfe bei festem n und gleichbleibendem p ja. Ein einzelner Wurf ist nur ein Bernoulli-Versuch. Die Binomialverteilung zählt die Treffer über die ganze Serie.
Was schreibe ich hin, wenn ich nur begründen soll?
Oft gar keine ausgerechnete Wahrscheinlichkeit. Du nennst n und p, prüfst die vier Bedingungen in einem Satz und sagst, warum ein Diagramm zum Erwartungswert passt oder nicht.
Wie rechne ich höchstens 1?
P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1). Kein Gegenereignis nötig, solange die Summe kurz ist. Bei großem n nimmt der Taschenrechner die summierte Wahrscheinlichkeit.