Viele können Ableiten irgendwie und scheitern, sobald der Taschenrechner weg ist. Bei der e-Funktion liegt das fast immer an zwei Stellen: der Faktor aus der Kette fehlt, oder aus einem Produkt werden einfach beide Faktoren abgeleitet und multipliziert.
Die Ableitung an einer Stelle ist die Steigung der Straße genau dort. Positiv heißt bergauf, negativ bergab, null heißt eben. Bei f(x) = eˣ ist diese Steigung an jeder Stelle genau so groß wie der Funktionswert selbst.
e-Funktion üben, mit Lernkarten
Dieselbe Erklärung, danach eine Klausuraufgabe zum Aufschreiben und ein Lerncheck. Du wählst dein Bundesland.
Bundesland wählen →e hoch x ableiten
Die Ableitung von eˣ ist wieder eˣ. Das ist Absicht. eˣ wird nie null, und der Graph liegt immer oberhalb der x-Achse.
f(x) = eˣ ⇒ f′(x) = eˣ
Kettenregel: e hoch 3x
Steht im Exponenten nicht nur x, kommt die Ableitung von innen als Faktor dazu. Innen bei e3x ist 3x, und die Ableitung von 3x ist 3.
f(x) = e3x ⇒ f′(x) = 3 · e3x
Dasselbe bei e2x+1: innen ist 2x + 1, die Ableitung davon ist 2, also f′(x) = 2 · e2x+1. Den Exponenten lässt du stehen. Du leitest ihn nicht noch einmal ab und schreibst ihn nicht als Faktor in den Exponenten.
Produktregel: x Quadrat mal e hoch x
Wenn zwei Funktionen multipliziert werden, leitest du nicht beide ab und multiplizierst die Ableitungen. Das wäre falsch. Richtig ist: Ableitung vom Ersten mal Zweites, plus Erstens mal Ableitung vom Zweiten.
Mini-Rechnung: f(x) = x² · eˣ
- Erstes: u = x², also u′ = 2x. Zweites: v = eˣ, also v′ = eˣ.
- Zusammenbauen: f′(x) = (2x) · eˣ + x² · eˣ.
- eˣ ausklammern: f′(x) = eˣ · (2x + x²).
Wenn du später Nullstellen von f′ suchst: eˣ ist nie null. Es reicht 2x + x² = 0, also x(x + 2) = 0. Die Kandidaten sind x = 0 und x = −2.
Dieselbe Rechnung, dann die Klausuraufgabe
Auf der Lernkarte schreibst du Produkt- und Kettenregel an einer echten Aufgabe auf, nicht nur an diesem Beispiel.
Zu den Lernkarten →Von der Ableitung zur Tangente
Die Tangente ist die rote Gerade. Sie hat die Form y = mx + c. Die Steigung m ist die Ableitung an der Stelle, der Punkt auf dem Graphen liefert c.
Mini-Rechnung: Tangente an f(x) = eˣ im Punkt mit x₀ = 0.
- Punkt: f(0) = e⁰ = 1, also P(0 | 1).
- Steigung: m = f′(0) = e⁰ = 1. Nicht den Funktionswert als Steigung nehmen, hier sind beide zufällig 1.
- 1 = 1 · 0 + c, also c = 1. Die Tangente heißt y = x + 1.
Zur Kontrolle an einer anderen Stelle: Bei x₀ = 1 ist f(1) = e und f′(1) = e. Aus e = e · 1 + c folgt c = 0. Die Tangente heißt y = e·x. Hier siehst du den Unterschied: der y-Wert des Punktes ist e, die Steigung ist auch e, und c wird trotzdem null.
Typische Fehler
Bei e2x den Faktor 2 vergessen und einfach e2x hinschreiben.
Produktregel als „beide Ableitungen multiplizieren“ lesen. Das wäre u′ · v′ und ist falsch.
Ableiten und Aufleiten vertauschen. Die Stammfunktion von eˣ ist auch eˣ, aber die Frage der Klausur sagt dir, welche Richtung gemeint ist. Fläche heißt aufleiten, Steigung heißt ableiten.
Bei der Tangente f(x₀) als Steigung nehmen. Die Steigung ist f′(x₀). f(x₀) liefert nur den Punkt.
Häufige Fragen
Ist die Ableitung von e hoch x wirklich wieder e hoch x?
Ja. Deshalb darfst du eˣ beim Ausklammern nie durch null teilen und nie als Nullstelle von f′ behandeln.
Was mache ich, wenn Kette und Produkt zusammenkommen?
Erst erkennen, was außen ist. Bei x · e3x ist es ein Produkt. Die Ableitung von e3x rechnest du mit der Kettenregel, also 3e3x, und setzt sie in die Produktregel ein: f′(x) = 1 · e3x + x · 3e3x = e3x · (1 + 3x).
Brauche ich dafür den Taschenrechner?
Diese Ableitungen gehören in den Teil ohne Taschenrechner. Der Taschenrechner hilft später beim Einsetzen von Zahlen, nicht beim Hinschreiben der Regel.