Zwei Aufgaben kommen in der Analysis oft zusammen. Wo ist die Kurve extrem? Und: Wie stellst du aus einzelnen Angaben die Funktionsgleichung auf?
Stell dir den Graphen als Straße vor. Dort, wo sie eben ist, kann ein Gipfel oder ein Tal sein. Oder nur ein kurzes flaches Stück, nach dem es in dieselbe Richtung weitergeht. Die Ableitung sagt dir, wo die Straße eben ist. Sie sagt dir noch nicht, was für eine Stelle das ist.
Extrempunkte üben, mit Lernkarten
Dieselbe Prüfung, danach an einer Klausuraufgabe. Du wählst dein Bundesland.
Bundesland wählen →So suchst du Extremstellen
- Ableitung f′ bilden.
- f′(x) = 0 lösen. Das sind die Kandidaten, noch keine Punkte.
- Prüfen: Vorzeichenwechsel von f′ oder zweite Ableitung. Hochpunkt, Tiefpunkt oder keins von beiden?
- y-Wert ausrechnen und den Punkt hinschreiben, nicht nur die x-Stelle.
Die zweite Ableitung liest du so: f″(x₀) < 0 heißt rechtsgekrümmt, die Straße macht einen Gipfel, also Hochpunkt. f″(x₀) > 0 heißt linksgekrümmt, also Tiefpunkt.
Mini-Rechnung: f(x) = x³ − 3x
f′(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1). Nullstellen bei x = −1 und x = 1.
Zweite Ableitung: f″(x) = 6x. Also f″(−1) = −6 < 0: Hochpunkt. f″(1) = 6 > 0: Tiefpunkt.
y-Werte: f(−1) = (−1)³ − 3·(−1) = −1 + 3 = 2 und f(1) = 1 − 3 = −2.
H(−1 | 2) und T(1 | −2)
Wenn die zweite Ableitung null ist
Ist f″(x₀) = 0, sagt sie gar nichts. Dann prüfst du den Vorzeichenwechsel von f′.
Beispiel f(x) = x⁴. Bei x = 0 sind f′(0) = 0 und f″(0) = 0. Trotzdem liegt dort ein Tiefpunkt, denn f′(x) = 4x³ wechselt bei 0 von negativ zu positiv. Aus f″(x₀) = 0 allein auf einen Sattelpunkt zu schließen, ist der häufige Fehler.
Wendepunkt berechnen
Ein Wendepunkt ist keine Extremstelle. Dort wechselt die Krümmung, die Straße geht von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt. Die Tangente muss dafür nicht waagerecht sein.
- f″(x) = 0 lösen. Das sind die Kandidaten.
- Prüfen, dass die Krümmung wechselt. Oft reicht f‴(x₀) ≠ 0.
- y-Wert ausrechnen und den Punkt hinschreiben.
Mini-Rechnung: f(x) = x³
f′(x) = 3x², f″(x) = 6x, f‴(x) = 6.
f″(0) = 0 und f‴(0) = 6 ≠ 0. Also Wendepunkt W(0 | 0).
Zusätzlich ist f′(0) = 0. Die Tangente ist waagerecht. So einen Wendepunkt nennt man Sattelpunkt.
Nicht jeder Wendepunkt ist ein Sattelpunkt. Bei f(x) = x³ + x ist f′(x) = 3x² + 1 immer positiv, es gibt keinen Extrempunkt. Trotzdem ist f″(x) = 6x, also f″(0) = 0 und f‴(0) = 6 ≠ 0. Wendepunkt W(0 | 0), die Tangente hat die Steigung 1, nicht 0.
Hochpunkt, Tiefpunkt, Wendepunkt an einer Klausuraufgabe
Die Lernkarte lässt dich den Punkt vollständig aufschreiben, inklusive der Begründung, die der Operator verlangt.
Zu den Lernkarten →Steckbrief: aus Bedingungen die Gleichung
Manchmal ist die Funktion gar nicht gegeben. Die Aufgabe sagt zum Beispiel: Nullstelle hier, Hochpunkt dort, y-Achsenabschnitt so. Das Wort Steckbrief steht selten da. Es heißt eher: Bestimmen Sie eine Gleichung der Funktion.
- Ansatz hinschreiben, zum Beispiel f(x) = ax² + bx + c.
- Jede Bedingung in eine Gleichung übersetzen. Ein Hochpunkt H(1 | 4) liefert zwei Gleichungen: f(1) = 4 und f′(1) = 0.
- Das Gleichungssystem lösen.
- Probe: die Bedingungen in die fertige Funktion einsetzen.
Mini-Rechnung: f(x) = ax² + bx + c, Hochpunkt H(1 | 4), f(0) = 3.
- f(0) = 3, also c = 3.
- f′(x) = 2ax + b. Hochpunkt: f′(1) = 0, also 2a + b = 0.
- Punkt auf dem Graphen: f(1) = 4, also a + b + 3 = 4, gekürzt a + b = 1.
- Aus 2a + b = 0 und a + b = 1 folgt a = −1 und b = 2. Also f(x) = −x² + 2x + 3.
Probe: f(1) = 4 und f′(1) = 0. Stimmt.
Typische Fehler
f′ = 0 lösen und den y-Wert vergessen. Gefragt ist der Punkt, nicht nur die Stelle.
f′ = 0 allein als Beweis nehmen, ohne Hoch- oder Tiefpunkt zu prüfen.
Aus f″(x₀) = 0 auf einen Sattelpunkt schließen. Ohne Vorzeichenwechsel ist das offen.
Beim Steckbrief aus einem Hochpunkt nur eine Gleichung machen. Punkt und waagerechte Tangente gehören beide hin.
Wendepunkt und Extrempunkt verwechseln. Wendepunkt prüfst du an f″, Extrempunkt an f′.
Häufige Fragen
Was schreibe ich hin, wenn der Operator „bestimmen“ sagt?
Rechnung und Ergebnis. Bei „begründen“ oder „entscheiden“ kommt ein Satz dazu, warum es ein Hochpunkt ist, nicht nur die Zahl.
Darf ich immer die zweite Ableitung nehmen?
Wenn sie ungleich null ist, ja. Wenn sie null ist, musst du den Vorzeichenwechsel von f′ anschauen.
Ist ein Sattelpunkt ein Extrempunkt?
Nein. Bei f(x) = x³ ist x = 0 ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Die Funktion steigt davor und danach nicht in die andere Richtung. Es gibt dort kein Hoch und kein Tief.