Stammfunktion klingt nach Geheimcode. Dahinter steckt oft nur eine Frage: Wie groß ist die Fläche zwischen Graph und x-Achse?
Die Ableitung sagt, wie steil der Graph ist. Das Integral misst etwas anderes. Du zeichnest die Kurve und den waagerechten Strich der x-Achse. Dazwischen liegt eine Fläche. Das bestimmte Integral misst genau diese Fläche, mit einem Haken beim Vorzeichen.
Flächeninhalt üben, mit Lernkarten
Dieselbe Rechnung, danach an einer Klausuraufgabe. Du wählst dein Bundesland.
Bundesland wählen →Fläche unter der x-Achse
Läuft der Graph unter der x-Achse, zählt das Integral diese Fläche als negativ. Fragt die Aufgabe nach dem Inhalt, nimmst du den Betrag. Liegt ein Teil oben und ein Teil unten, teilst du an den Nullstellen, rechnest jedes Stück einzeln und addierst die Beträge.
Drei Wörter, die du auseinanderhalten musst
- Stammfunktion F: eine Funktion, deren Ableitung wieder f ergibt. Aufleiten ist Ableiten rückwärts. Stammfunktion von xⁿ ist xⁿ⁺¹/(n+1), solange n nicht −1 ist. Konstante Faktoren darfst du vor das Integral ziehen, Summen leitest du summandenweise auf.
- Bestimmtes Integral von a bis b: F(b) − F(a). Oberhalb der x-Achse positiv, darunter negativ.
- Flächeninhalt: die Größe der Fläche ohne Vorzeichen. Dafür brauchst du die Nullstellen, weil sie die Stücke trennen.
Mini-Rechnung: Inhalt der Fläche zwischen f(x) = x² − 1 und der x-Achse von −1 bis 1.
- Nullstellen: x² − 1 = 0, also x = −1 und x = 1. Dazwischen liegt der Graph unter der Achse, denn f(0) = −1.
- Stammfunktion: F(x) = x³/3 − x.
- Integral: F(1) − F(−1) = (1/3 − 1) − (−1/3 + 1) = (−2/3) − (2/3) = −4/3.
- Gefragt ist der Inhalt: 4/3. Das Minus zeigt nur, dass die Fläche unter der Achse liegt.
Genau diese zwei Schritte verlangt die Klausur oft hintereinander: erst die Nullstellen, dann den Flächeninhalt.
Nullstellen, dann Inhalt, an einer echten Aufgabe
Auf der Lernkarte steht die Klausuraufgabe mit dem Aufschrieb, den die Korrektur sehen will.
Zu den Lernkarten →Fläche zwischen zwei Graphen
Dieselbe Idee, zwei Kurven statt Kurve und x-Achse. Du integrierst obere Funktion minus untere Funktion. Die Schnittpunkte sind die Grenzen. Tauschen sich oben und unten, teilst du dort und nimmst auf jedem Stück den Betrag, wenn der Inhalt gefragt ist.
Mini-Rechnung: Fläche zwischen f(x) = x und g(x) = x² von 0 bis 1.
- Schnittpunkte: x = x², also x² − x = 0, x(x − 1) = 0. Grenzen 0 und 1.
- Wer liegt oben? Bei x = 0,5 ist f(0,5) = 0,5 und g(0,5) = 0,25. Die Gerade liegt oben.
- Stammfunktion von x − x² ist x²/2 − x³/3.
- Von 0 bis 1: (1/2 − 1/3) − 0 = 1/6.
Der Inhalt ist 1/6. Hier war das Integral schon positiv, weil die Differenz oben minus unten nicht unter null rutscht.
Integral als Bestand
Manchmal ist f keine Kurve zum Ausmalen, sondern eine Änderungsrate, zum Beispiel Zufluss in Liter pro Stunde. Dann ist das Integral von a bis b die Änderung des Bestands in dieser Zeit. Anfangsbestand plus Integral ergibt den Bestand am Ende.
Hier streichst du das Minus nicht. Ein negativer Wert heißt Abfluss, der Bestand sinkt. Fläche und Bestand benutzen dieselbe Rechnung und beantworten verschiedene Fragen. Steht „Inhalt“ oder „Flächeninhalt“ da, nimmst du Beträge. Steht „Bestand“ oder „Änderung“ da, bleibt das Vorzeichen.
Typische Fehler
Fläche mit Vorzeichen und Flächeninhalt verwechseln. Das Minus stehen lassen, obwohl Inhalt gefragt ist.
Die Grenzen vertauschen: F(a) − F(b) statt F(b) − F(a).
Bei mehreren Nullstellen nur ein Intervall rechnen.
Zwischen zwei Graphen die untere minus die obere integrieren und das Minus am Ende als Inhalt abgeben.
Beim Bestand den Betrag nehmen und so einen Abfluss in Zufluss verwandeln.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Integral und Flächeninhalt?
Das Integral hat ein Vorzeichen. Der Flächeninhalt ist die Größe der Fläche. Unter der x-Achse fallen die beiden auseinander.
Muss ich immer die Nullstellen suchen?
Wenn die Aufgabe den Inhalt zwischen Graph und x-Achse will und du nicht schon weißt, dass der Graph das ganze Intervall oberhalb oder unterhalb bleibt, ja. Eine Skizze oder ein Testpunkt in der Mitte des Intervalls zeigt dir die Lage.
Gilt die Potenzregel auch für 1/x?
Nein. 1/x ist x hoch −1, und die Formel xⁿ⁺¹/(n+1) würde durch null teilen. Die Stammfunktion von 1/x ist ln|x|. In den einfachen Flächenaufgaben des ersten Prüfungsteils kommst du mit Potenzen, e-Funktion und Summen aus.