Integralrechnung: Aufgaben mit Lösungen als PDF
Zwei Arbeitsblätter zur Integralrechnung, jedes als PDF mit Lösungsweg auf Seite 2: Stammfunktionen und bestimmte Integrale, dann Flächen zwischen Graph und x-Achse und zwischen zwei Graphen. Alle Ergebnisse sind nachgerechnet.
- Thema
- Integralrechnung
- Einsatz
- Oberstufe, Abitur (alle Länder)
- Umfang
- 2 Arbeitsblätter, je ein PDF mit Lösungshinweisen
- Lizenz
- CC BY 4.0, Eigene Aufgaben, alle Ergebnisse doppelt nachgerechnet
Alle Arbeitsblätter als PDF
Arbeitsblatt 1: Stammfunktionen und bestimmte Integrale
📄 Arbeitsblatt 1 als PDF herunterladen (Seite 2: Lösungshinweise)
Bestimmen Sie die Stammfunktionen bzw. berechnen Sie die Integrale exakt.
Aufgaben
- Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f(x) = 3x² − 4x + 1.
- Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f(x) = e^(2x).
- Berechnen Sie ∫₀² (x² + 1) dx.
- Berechnen Sie ∫₁^e (1/x) dx.
- Berechnen Sie ∫₀^π sin(x) dx.
Lösungshinweise anzeigen
- F(x) = x³ − 2x² + x + C.
- F(x) = ½ e^(2x) + C (Probe: Ableitung mit Kettenregel).
- [x³/3 + x]₀² = 8/3 + 2 = 14/3 ≈ 4,67.
- [ln x]₁^e = ln e − ln 1 = 1 − 0 = 1.
- [−cos x]₀^π = −cos π + cos 0 = 1 + 1 = 2.
Arbeitsblatt 2: Flächen berechnen
📄 Arbeitsblatt 2 als PDF herunterladen (Seite 2: Lösungshinweise)
Achten Sie auf Nullstellen und Schnittstellen: Flächen unterhalb der x-Achse liefern negative Integrale.
Aufgaben
- Berechnen Sie die Fläche, die der Graph von f(x) = x² − 4 mit der x-Achse einschließt.
- Berechnen Sie die Fläche zwischen den Graphen von f(x) = x² und g(x) = 2x.
- Gegeben ist f(x) = x³ − x. Berechnen Sie ∫₋₁¹ f(x) dx und die Fläche, die der Graph im Intervall [−1; 1] mit der x-Achse einschließt. Erklären Sie den Unterschied.
Lösungshinweise anzeigen
- Nullstellen: x = −2 und x = 2. ∫₋₂² (x² − 4) dx = [x³/3 − 4x]₋₂² = (8/3 − 8) − (−8/3 + 8) = −32/3. Die Fläche liegt unter der x-Achse: A = 32/3 ≈ 10,67.
- Schnittstellen: x² = 2x ⇔ x = 0 oder x = 2. Im Intervall liegt g oben: A = ∫₀² (2x − x²) dx = [x² − x³/3]₀² = 4 − 8/3 = 4/3.
- Nullstellen −1, 0, 1. ∫₋₁⁰ (x³ − x) dx = 1/4, ∫₀¹ (x³ − x) dx = −1/4, also ∫₋₁¹ f(x) dx = 0. Die Fläche ist A = 1/4 + 1/4 = 1/2. Das Integral verrechnet Flächen ober- und unterhalb der x-Achse, deshalb muss man an den Nullstellen aufteilen.
Lizenz und Nennung
Arbeitsblätter, Aufgaben, Lösungshinweise und Grafiken stehen unter CC BY 4.0. Sie dürfen sie kopieren, verändern und weitergeben, auch in Lernplattformen, wenn Sie die Quelle nennen, zum Beispiel: Arbeitsblatt: abitur-vorbereitung-online.de, CC BY 4.0. Eigene Aufgaben, alle Ergebnisse doppelt nachgerechnet.
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