Kurvendiskussion: Aufgaben mit Lösungen als PDF
Zwei vollständige Kurvendiskussionen, jede als PDF mit Lösungsweg auf Seite 2: eine ganzrationale Funktion und eine e-Funktion, vom Ableiten bis zur Wendetangente. Alle Ergebnisse sind doppelt nachgerechnet.
- Thema
- Kurvendiskussion
- Einsatz
- Oberstufe, Abitur (alle Länder)
- Umfang
- 2 Arbeitsblätter, je ein PDF mit Lösungshinweisen
- Lizenz
- CC BY 4.0, Eigene Aufgaben, alle Ergebnisse doppelt nachgerechnet
Alle Arbeitsblätter als PDF
Arbeitsblatt 1: Ganzrationale Funktion
📄 Arbeitsblatt 1 als PDF herunterladen (Seite 2: Lösungshinweise)
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ − 6x² + 9x.
Aufgaben
- Bestimmen Sie die Nullstellen von f.
- Bestimmen Sie die Extrempunkte und ihre Art.
- Bestimmen Sie den Wendepunkt.
- Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente im Wendepunkt.
- Beschreiben Sie das Verhalten von f für x → ±∞.
Lösungshinweise anzeigen
- f(x) = x(x² − 6x + 9) = x(x − 3)². Nullstellen x = 0 und x = 3 (doppelt, dort berührt der Graph die x-Achse).
- f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3), f″(x) = 6x − 12. f′(1) = 0 und f″(1) = −6 < 0: Hochpunkt H(1|4). f′(3) = 0 und f″(3) = 6 > 0: Tiefpunkt T(3|0).
- f″(x) = 0 ergibt x = 2, f‴(x) = 6 ≠ 0. f(2) = 8 − 24 + 18 = 2, also W(2|2).
- f′(2) = 12 − 24 + 9 = −3. Mit W(2|2): 2 = −3·2 + b, also b = 8. Tangente: y = −3x + 8.
- Für x → ∞ gilt f(x) → ∞, für x → −∞ gilt f(x) → −∞ (der Term x³ bestimmt das Verhalten).
Arbeitsblatt 2: e-Funktion
📄 Arbeitsblatt 2 als PDF herunterladen (Seite 2: Lösungshinweise)
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (x − 1)·eˣ.
Aufgaben
- Bestimmen Sie die Nullstelle und den Schnittpunkt mit der y-Achse.
- Zeigen Sie, dass f′(x) = x·eˣ gilt, und bestimmen Sie f″.
- Bestimmen Sie den Extrempunkt und seine Art.
- Bestimmen Sie den Wendepunkt.
- Beschreiben Sie das Verhalten von f für x → ±∞.
Lösungshinweise anzeigen
- eˣ ist nie 0, also f(x) = 0 nur für x = 1: N(1|0). f(0) = (0 − 1)·1 = −1: Schnittpunkt S(0|−1).
- Produktregel: f′(x) = 1·eˣ + (x − 1)·eˣ = x·eˣ. Nochmals: f″(x) = eˣ + x·eˣ = (x + 1)·eˣ.
- f′(x) = 0 nur für x = 0. f″(0) = 1 > 0: Tiefpunkt T(0|−1).
- f″(x) = 0 für x = −1; f‴(x) = (x + 2)·eˣ, f‴(−1) = e⁻¹ ≠ 0. f(−1) = −2·e⁻¹ = −2/e ≈ −0,74, also W(−1|−2/e).
- Für x → ∞ gilt f(x) → ∞. Für x → −∞ gilt f(x) → 0, denn eˣ geht schneller gegen 0, als (x − 1) wächst; der Graph nähert sich der x-Achse von unten.
Lizenz und Nennung
Arbeitsblätter, Aufgaben, Lösungshinweise und Grafiken stehen unter CC BY 4.0. Sie dürfen sie kopieren, verändern und weitergeben, auch in Lernplattformen, wenn Sie die Quelle nennen, zum Beispiel: Arbeitsblatt: abitur-vorbereitung-online.de, CC BY 4.0. Eigene Aufgaben, alle Ergebnisse doppelt nachgerechnet.
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