Wendepunkt berechnen – Anleitung, Beispiele und Wendetangente
Am Wendepunkt wechselt der Graph von einer Links- in eine Rechtskurve oder umgekehrt. Stell dir eine Straße vor: Am Wendepunkt drehst du das Lenkrad von links nach rechts. Hier lernst du, wie du ihn berechnest, wie du ihn ohne dritte Ableitung prüfst und was er im Sachkontext bedeutet.
- Notwendig
- f″(x) = 0
- Hinreichend
- f‴(x) ≠ 0 oder Vorzeichenwechsel von f″
- Sonderfall
- Sattelpunkt: zusätzlich f′(x) = 0
- Wendetangente
- Tangente im Wendepunkt
- Im Sachkontext
- stärkste Zu- oder Abnahme
- Thema
- Analysis
Was diese Seite ist: die Methode mit Beispielen, frei lesbar.
Was sie nicht ist: deine ganze Abiturvorbereitung. Welche Aufgaben dein Land stellt und ob du einen Taschenrechner nutzen darfst, ist Ländersache. Genau das liegt in den AVO-Mathe-Lernkarten, nach Bundesland sortiert, mit Lerncheck.
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Was ist ein Wendepunkt?
Die zweite Ableitung f″ beschreibt die Krümmung: Ist f″(x) > 0, macht der Graph eine Linkskurve. Ist f″(x) < 0, eine Rechtskurve. Am Wendepunkt wechselt f″ das Vorzeichen.
Am Wendepunkt ist die Steigung am größten oder am kleinsten. Der Wendepunkt von f ist ein Extrempunkt von f′.
Anleitung in 3 Schritten
Beispiel: f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1. Ableitungen: f′(x) = 3x² − 12x + 9, f″(x) = 6x − 12, f‴(x) = 6.
- Notwendige Bedingung: f″(x) = 0 → 6x − 12 = 0 → x = 2.
- Hinreichende Bedingung: f‴(2) = 6 ≠ 0. Also ist x = 2 wirklich eine Wendestelle.
- y-Wert: f(2) = 8 − 24 + 18 + 1 = 3. Der Wendepunkt ist W(2 | 3).
Wendepunkt ohne dritte Ableitung
Manchmal ist f‴ aufwendig, oder f‴(x) ist 0 und der Test sagt nichts. Dann prüfst du den Vorzeichenwechsel von f″: Setze je einen Wert links und rechts der Stelle in f″ ein.
Im Beispiel: f″(1) = −6 < 0 (Rechtskurve) und f″(3) = 6 > 0 (Linkskurve). Das Vorzeichen wechselt, also liegt bei x = 2 ein Wendepunkt.
Wenn f‴(x) = 0 herauskommt, ist das kein Beweis, dass es keinen Wendepunkt gibt. Dann immer den Vorzeichenwechsel prüfen. Beispiel f(x) = x⁵: f″(0) = 0 und f‴(0) = 0, trotzdem ist (0 | 0) ein Wendepunkt.
Vom Beispiel zur Klausuraufgabe
Im Abitur kommt der Wendepunkt meist im Sachkontext. Die Lernkarten zeigen die Aufgabentypen deines Landes mit Lösungsweg und Lerncheck.
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Sattelpunkt
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, also mit f′(x) = 0. Der Graph macht dort eine „Pause“ und läuft in dieselbe Richtung weiter.
Beispiel: f(x) = x³. f′(0) = 0, f″(0) = 0, f‴(0) = 6 ≠ 0. Also ist (0 | 0) ein Sattelpunkt, kein Extrempunkt.
Wendetangente
Die Wendetangente ist die Tangente im Wendepunkt. Du brauchst die Steigung m = f′(xW) und den Wendepunkt.
Im Beispiel: m = f′(2) = 12 − 24 + 9 = −3, W(2 | 3). Einsetzen in y = m · (x − xW) + yW:
y = −3 · (x − 2) + 3 = −3x + 9.
Wendepunkt einer e-Funktion
Beispiel: f(x) = x · e−x. Mit Produktregel: f″(x) = (x − 2) · e−x.
Weil e−x nie 0 ist, reicht x − 2 = 0, also x = 2. f(2) = 2e−2 ≈ 0,27. Der Wendepunkt ist W(2 | 2e−2).
Die ganze Funktion mit allen Schritten: Kurvendiskussion Schritt für Schritt · Ableitungsregeln: e-Funktion ableiten
Bedeutung im Sachkontext
Beschreibt f zum Beispiel die Anzahl Infizierter, die Höhe einer Pflanze oder den Wasserstand, dann ist der Wendepunkt die Stelle, an der die Größe am stärksten zunimmt oder abnimmt.
Antwortsatz-Beispiel: „Nach 2 Wochen wächst die Pflanze am schnellsten, und zwar um 3 cm pro Woche.“ Die Zahl 3 ist dabei der Wert von f′ an der Wendestelle.
Übungsaufgaben mit Lösungen
Rechne erst selbst, dann klapp die Lösung auf. Aufgabe 3 und 5 sind typische Fallen.
Aufgabe 1 · Wendepunkt bestimmen
Aufgabe: Bestimme den Wendepunkt von f(x) = x³ − 3x² + 2 und gib die Krümmung davor und danach an.
Lösung: f′(x) = 3x² − 6x, f″(x) = 6x − 6, f‴(x) = 6.
f″(x) = 0 → x = 1. f‴(1) = 6 ≠ 0, also Wendepunkt. f(1) = 0 → W(1 | 0).
Für x < 1 ist f″ < 0 (rechtsgekrümmt), für x > 1 ist f″ > 0 (linksgekrümmt).
Aufgabe 2 · Wendetangente
Aufgabe: f(x) = x³ − 6x² + 9x hat den Wendepunkt W(2 | 2). Bestimme die Gleichung der Wendetangente.
Lösung: Steigung: f′(x) = 3x² − 12x + 9, also m = f′(2) = 12 − 24 + 9 = −3.
Punkt einsetzen: t(x) = −3(x − 2) + 2 = −3x + 8.
Aufgabe 3 · Die f″ = 0-Falle
Aufgabe: Hat f(x) = x⁴ einen Wendepunkt bei x = 0? Begründe.
Lösung: f″(x) = 12x², also f″(0) = 0. Aber f‴(0) = 0, die Kurzregel hilft nicht. Vorzeichen prüfen: f″(x) = 12x² ist links und rechts von 0 positiv. Kein Vorzeichenwechsel, also kein Wendepunkt. Der Graph ist überall linksgekrümmt, bei x = 0 liegt ein Tiefpunkt.
Aufgabe 4 · Zwei Wendepunkte
Aufgabe: Bestimme die Wendepunkte von f(x) = x⁴ − 6x².
Lösung: f″(x) = 12x² − 12 = 0 → x = ±1. f‴(x) = 24x, f‴(±1) = ±24 ≠ 0.
f(±1) = 1 − 6 = −5 → W₁(−1 | −5) und W₂(1 | −5). Die Funktion ist achsensymmetrisch, deshalb liegen die Wendepunkte spiegelbildlich.
Aufgabe 5 · Sattelpunkt erkennen
Aufgabe: Untersuche f(x) = x³ − 3x² + 3x auf Extrem- und Wendepunkte.
Lösung: f′(x) = 3x² − 6x + 3 = 3(x − 1)², f″(x) = 6x − 6.
f′(x) = 0 nur bei x = 1, aber f′ wechselt dort das Vorzeichen nicht (≥ 0 überall). Also kein Extrempunkt.
f″(1) = 0 mit Vorzeichenwechsel → Wendepunkt W(1 | 1). Weil dort auch f′(1) = 0 ist, ist es ein Sattelpunkt.
Aufgabe 6 · Sachkontext
Aufgabe: Die Zahl der Besucher einer Ausstellung in den ersten Tagen wird durch N(t) = −t³ + 12t² beschrieben (t in Tagen, 0 ≤ t ≤ 8). Wann nimmt die Besucherzahl am stärksten zu, und wie stark?
Lösung: Stärkste Zunahme = Wendestelle von N. N′(t) = −3t² + 24t, N″(t) = −6t + 24 = 0 → t = 4. N‴ = −6 < 0, also ist N′ dort maximal.
N′(4) = −48 + 96 = 48.
Antwortsatz: Am 4. Tag wächst die Besucherzahl am stärksten, um etwa 48 Besucher pro Tag. Gefragt ist hier N′(4), nicht N(4).
Häufige Fehler beim Wendepunkt
- f′ statt f″ gleich 0 setzenf′(x) = 0 liefert Extrempunkte. Für Wendepunkte brauchst du f″(x) = 0.
- Aus f‴ = 0 schließen „kein Wendepunkt“Dann musst du den Vorzeichenwechsel von f″ prüfen.
- y-Wert in f″ einsetzenDen y-Wert immer mit f berechnen.
- Im Sachkontext den y-Wert deutenGefragt ist meist die stärkste Änderung, also f′ an der Wendestelle, nicht f.
Häufige Fragen zum Wendepunkt
Wie berechnet man einen Wendepunkt?
Setze die zweite Ableitung gleich 0, prüfe mit f‴(x) ≠ 0 oder einem Vorzeichenwechsel von f″, dass die Krümmung wechselt, und berechne den y-Wert mit f(x).
Wie prüfe ich einen Wendepunkt ohne dritte Ableitung?
Setze einen Wert links und einen rechts der Stelle in f″ ein. Haben die Ergebnisse verschiedene Vorzeichen, liegt ein Wendepunkt vor.
Was ist der Unterschied zwischen Wendepunkt und Sattelpunkt?
Ein Sattelpunkt ist ein besonderer Wendepunkt, an dem zusätzlich die Steigung 0 ist (f′(x) = 0). Der Graph hat dort eine waagerechte Tangente.
Was bedeutet der Wendepunkt im Sachkontext?
Er markiert die Stelle der stärksten Zunahme oder Abnahme. Die Größe dieser Änderung ist der Wert der ersten Ableitung an der Wendestelle.