Kurvendiskussion im Mathe-Abitur – Schritt für Schritt mit Beispiel
Eine Kurvendiskussion klingt nach viel, ist aber immer dieselbe Liste: Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte, Verhalten am Rand. Hier gehst du sie Schritt für Schritt an einem durchgerechneten Beispiel durch, mit den Fehlern, die in Klausuren am meisten Punkte kosten.
- Thema
- Analysis
- Du brauchst
- Ableitungsregeln, Gleichungen lösen
- Schritte
- Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte, Randverhalten
- Werkzeug
- f′, f″, manchmal f‴
- Im Abitur
- meist als Teilaufgabe mit Sachkontext
- Hilfsmittel
- je nach Land mit oder ohne Taschenrechner
Was diese Seite ist: die Methode an einem Beispiel, frei lesbar.
Was sie nicht ist: deine ganze Abiturvorbereitung. Welche Aufgaben im Teil ohne Hilfsmittel kommen, wie lange du Zeit hast und welche Themen dein Land prüft, ist Ländersache. Genau das liegt in den AVO-Mathe-Lernkarten, nach Bundesland sortiert, mit Lerncheck.
Mathe-Abitur in deinem Bundesland
Abiturwissen verständlich und kompakt auf unseren Lernkarten. Tippe dein Land an und lande direkt bei den Funktionen-Karten deines Bundeslands. Die erste Karte jeder Kategorie ist gratis, alles andere einmalig ab 7,99 €, kein Abo.
Mathe-Karten deines Bundeslands:
Der Lernzettel unten bleibt frei lesbar.
Die Schritte im Überblick
| Schritt | Was du machst | Bedingung |
|---|---|---|
| 1. Definitionsbereich | Wo ist f definiert? Bei Polynomen und e-Funktionen: alle reellen Zahlen. | Nenner ≠ 0, Wurzel ≥ 0, ln nur für Werte > 0 |
| 2. Symmetrie | Achsensymmetrie zur y-Achse oder Punktsymmetrie zum Ursprung prüfen. | f(−x) = f(x) bzw. f(−x) = −f(x) |
| 3. Nullstellen | Schnittpunkte mit der x-Achse. | f(x) = 0 |
| 4. y-Achsenabschnitt | Schnittpunkt mit der y-Achse. | f(0) |
| 5. Extrempunkte | Hoch- und Tiefpunkte. | f′(x) = 0 und f″(x) ≠ 0 |
| 6. Wendepunkte | Stellen, an denen die Krümmung wechselt. | f″(x) = 0 und f‴(x) ≠ 0 |
| 7. Randverhalten | Was passiert für x → +∞ und x → −∞? | Grenzwerte |
| 8. Skizze | Alle Punkte eintragen und verbinden. | stimmt mit den Ergebnissen überein |
f′ sagt dir, ob der Graph steigt oder fällt. f″ sagt dir, ob er eine Links- oder Rechtskurve macht. Mit diesen zwei Fragen findest du Extrempunkte und Wendepunkte.
Durchgerechnetes Beispiel: f(x) = x³ − 3x²
Ableitungen: f′(x) = 3x² − 6x, f″(x) = 6x − 6, f‴(x) = 6.
- Definitionsbereich: Polynom, also alle reellen Zahlen.
- Symmetrie: Es kommen gerade und ungerade Hochzahlen vor (x³ und x²). Deshalb gibt es keine einfache Symmetrie.
- Nullstellen: x³ − 3x² = 0. x² ausklammern: x²(x − 3) = 0. Also x = 0 (doppelte Nullstelle, der Graph berührt die x-Achse) und x = 3.
- y-Achsenabschnitt: f(0) = 0, also durch den Ursprung.
- Extrempunkte: f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2) = 0, also x = 0 oder x = 2.
f″(0) = −6 < 0 → Hochpunkt H(0 | 0).
f″(2) = 6 > 0 → Tiefpunkt, f(2) = 8 − 12 = −4, also T(2 | −4). - Wendepunkt: f″(x) = 6x − 6 = 0, also x = 1. f‴(1) = 6 ≠ 0, also wirklich ein Wendepunkt. f(1) = 1 − 3 = −2, also W(1 | −2).
- Randverhalten: Der Summand mit der höchsten Hochzahl bestimmt das Verhalten: x³. Für x → +∞ geht f(x) → +∞, für x → −∞ geht f(x) → −∞.
Der Wendepunkt liegt bei x = 1, genau in der Mitte zwischen Hoch- (x = 0) und Tiefpunkt (x = 2). Bei Funktionen dritten Grades ist das immer so. Gut zum Selbstcheck.
Vom Beispiel zur Klausuraufgabe
In der Prüfung kommt die Kurvendiskussion selten pur, sondern im Sachkontext. Die Lernkarten zeigen die Aufgabentypen deines Landes mit Lösungsweg und Lerncheck.
Mathe-Karten deines Bundeslands:
Kurvendiskussion mit e-Funktion
Beispiel: f(x) = x · e−x. Mit Produkt- und Kettenregel:
- f′(x) = e−x − x · e−x = (1 − x) · e−x
- f″(x) = −e−x − (1 − x) · e−x = (x − 2) · e−x
Der Trick: e−x ist nie 0. Deshalb reicht es, den Faktor davor gleich 0 zu setzen.
- Nullstelle: x · e−x = 0 → x = 0.
- Extrempunkt: 1 − x = 0 → x = 1. f″(1) = −e−1 < 0 → Hochpunkt H(1 | e−1) ≈ (1 | 0,37).
- Wendepunkt: x − 2 = 0 → x = 2, W(2 | 2e−2) ≈ (2 | 0,27).
- Randverhalten: Für x → +∞ gewinnt e−x, f(x) → 0 (die x-Achse ist Asymptote). Für x → −∞ geht f(x) → −∞.
Mehr zum Ableiten: e-Funktion ableiten · Extrempunkte berechnen · Wendepunkt berechnen
Kurvendiskussion im Sachkontext
Im Abitur beschreibt f oft etwas Echtes, zum Beispiel die Anzahl Besucher, eine Temperatur oder eine Wachstumsrate. Dann musst du jedes Ergebnis übersetzen:
- Hochpunkt: der größte Wert, etwa „die meisten Besucher um 14 Uhr“.
- Wendepunkt: die Stelle, an der die Größe am stärksten zu- oder abnimmt.
- Randverhalten: was langfristig passiert, etwa „die Konzentration nähert sich 0“.
Schreib zu jedem Ergebnis einen Antwortsatz mit Einheit. Eine richtige Zahl ohne Deutung im Sachkontext bringt oft nur die Hälfte der Punkte.
Übungsaufgaben mit Lösungen
Rechne erst selbst, dann klapp die Lösung auf. Die Aufgaben werden von oben nach unten schwerer.
Aufgabe 1 · Ganzrationale Funktion
Aufgabe: Untersuche f(x) = x³ − 6x² + 9x auf Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte.
Lösung: f′(x) = 3x² − 12x + 9, f″(x) = 6x − 12.
Nullstellen: x(x² − 6x + 9) = x(x − 3)² = 0, also x = 0 und x = 3 (doppelt, Berührpunkt).
Extrempunkte: 3(x − 1)(x − 3) = 0. f″(1) = −6 < 0 → H(1 | 4). f″(3) = 6 > 0 → T(3 | 0).
Wendepunkt: 6x − 12 = 0, x = 2, f(2) = 2 → W(2 | 2). Er liegt genau zwischen H und T.
Aufgabe 2 · Symmetrie nutzen
Aufgabe: Untersuche f(x) = −x⁴ + 2x² auf Symmetrie, Nullstellen und Extrempunkte.
Lösung: Nur gerade Hochzahlen, also achsensymmetrisch zur y-Achse.
Nullstellen: x²(2 − x²) = 0, also x = 0 (doppelt) und x = ±√2.
f′(x) = −4x³ + 4x = −4x(x² − 1) = 0, also x = 0 oder x = ±1. f″(x) = −12x² + 4.
f″(0) = 4 > 0 → T(0 | 0). f″(±1) = −8 < 0 → H(−1 | 1) und H(1 | 1).
Aufgabe 3 · e-Funktion
Aufgabe: Untersuche f(x) = x · e−x auf Nullstellen, Extrempunkt, Wendepunkt und Randverhalten.
Lösung: Produktregel: f′(x) = (1 − x) · e−x, f″(x) = (x − 2) · e−x.
Nullstelle: x = 0, denn e−x wird nie 0.
Extrempunkt: 1 − x = 0, x = 1. f″(1) = −e−1 < 0 → H(1 | 1/e) ≈ H(1 | 0,37).
Wendepunkt: x = 2, f(2) = 2/e² ≈ 0,27 → W(2 | 0,27).
Randverhalten: für x → +∞ geht f(x) → 0 (e−x gewinnt), für x → −∞ geht f(x) → −∞.
Aufgabe 4 · Sachkontext
Aufgabe: Der Wasserstand eines Rückhaltebeckens nach einem Starkregen wird durch h(t) = −0,5t³ + 3t² beschrieben (t in Stunden, 0 ≤ t ≤ 6, h in cm über Normalstand). Wann ist der Wasserstand am höchsten? Wann steigt er am schnellsten, und wie schnell?
Lösung: h′(t) = −1,5t² + 6t = −1,5t(t − 4) = 0, also t = 0 oder t = 4. h(4) = 16, an den Rändern h(0) = h(6) = 0. Der höchste Stand ist also nach 4 Stunden mit 16 cm.
Schnellster Anstieg = Maximum von h′, also h″(t) = −3t + 6 = 0, t = 2. h′(2) = 6.
Antwortsatz: Nach 2 Stunden steigt das Wasser am schnellsten, mit 6 cm pro Stunde.
Aufgabe 5 · Funktion aus Bedingungen
Aufgabe: Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat den Hochpunkt H(1 | 2). Bestimme die Funktionsgleichung.
Lösung: Punktsymmetrie heißt nur ungerade Hochzahlen: f(x) = ax³ + bx.
f(1) = 2 → a + b = 2. f′(1) = 0 → 3a + b = 0.
Subtrahieren: 2a = −2, also a = −1 und b = 3. f(x) = −x³ + 3x.
Probe: f″(1) = −6 < 0, also wirklich ein Hochpunkt.
Häufige Fehler bei der Kurvendiskussion
- Nur f′(x) = 0 rechnenDas ist nur die notwendige Bedingung. Prüfe mit f″ oder einem Vorzeichenwechsel, ob wirklich ein Extrempunkt vorliegt.
- y-Wert vergessenEin Punkt hat zwei Koordinaten. Setze x immer in f ein, nicht in f′.
- Durch x teilenBeim Lösen von 3x² − 6x = 0 nicht durch x teilen, sonst verlierst du x = 0. Ausklammern.
- e-Funktion gleich 0 setzenex wird nie 0. Nur der Faktor davor kann 0 werden.
Häufige Fragen zur Kurvendiskussion
Welche Schritte gehören zu einer Kurvendiskussion?
Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, y-Achsenabschnitt, Extrempunkte, Wendepunkte, Verhalten im Unendlichen und eine Skizze. Im Abitur werden oft nur einzelne Schritte verlangt.
Wie erkenne ich einen Hochpunkt?
Setze f′(x) = 0 und prüfe die Lösung in f″: Ist f″(x) < 0, liegt ein Hochpunkt vor, bei f″(x) > 0 ein Tiefpunkt. Den y-Wert berechnest du mit f(x).
Wie berechne ich den Wendepunkt?
Setze f″(x) = 0 und prüfe mit f‴(x) ≠ 0 oder mit einem Vorzeichenwechsel von f″, ob die Krümmung wirklich wechselt. Dann den y-Wert mit f(x) berechnen.
Kommt die Kurvendiskussion im Abitur noch dran?
Ja, aber selten als komplette Liste. Meist werden einzelne Schritte im Sachkontext abgefragt, etwa ein Hochpunkt als größter Wert oder ein Wendepunkt als stärkste Änderung.